1、平面向量基本定理平面向量基本定理1.復習回顧復習回顧(2) 共線向量的一個充要條件共線向量的一個充要條件:aa 0時時, 與與 同向同向;aaaa=0時時,00a(1) 實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積 :a定理：定理：向量向量 與非零向量與非零向量 共線的充要條共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)件是有且僅有一個實數(shù) ，使，使.baab例例1 已知向量已知向量 (圖圖 (1)，求作向量，求作向量作法作法:12.5 ,OAe 作作23.OBe OC 于于是是就就是是所所求求作作的的向向量量. .1.如圖如圖(2)，在平面內(nèi)任取一點，在平面內(nèi)任取一點O，12e e 、122.53.ee (1)1e2e

2、O15 . 2 eACB23e(2)2. 作平行四邊形作平行四邊形OACB.1212.aee COA11eB2 2e 1212aee 1e2e 推廣：推廣：已知已知 是同一平面內(nèi)的兩個是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，則對于給定的兩個實數(shù)不共線的向量，則對于給定的兩個實數(shù) 1、 2，都可以在這個平面內(nèi)作出唯一的一個，都可以在這個平面內(nèi)作出唯一的一個向量向量 滿足滿足a 12e e 、思考思考：設(shè)設(shè) 是同一平面內(nèi)的兩個不共是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任何一個向線向量，那么對該平面內(nèi)的任何一個向量量 ，是否存在唯一一對實數(shù)，是否存在唯一一對實數(shù) 1、 2，使得使得 a 1e2e a

3、12e e 、1212?aee 1e2e aOANMB Ca1,OAe 作作2,OBe ,O在在平平面面內(nèi)內(nèi)任任取取一一點點.OCa ；交于的直線，與直線作平行于直線過點MOAOBCCOAOB過過點點 作作平平行行于于直直線線的的直直線線，與與直直線線交交于于N N . .，使得和則有且只有實數(shù)21,11eOM22.ONe OCOMON 由由于于，1122.aee所所以以 如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個不共是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量量 ，有且只有一對實數(shù)，有且只有一對實數(shù) 1、 2，使，使2. 平面向量的基本定理：平面向量的基本定理：

4、注意：注意： (1) 不共線的向量不共線的向量 叫做表示叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.a 12e e 、1212.aee 12e e 、 (2) 實數(shù)實數(shù) 1， 2的確定是由平面幾何的確定是由平面幾何作圖得到的，同時也應用了上節(jié)課的共作圖得到的，同時也應用了上節(jié)課的共線向量基本定理線向量基本定理(3) 對該定理重在應用對該定理重在應用解：解：在在 ABCD中，中，,ACABADab ,DBABADab 12MAAC 1()2ab 11,22ab 12MBDB 1()2ab11,22ab 12MCAC 11,22ab 12MDMBDB 11.22ab MACB

5、Dab,ABa ADb 且且例例2 如圖，如圖， ABCD的兩條對角線相交于點的兩條對角線相交于點M, a b 用用表表示示, .MA MB MCMD 和和例例3 如圖，如圖， ABCD中，中，E，F(xiàn)分別為分別為BC，DC的中點的中點,.ADx ABy 1/,|,2DFAB DFAB DFAB 與與同同向向, ,1.2DFy ,ADDFAF 又又1,2xyn 1.2xym 同同理理可可得得12,12xynxym 4242:,3333xnm ymn 得得4242,.3333ADnm ABmn 即即,AEm AFn 且且,.AB AD 求求ACBDmnFE解：解：設(shè)設(shè)解方程組解方程組4.,OA O

6、B 例例 如如圖圖不不共共線線(),APtAB tR ,.OA OBOP 用用表表示示:,APtAB 解解 OPOAAP OAtAB ()(1).OAt OBOAt OAtOB O A B P (1).OPt OAtOB ()OPOAt OBOA APtAB 另解另解:可以試著將可以試著將,OA OBOP 用用， 表表示示出出來來. .APtAB 說明：說明：(1) 本題是個重要題型：設(shè)本題是個重要題型：設(shè)O為為平面上任一點，則：平面上任一點，則：A、P、B三點共線三點共線 (1).OPt OAtOB 或令或令 = 1 t， = t，則，則 A、P、B三點共線三點共線 (其中其中 + = 1)

7、.OPOAOB (2) 當當t = 時，時， 常稱常稱為為OAB的中線公式的中線公式(向量式向量式)121()2OPOAOB 1當平面內(nèi)取定一組基底當平面內(nèi)取定一組基底 后，后，任一向量任一向量 都被都被 唯一確定，其含義唯一確定，其含義是存在唯一數(shù)對是存在唯一數(shù)對( 1， 2)，使，使 1122.aee a 歸納小結(jié)歸納小結(jié)12e e 、12e e 、2三點三點A、B、C共線共線 (其中其中 1， 2 R且且 1 + 2 = 1)ABkAC 12.OBOAOC 1命題命題p：向量：向量 與與 共線；命題共線；命題q：有且只有一個實數(shù)：有且只有一個實數(shù) ，使，使 ；則；則p是是q的的( )A.充分不必要條件充分不必要條件 B.必要不充分條件必要不充分條件C.充要條件充要條件 D.不充分不必要條件不充分不必要條件鞏固練習：鞏固練習：b a ba B 2如圖，如圖，ABC中，點中，點M是是BC的的中點，點中點，點N在邊在邊AC上，且上，且AN = 2NC，AM與與