1、二、綜合法與分析法二、綜合法與分析法(1)綜合法綜合法在不等式的證明中在不等式的證明中,我們經(jīng)常從已知條件和不等式的性我們經(jīng)常從已知條件和不等式的性質(zhì)、基本不等式等出發(fā)質(zhì)、基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理通過邏輯推理,推導出所要證明推導出所要證明的結(jié)論的結(jié)論. abcbacacbcbacba6)()()(, 0, 1222222 求求證證且且不不全全相相等等已已知知例例abccbaabccb2)(, 0,2 :2222 證明證明abcacbbacac2)(, 0,2 2222 abcbaccabba2)(, 0,2 2222 abcbacacbcbacba6)()()(,222222 把把它它們

2、們相相加加得得取取等等號號少少有有一一個個不不所所以以上上述述三三個個式式子子中中至至不不全全相相等等由由于于 這種從已知條件出發(fā)這種從已知條件出發(fā),利用定義、公理、利用定義、公理、定理、性質(zhì)等定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立得出命題成立,這種證明方法叫做這種證明方法叫做綜合法綜合法.又又叫叫由因?qū)Чㄓ梢驅(qū)Ч?用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系)()(21結(jié)結(jié)論論必必要要條條件件逐逐步步推推演演不不等等式式成成立立的的已已知知BBBBAnnnaaaaa2)1()1)(1(1,aa,Ra,a, 221n21n21 求求證證且且已

3、已知知例例.1,21 ,122)1()1)(1(,21 ,21,21, :21.21212122111時取等號時取等號所以原式在所以原式在取等號取等號時時得得由不等式的性質(zhì)由不等式的性質(zhì)同理同理證明證明 niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa)0(2);0(2;2)4(22;4)(;2)3(;0)2(;0)1(:,2222222 ababbaababbaabbababaabbaabbaaa它它的的變變形形形形式式又又有有它它的的變變形形形形式式又又有有常常用用的的不不等等式式有有不不等等式式的的使使用用應應注注意意對對已已證證時時利利用用綜綜合合法法證證明明不不

4、等等式式(2)分析法分析法從要證的結(jié)論出發(fā)從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件逐步尋求使它成立的充分條件,直至直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做這種證明方法叫做分析法分析法.這是一種這是一種執(zhí)果索因執(zhí)果索因的思考和的思考和證明方法證明方法.用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系知知成成立立的的充充分分條條件件論論已已步步步步尋尋求求不不等等式式結(jié)結(jié) ) ( 21ABBBBn用分析法證用分析法證“若

5、若A則則B”這個命題的模式是這個命題的模式是:為了證明命題為了證明命題B為真為真,只需證明命題只需證明命題B1為真為真,從而有從而有只需證明命題只需證明命題B2為真為真,從而有從而有 只需證明命題只需證明命題A為真為真.而已知而已知A為真為真,故故B必真必真.6372 3 求證求證例例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372 :22成立成立所以所以成立成立只需證只需證只需證只需證展開得展開得只需證只需證所以要證所以要證都是正數(shù)都是正數(shù)和和證明證明 abccbaaccbbacba 222222, 0, 4求求證證已已知知例例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(: 可以考慮用可以考慮用右邊各項涉及三個字母右邊各項涉及三個字母平方之積平方之積左邊各項是兩個字母的左邊各項是兩個字母的觀察上式觀察上式要證的不等式可化為要證的不等式可化為分析分析abccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb 222222