1、8.68.6橢橢圓圓一、選擇題一、選擇題1 1橢圓橢圓x x2 22525y y2 29 91 1 上一點上一點M M到焦點到焦點F F1 1的距離為的距離為 2 2，N N是是MFMF1 1的中點，則的中點，則| |ONON| |等于等于( () )A A2 2B B4 4C C8 8D.D.3 32 2解析：連接解析：連接MFMF2 2，已知，已知| |MFMF1 1| |2 2，又，又| |MFMF1 1| | |MFMF2 2| |1010，| |MFMF2 2| |1010| |MFMF1 1| |8 8，如圖，如圖，| |ONON| |1 12 2| |MFMF2 2| |4.4.

2、答案：答案：B B2 2橢圓橢圓x x2 29 9y y2 24 4k k1 1 的離心率為的離心率為4 45 5，則，則k k的值為的值為( () )A A2121B B2121C C19192525或或 2121D.D.19192525或或 2121解析：若解析：若a a2 29 9，b b2 24 4k k，則，則c c 5 5k k，由，由c ca a4 45 5即即5 5k k3 34 45 5得得k k19192525；若若a a2 24 4k k，b b2 29 9，則，則c ck k5 5，由，由c ca a4 45 5，即，即k k5 54 4k k4 45 5，解得，解得k

3、 k21.21.答案答案：C C3 3已知如圖，橢圓已知如圖，橢圓x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)上一點上一點P P，F(xiàn) F1 1、F F2 2為橢圓的焦點，若為橢圓的焦點，若F F1 1PFPF2 2，則則PFPF1 1F F2 2的面積等于的面積等于( () )A Aa a2 2tantan2 2B Ba a2 2cotcot2 2C Cb b2 2tantan2 2D Db b2 2cotcot2 2解析：在解析：在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：2|2|PFPF1 1| | |PFPF2 2| |coscos|

4、 |PFPF1 1| |2 2| |PFPF2 2| |2 2| |F F1 1F F2 2| |2 2(|(|PFPF1 1| | |PFPF2 2|)|)2 22|2|PFPF1 1| | |PFPF2 2| | |F F1 1F F2 2| |2 2(2(2a a) )2 22|2|PFPF1 1| | |PFPF2 2| |(2(2c c) )2 2( (其中其中c c2 2a a2 2b b2 2) )| |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |(1(1 coscos) ) 2 2b b2 2， S SF F1 1PFPF2 21 12 2| |PFPF1 1| | |PFPF

5、2 2| |sinsin1 12 22 2b b2 21 1coscossinsinb b2 2tantan2 2. .答案：答案：C C4 4橢圓橢圓x x2 25 5y y2 24 41 1 的右焦點為的右焦點為F F，設(shè)設(shè)A A( (5 52 2， 3 3) )，P P為橢圓上的動點為橢圓上的動點，則則| |APAP| |5 5| |PFPF| |取得最小值時取得最小值時P P點的坐標(biāo)是點的坐標(biāo)是( () )A A( (5 52 2， 3 3) )B B(5,0)(5,0)C C(0,2)(0,2)D D(0(0，2)2)或或(0,2)(0,2)答案：答案：A A二、填空題二、填空題5

6、5如圖，已知點如圖，已知點P P是以是以F F1 1、F F2 2為焦點的橢圓為焦點的橢圓x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)上一點，若上一點，若PFPF1 1PFPF2 2，tantanPFPF1 1F F2 21 12 2，則此橢圓的離心率是，則此橢圓的離心率是_解析解析：本題考查橢圓離心率的求法本題考查橢圓離心率的求法由題得由題得PFPF1 1F F2 2為直角為直角三角形三角形，設(shè)設(shè)| |PFPF1 1| |m m，則則 tantanPFPF1 1F F2 21 12 2，| |PFPF2 2| |m m2 2，| |F F1 1F F2 2|

7、 |5 52 2m m，e ec ca a| |F F1 1F F2 2| | |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |5 53 3. .答案：答案：5 53 36 6(2009(2009江蘇江蘇) )如圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中中，A A1 1、A A2 2、B B1 1、B B2 2為橢圓為橢圓x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)的四個頂點，的四個頂點，F(xiàn) F為其右焦點，直線為其右焦點，直線A A1 1B B2 2與直線與直線B B1 1F F相交于點相交于點T T，線段，線段OTOT與橢圓的交點與橢圓的交點M M

8、恰恰為線段為線段OTOT的中點，則該橢圓的離心率為的中點，則該橢圓的離心率為_解析：直線解析：直線A A1 1B B2 2的方程為的方程為x xa ay yb b1 1，即，即bxbxayayabab，直線直線B B1 1F F的方程為的方程為x xc cy yb b1 1，即，即bxbxcycybcbc，解解聯(lián)立方程組得聯(lián)立方程組得x x2 2acaca ac c，y yb b( (a ac c) )a ac c，所以，所以，T T2 2acaca ac c，b b( (a ac c) )a ac c，則，則M Macaca ac c，b b( (a ac c) )2(2(a ac c) )

9、 . .由已知條件：由已知條件：a a2 2c c2 2a a2 2( (a ac c) )2 2b b2 2( (a ac c) )2 24(4(a ac c) )2 2b b2 21 1，整理得整理得 3 3a a2 21010acacc c2 20 0，即，即e e2 21010e e3 30 0，又，又 00e e1.1.解得解得e e2 2 7 75.5.答案答案：2 2 7 75 57 7已知橢圓已知橢圓x x2 23 3y y2 21 1 的左的左、右兩個焦點分別為右兩個焦點分別為F F1 1和和F F2 2，點點P P為橢圓上任意一點為橢圓上任意一點，點點E E在在橢圓的右準(zhǔn)線

10、上給出下列命題：橢圓的右準(zhǔn)線上給出下列命題：則其中所有正確命題的序號為則其中所有正確命題的序號為_解析解析：本題考查橢圓的定義本題考查橢圓的定義，有關(guān)量的運算及位置關(guān)系有關(guān)量的運算及位置關(guān)系橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x x2 2( ( 3 3) )2 2y y2 21 12 21 1，此時此時 coscosF F1 1QFQF2 2( ( 3 3) )2 2( ( 3 3) )2 2(2(2 2 2) )2 22 2 3 3 3 309090，所以在橢圓上存在點，所以在橢圓上存在點Q Q，使，使F F1 1QFQF2 29090，對；對；答案：答案：三、解答題三、解答題8 8設(shè)設(shè)P P是

11、橢圓是橢圓x x2 2a a2 2y y2 21(1(a a1)1)短軸的一個端點短軸的一個端點，Q Q為橢圓上的一個動點為橢圓上的一個動點， 求求| |PQPQ| |的最大值的最大值解答：依題意可設(shè)解答：依題意可設(shè)P P(0,1)(0,1)，Q Q( (x x，y y) )則則| |PQPQ| |x x2 2( (y y1)1)2 2. .又因為又因為Q Q在橢圓上，所以在橢圓上，所以x x2 2a a2 2(1(1y y2 2) )| |PQPQ| |2 2a a2 2(1(1y y2 2) )y y2 22 2y y1 1(1(1a a2 2) )y y2 22 2y y1 1a a2

12、2(1(1a a2 2)()(y y1 11 1a a2 2) )2 21 11 1a a2 21 1a a2 2. .因為因為| |y y| |1 1，a a11，若，若a a 2 2，則，則| |1 11 1a a2 2| |1 1，當(dāng)當(dāng)y y1 11 1a a2 2時，時，| |PQPQ| |取最大值取最大值a a2 2a a2 21 1a a2 21 1；若；若 11a a 0)0)的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線l l與與x x軸軸相交于點相交于點A A，| |OFOF| |2|2|FAFA| |，過點，過點A A的直線與橢圓相交于的直線與橢圓相交于P P、Q Q兩點兩點(1)(1)求橢圓的方程及離心率

13、；求橢圓的方程及離心率；(2)(2)若若，求直線，求直線PQPQ的方程；的方程；解答：解答：(1)(1)由題意，可設(shè)橢圓的方程為由題意，可設(shè)橢圓的方程為x x2 2a a2 2y y2 22 21(1(a a 2 2) )由已知得由已知得a a2 2c c2 22 2，c c2(2(a a2 2c cc c).).解解得得a a 6 6，c c2.2.所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為x x2 26 6y y2 22 21 1， 離心離心率率e e6 63 3. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得A A(3,0)(3,0)設(shè)直線設(shè)直線PQPQ的方程為的方程為y yk k( (x x3)3)由

14、方程組由方程組x x2 26 6y y2 22 21 1，y yk k( (x x3)3)，得得(3(3k k2 21)1)x x2 21818k k2 2x x2727k k2 26 60.0.依題意依題意12(212(23 3k k2 2)0)0，得，得6 63 3 k k b b0)0)分別設(shè)分別設(shè)M M、N N和和P P點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為( (c,c,0)0)，( (c,c,0)(0)(c c0)0)和和( (x x0 0，y y0 0) )tantantan(tan(N N) )tantanN N2 2，由題設(shè)知：由題設(shè)知：y y0 01 12 2( (x x0 0c c) )，y y

15、0 02(2(x x0 0c c).).解得：解得：x x0 05 53 3c c，y y0 04 43 3c c. .即即P P( (5 5c c3 3，4 4c c3 3) )在在MNPMNP中，中，MNMN2 2c c，MNMN上的高為上的高為4 43 3c c，S SMNPMNP1 12 22 2c c4 43 3c c1 1，c c3 32 2. .又又| |PMPM| | ( (x x0 0c c) )2 2y y2 20 02 2 15153 3，| |PNPN| | ( (x x0 0c c) )2 2y y2 20 015153 3. .a a1 12 2(|(|PMPM|

16、| |PNPN|)|)15152 2，從而，從而b b2 2a a2 2c c2 23 3，故所求橢圓方程為故所求橢圓方程為4 4x x2 21515y y2 23 31.1.1 1若動點若動點( (x x，y y) )在曲線在曲線x x2 24 4y y2 2b b2 21(1(b b0)0)上變化，則上變化，則x x2 22 2y y的最大值為的最大值為( () )A.A.b b2 24 44 4(0(0b b4)4)2 2b b( (b b4)4)B.B.b b2 24 44 4(0(0b b2)2)2 2b b( (b b2)2)C.C.b b2 24 44 4D D2 2b b解析：

17、由解析：由x x2 24 4y y2 2b b2 21 1，得，得x x2 24(14(1y y2 2b b2 2) )，b by yb b，x x2 22 2y y4(14(1y y2 2b b2 2) )2 2y y4 4b b2 2y y2 22 2y y4 44 4b b2 2( (y yb b2 24 4) )2 2b b2 24 44 4，當(dāng)當(dāng)b bb b2 24 4 b b，即，即 00b b4 b b0)0)的左的左、右焦點分別是右焦點分別是F F1 1、F F2 2，離心率為離心率為e e. .直線直線l l：y yexexa a與與x x軸、軸、y y軸分別交于點軸分別交于

18、點A A、B B，M M是直線是直線l l與橢圓與橢圓C C的一個公共點的一個公共點P P是點是點F F1 1關(guān)于直關(guān)于直線線l l的對稱點設(shè)的對稱點設(shè). .(1)(1)試證：試證：1 1e e2 2；(2)(2)確定確定的值，使得的值，使得PFPF1 1F F2 2是等腰三角形是等腰三角形解答：解答：(1)(1)證明：因為證明：因為A A、B B分別是直線分別是直線l l：y yexexa a與與x x軸、軸、y y軸的交點，所以軸的交點，所以A A、B B的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是( (a ae e，0)0)，(0(0，a a) )由由y yexexa a，x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1，得得x xc c，y yb b2 2a a. .這里這里c ca a2 2b b2 2. .所以點所以點M M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是( (c c，b b2 2a a) )由由AMAMABAB得得( (c ca ae e，b b2 2a a) )( (a ae e，a a) )即即a ae ec ca ae e，b b2 2a aa a. .解得解得1 1e e2 2. .(2)(2)因為因為PFPF1 1l l， 所以所以PFPF1 1F F2 29090BAFBAF1 1為鈍角為鈍角， 要使要使PFPF1 1F