1、二、 拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的提法1 第一邊值問(wèn)題（狄氏問(wèn)題）2 第二邊值問(wèn)題（牛曼問(wèn)題）ufufn3、狄氏外問(wèn)題4、牛曼外問(wèn)題1 方程的建立和定解條件調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。2222222222222( , , )0uuuuuf x y zxyzuuuuxyz 一、方程的建立第1頁(yè)/共33頁(yè)三、泊松方程邊值問(wèn)題泊松方程)(rfu邊界條件( )uun( )定義在0, 0第一類邊界條件0, 0第二類邊界條件0, 0第三類邊界條件泊松方程與第一類邊界條件，構(gòu)成第一邊值問(wèn)題(狄里希利問(wèn)題)泊松方程與第二類邊界條件，構(gòu)成第二邊值問(wèn)題(諾依曼問(wèn)題)泊松方程與第三類邊界條件，

2、構(gòu)成第三邊值問(wèn)題第2頁(yè)/共33頁(yè) 1奧高公式 設(shè) 及 和 是在 上連續(xù)，在 內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù), 則有如下的奧-高公式, ,P x y z, ,Q x y z, ,R x y zPQRdPdydz Qdxdz Rdxdyxyzcos,cos,cos,Pn xQn yRn z ds其中 是 在 點(diǎn) 處的外法向量cos,cos,cos,nn xn yn z, ,x y z 2 格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì)一、格林公式第3頁(yè)/共33頁(yè) 2格林第一公式 在上述的奧-高公式中令 ， ，注意到顯然的恒等式：vPuxvQuyvRuz22vuvvuuxxxxx我們就有如下的格林第一公式vu vu vu

3、 vu vdudsdnx xy yz z 2()vuv dudsuvdn 或第4頁(yè)/共33頁(yè) 3格林第二公式 在上述格林第一公式中，交換 的位置，得uvu vv u d vuuvdsnn格林公式通常指格林第二公式，在格林函數(shù)法求解定解問(wèn)題時(shí)常要用到。2()uvu dvdsvudn 然后兩式消減，我們就得到格林第二公式：n2()vuv dudsuvdn 原有第5頁(yè)/共33頁(yè)由物理學(xué)家狄拉克首先引進(jìn)用以討論物理學(xué)中的一切點(diǎn)量質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)電荷瞬時(shí)力脈沖等定義 d d 函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)： 0,0, 0)()(xxxid d1)()( dxxiid d4 4、d d 函數(shù)第6頁(yè)/共33頁(yè)如對(duì)一維問(wèn)題

4、:設(shè)在無(wú)窮直線上 區(qū)間內(nèi)有均勻的電荷分布，總電量為一個(gè)單位，在區(qū)間外無(wú)電荷如圖，則電荷密度函數(shù)為22lxl 2,022,12,0)(lxlxlllxxld dxyo2l 2ll1物理意義：集中的量的密度函數(shù)若 f(x) 在 內(nèi)連續(xù)，由中值定理有 22,ll 2211( )( )( )( )( ),22lllllf xx dxf xdxfflld 22ll 對(duì)于 有2,2lbla 2121),()()( d dfdxxxfbal第7頁(yè)/共33頁(yè)對(duì)于 在 連續(xù)，有)(xf 0 x( ) ( )(0),f xx dxfd或者( ) ( )(0)00 baf xx dxfabd， 00, 0)(xxx

5、d d表示的是任意階可微函數(shù)的極限，通常意義下沒(méi)有意義，只在積分運(yùn)算中才有意義。當(dāng) 時(shí)，得到點(diǎn)電荷的密度函數(shù)0l 0, 00,0, 0)(lim)(0 xxxxxlld dd d1)()0()()(1)( dxxfdxxxfxfd dd d此積分應(yīng)理解為 dxxxfdxxxfll)()(lim)()(0d dd d 2, 022,12, 0)(lxlxlllxxld d第8頁(yè)/共33頁(yè) 有關(guān)d d 函數(shù)的等式應(yīng)該在積分意義下理解。0)()( dxxxxfd d0)( xxd d)()(xxd dd d dxxxfdxxxf)()()()(d dd d)()(xxd dd d dxxxfdxxx

6、f)()()()(d dd d)(1)(xaaxd dd d dxxaxfdxaxxf)(1)()()(d dd d dxxgxfdxxxgxf)()0()()()()(d dd d)()0()()(xgxxgd dd d 第9頁(yè)/共33頁(yè)令 0, 00, 1)()(xxxdxxx d ddxxdx)()( d d 兩邊微商，得因?yàn)? )1i xx edxd由傅里葉逆變換，得1( )2i xxedd拉普拉斯變換 0,)()(00000 tedtettttptptd dd dL L對(duì)二、三維同樣有 函數(shù) d二維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 三維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 )

7、()(00yyxx d dd d),(00yx)()()(000zzyyxx d dd dd d),(000zyx第10頁(yè)/共33頁(yè)求證： ，其中 )(412rrdd 20,014 ,0VrVdxdydzrrV222zyxrr 證明:)()()()(zyxrd dd dd dd d 要證明 ，就是要證明積分意義下)(412rrdd 例第11頁(yè)/共33頁(yè) 當(dāng) 時(shí)，有0, 012 rr0 r 25222222222222)(31zyxzyxxzyxx 25222222222222)(31zyxzyxyzyxy 25222222222222)(31zyxzyxzzyxz 三式相加，可得第12頁(yè)/共3

8、3頁(yè) 當(dāng) 時(shí)， 不可導(dǎo)，將 V 取為整個(gè)三維空間rr10 VaVdxdydzardxdydzr222021lim1 Vadddrrara sin3lim2252220 02252220lim12drraraa 第13頁(yè)/共33頁(yè)令 ，上式積分與 a 無(wú)關(guān) tanar 022522222)tan()tan(tan121 adaaaadxdydzrV0,412 rr 從而有 202322tan1tan12 d 202cossin12 d203sin3112 4 因此)(412rrdd 即20,014 ,0VrVdxdydzrrV第14頁(yè)/共33頁(yè)二、 泊松方程的基本積分公式建立點(diǎn)源泊松方程)(),

9、(00rrrrvdV0rK0 xyz0()()VVVv uu v dVvfdVurr dVd )(0rrd奇異，不能化為面積分。在 V 中 點(diǎn)挖掉半徑 的小球 。小球邊界 。0rK)(rfu( )uun第15頁(yè)/共33頁(yè)dSnvunuvdVvuuvKT)()(dSnvunuvdSnvunuv)()(在 ， 。KT 0)(0rrddVvfKT0)(ru)(rv和連續(xù)。dVvfdVvfTKTdnudSnuv2)41(dnu4dnu4nu0第16頁(yè)/共33頁(yè)dSrrudSnvu)41(drru22141)(0ru.),()()(),()(),()(0000dSnrrvrunrurrvdVrfrrvr

10、uT這樣，邊界條件得以進(jìn)入積分之中！上式為泊松方程的基本積分公式?；痉e分公式。000111()()d4SM MM Muu MuSn rrn 令f=0,即得調(diào)和方程的基本積分公式：基本積分公式：調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可以通過(guò)積分表達(dá)式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來(lái)表示。第17頁(yè)/共33頁(yè)1、調(diào)和方程的基本解00222000220011()()()11lnln()()M MM Mrxxyyzzkrxxyy三維二維三、調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)2、調(diào)和方程的基本積分表達(dá)式000111()()d4SM MM Muu MuSn rrn 第18頁(yè)/共33頁(yè)3、 牛曼內(nèi)問(wèn)題有解的必要條件4、

11、平均值公式（定理）5、 極值原理ufn22()d()dVSvuuvvuVuvSnn d0SuSn取1v d0Sf S 021()d4aku Mu Sa 狄氏問(wèn)題的解唯一確定，牛曼問(wèn)題的解除了相差一常數(shù)外也是唯一確定的。6、 拉普拉斯方程解的唯一性問(wèn)題調(diào)和函數(shù)的最大、最小值只能在邊界上達(dá)到000111()()d4SM MM Muu MuSn rrn第19頁(yè)/共33頁(yè) 3 格林函數(shù)22()d()dVSvuuvvuVuvSnn ()d0SvuuvSnn若u，v均為調(diào)和函數(shù)000111()()d4SM MM Muu MuSn rrn 0001111()()()d44SMMMMvuu MuvSnn rr

12、n0114MMvr若v不僅為調(diào)和函數(shù)，且滿足0011()() d4SMMu MuvSnr 0()dSGu MuSn 0011()4MMG Mvr由格林公式兩式相加令則第20頁(yè)/共33頁(yè)02()0,1|4 M Mv Mvr2()0,|()u Muf M內(nèi)00(,)()()dG M Mu Mf MSn )(|,)(2MfuMFMu內(nèi)）（對(duì)泊松問(wèn)題對(duì)拉普拉斯問(wèn)題000(,)()(,) ()()ddG M Mu MG M MF MVf MSn因此求解狄氏問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域的格林函數(shù)，即0011()4MMG Mvr000( ,)( -)( ,) 0GGGnd r rr rr r第21頁(yè)/共33頁(yè)4 用

13、電像法確定格林函數(shù)用電像法確定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解的主要困難還在于如何確定格林函數(shù)本身用格林函數(shù)法求解的主要困難還在于如何確定格林函數(shù)本身 一個(gè)具體的定解問(wèn)題，需要尋找一個(gè)合適的格林函數(shù)，對(duì)一一個(gè)具體的定解問(wèn)題，需要尋找一個(gè)合適的格林函數(shù)，對(duì)一些具體問(wèn)題可以給出構(gòu)建格林函數(shù)的方法些具體問(wèn)題可以給出構(gòu)建格林函數(shù)的方法 這方法是基于這方法是基于靜電學(xué)的鏡像原理來(lái)構(gòu)建格林函數(shù)靜電學(xué)的鏡像原理來(lái)構(gòu)建格林函數(shù)，所，所以我們稱這種構(gòu)建方法為電像法（也稱為鏡像法）以我們稱這種構(gòu)建方法為電像法（也稱為鏡像法） 在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界的象點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)碾姾?，這兩個(gè)電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上

14、相互抵消。這兩個(gè)電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。電象法求格林函數(shù)第22頁(yè)/共33頁(yè)物理模型：若在物理模型：若在 000(,)Mxy處放置一處放置一正單位點(diǎn)電荷正單位點(diǎn)電荷 則虛設(shè)的負(fù)則虛設(shè)的負(fù)單位點(diǎn)電荷單位點(diǎn)電荷應(yīng)該在應(yīng)該在 100(,)Mxy于是得到這兩點(diǎn)于是得到這兩點(diǎn)電荷電荷在在 xoy 的上半平的上半平面的電位分布也就是本問(wèn)題的格林面的電位分布也就是本問(wèn)題的格林函數(shù)，即為函數(shù)，即為 0010022220000220022001111( ,)lnln2|2|1111( ,|,)lnln22()()()()()()1 ln4()()GG x y xyxxyyxxyyxxyyxxy

15、yr rrrrr1、 上半平面區(qū)域拉普拉斯方程的第一邊值問(wèn)題求解zddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM第23頁(yè)/共33頁(yè)據(jù)此可求解上半平面區(qū)域的定解問(wèn)題據(jù)此可求解上半平面區(qū)域的定解問(wèn)題例例1 定解問(wèn)題：定解問(wèn)題： 00, (0)|( ) xxyyyuuyux【解解】 根據(jù)第一邊值問(wèn)題，構(gòu)建的格林函數(shù)滿足根據(jù)第一邊值問(wèn)題，構(gòu)建的格林函數(shù)滿足 200() ()xxyyGGGxxyydd 0|0yG0000(,),(,)xyxy處放置于一個(gè)正和一個(gè)負(fù)的點(diǎn)電荷（或點(diǎn)源）處放置于一個(gè)正和一個(gè)負(fù)的點(diǎn)電荷（或點(diǎn)源） 構(gòu)構(gòu)建格林函數(shù)為建格林函數(shù)為 2200002200()()

16、1( ,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy第24頁(yè)/共33頁(yè)邊界外法線方向?yàn)樨?fù)y軸，故有軸，故有 0000222222000000111|=2 () () ()yyyyGGnyxxyxxyxxy 代入到拉普拉斯第一邊值問(wèn)題解的公式，代入到拉普拉斯第一邊值問(wèn)題解的公式，則由則由得 0002200( )(,)d()yxu xyxxxy00(,)()()dG M Mu MMSn 00220()( , )d()xyu x yxxxy或由互易性得到上式稱為上半平面的拉普拉斯積分公式上式稱為上半平面的拉普拉斯積分公式第25頁(yè)/共33頁(yè)例2 在上半空間0z 內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問(wèn)題

17、內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問(wèn)題 00,(0)|( , )xxyyzzzuuuzux y【解】構(gòu)建格林函數(shù)構(gòu)建格林函數(shù)000( , , ,)G x y z xyz滿足滿足0000() () ()|0 zGxxyyzzGddd 2 、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問(wèn)題、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問(wèn)題根據(jù)物理模型和無(wú)界區(qū)域的格林函數(shù)可以構(gòu)建為根據(jù)物理模型和無(wú)界區(qū)域的格林函數(shù)可以構(gòu)建為00111( ,)4|4|Gr rrrrr第26頁(yè)/共33頁(yè)為了把為了把0( ,)G r r代入代入拉普拉斯拉普拉斯第一邊值問(wèn)題的解的公式第一邊值問(wèn)題的解的公式需要先計(jì)算需要先計(jì)算000|zGn即為即為

18、000|zGz 000002220000002220000222 3/20011|()4()()()1 +()|()()()1 =2 ()()zzzGGnzzxxyyzzzxxyyzzzxxyyz 022222200000011( , )4 ()()()4 ()()()Gxxyyzzxxyyzzr r即有 第27頁(yè)/共33頁(yè)代入代入 即得到即得到 0000222 3/200(,)( , , )d d2()()xyzu x y zxyxxyyz 這公式叫作這公式叫作半空間的拉普拉斯積分第28頁(yè)/共33頁(yè)yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()3 ,(3, 0222222),(0000zyxM)6 ,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG0(,)()()dG M Mu Mf MSn 20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|( , )dzG M Mf x ySz3 z例3 求解下列定解問(wèn)題解：0000222 3/200(,)-3( , , )d d2()()(3) f xyzu x y zxyxxy