1、【2013年中考攻略】專題8：幾何最值問題解法探討在平面幾何的動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。1、 應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例1. 如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點

2、A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為【 】ABC5D【答案】A?！究键c】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當(dāng)O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1。DE=，OD的最大值為：。故選A。例2.在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是 ?！敬鸢浮?/p>

3、4?！究键c】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM。ABC的平分線交AC于點D，EBM=NBM。在AME與AMN中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM，BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN有最小值，當(dāng)CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值。BC=，ABC=45°，CE的最小值為sin450=4。CM+MN的最小值是4。2、 應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. 在ABC中，ABAC5，BC6若點P在邊AC上移動，

4、則BP的最小值是 【答案】?！究键c】動點問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BPAC時，BP取得最小值。 設(shè)AP=x，則由ABAC5得CP=5x， 又BC6，在RtAB P和RtCBP中應(yīng)用勾股定理，得 。，即，解得。，即BP的最小值是。例2.如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1【答案】B?！究键c】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治觯?（

5、1）若點P，Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關(guān)于BD的對稱點P1，連接P1Q，交BD于點K1。 由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此時的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）點P，Q變動，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P關(guān)于BD的對稱點P1在AB上，即不論點P在BC上任一點，點P1總在AB上。 因此，根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當(dāng)P1QAB時P1Q最短。 過點A作AQ1DC于點Q1。 A=120°，DA Q1=30

6、°。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=AD·cos300=。 綜上所述，PK+QK的最小值為。故選B。例3.已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如

7、果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由【答案】解：問題1：對角線PQ與DC不可能相等。理由如下： 四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，DPC90°。AD1，AB2，BC3，DC2。設(shè)PBx，則AP2x，在RtDPC中，PD2PC2DC2，即x232(2x)2128，化簡得x22x30，(2)24×1×380，方程無解。不

8、存在PBx，使DPC90°。對角線PQ與DC不可能相等。問題2：存在。理由如下：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，則G是DC的中點。過點Q作QHBC，交BC的延長線于H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，當(dāng)PQAB時，PQ的長最小，即為4。問題3：存在。理由如下：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點G，PECQ，PDDE，。G是DC上一定點。作QHBC，交BC的延長線于H，同理可證ADPQCH，RtADPRtHCQ。AD1，CH2。

9、BHBGCH325。當(dāng)PQAB時，PQ的長最小，即為5。問題4：如圖3，設(shè)PQ與AB相交于點G，PEBQ，AEnPA，。G是DC上一定點。作QHPE，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90°PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。過點D作DMBC于M，則四邊形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45°。KCH45°。CKCHcos45° (n4)，當(dāng)PQCD時，PQ的長最小，最小值為 (n4)?！究键c

10、】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。【分析】問題1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PBx，可得方程x232(2x)218，由判別式0，可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等。 問題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QHBC，交BC的延長線于H，易證得RtADPRtHCQ，即可求得BH4，則可得當(dāng)PQAB時，PQ的長最小，即為4。問題3：設(shè)PQ與DC相

11、交于點G，PECQ，PDDE，可得，易證得RtADPRtHCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案。問題4：作QHPE，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K，易證得與ADPBHQ，又由DCB45°，可得CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案。例4. 如圖，點A的坐標(biāo)為（-1，0），點B在直線上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為【 】A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）例5.如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、

12、EF在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個數(shù)是【 】A1個B2個C3個D4個【答案】B?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。【分析】連接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45°，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90°，EDC+CDF=EDF=90°。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)E、F分別為AC

13、、BC中點時，由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90°，四邊形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯誤。 如圖2，分別過點D，作DMAC，DNBC，于點M，N， 由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時， EF取最小值2。

14、此時點C到線段EF的最大距離為。故此結(jié)論正確。故正確的有2個：。故選B。例6.如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖： 第一步：如圖，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分； 第三步：如圖，將MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片

15、EBC面積相等的四邊形紙片 (注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊) 則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為 cm，最大值為 cm【答案】20；12+?！究键c】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理。【分析】畫出第三步剪拼之后的四邊形M1N1N2M2的示意圖，如答圖1所示。 圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理）。又M1M2N1N2，四邊形M1N1N2M2是一個平行四邊形，其周長為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。BC=6為定值，四邊形的周長取決于MN的大小。如答圖2所示，是剪拼

16、之前的完整示意圖。過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半。M是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即。四邊形M1N1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN，四邊形M1N1N2M2周長的最小值為12+2×4=20；最大值為12+2×=12+。例7.如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫O分別

17、交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 【答案】?！究键c】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60°，當(dāng)半徑OE最短時，EF最短。如圖，連接OE，OF，過O點作OHEF，垂足為H。 在RtADB中，ABC=45°，AB=2，AD=BD=2，即此時圓的直徑為2。由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60°，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1×。由垂徑定

18、理可知EF=2EH=。例8.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當(dāng)點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。AB

19、C和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的

20、面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是?！究键c】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。【分析】（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證ABC、ACD為等邊三角形，得ACF =60°，AC=AB，從而求證ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根據(jù)S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)

21、SCEF=S四邊形AECFSAEF，則CEF的面積就會最大。例9.在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45°，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到A1BC1（1）如圖1，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若ABA1的面積為4，求CBC1的面積；（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值【答案】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1， CC1B=C1CB=45°。CC1A1

22、=CC1B+A1C1B=45°+45°=90°。（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1。，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1。ABA1=CBC1。ABA1CBC1。SABA1=4，SCBC1=。（3）過點B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點D在線段AC上。在RtBCD中，BD=BC×sin45°=。如圖1，當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小。最小值為：EP1=BP1BE=BDBE=2。如圖2，當(dāng)P在AC上運動至點C，ABC繞點

23、B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大。最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7?！究键c】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CC1A1的度數(shù)。（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ABCA1BC1，易證得ABA1CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面積。（3）由當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小；當(dāng)P在AC上運動至點C，ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P

24、的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值。練習(xí)題：1.如圖，O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切O于點Q，則PQ的最小值為【 】A B C3 D22.如圖，在四邊形ABCD中，A=90°，AD=4，連接BD，BDCD，ADB=C若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為 3、 應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值：典型例題例1. 如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm【答案】15

25、。【考點】圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，圓柱形玻璃杯展開（沿點A豎直剖開）后側(cè)面是一個長18寬12的矩形，作點A關(guān)于杯上沿MN的對稱點B，連接BC交MN于點P，連接BM，過點C作AB的垂線交剖開線MA于點D。 由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知APPC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，且AP=BP。 由已知和矩形的性質(zhì)，得DC=9，BD=12。 在RtBCD中，由勾股定理得。 APPC=BPPC=BC=15，即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm。例2. 如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使

26、AMN周長最小時，則AMNANM的度數(shù)為【 】A130° B120° C110° D100°【答案】B?！究键c】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關(guān)系，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)要使AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點A，A，即可得出AAMAHAA60°，進(jìn)而得出AMNANM2(AAMA)即可得出答案：如圖，作A關(guān)于BC和ED的對稱點A，A，連接AA，交BC于M，交CD于N，則AA即為AMN的周長最小值。作DA延長線AH。BAD120°，HAA60°。

27、AAMAHAA60°。MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2×60°120°。故選B。例3. 點A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點，則【答案】5?！究键c】軸對稱（最短路線問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥窟B接AB并延長交x軸于點P，作A點關(guān)于y軸的對稱點A連接AB交y軸于點Q，求出點Q與y軸的交點坐標(biāo)即可得出結(jié)論：連接AB并

28、延長交x軸于點P，由三角形的三邊關(guān)系可知，點P即為x軸上使得|PAPB|的值最大的點。點B是正方形ADPC的中點，P（3，0）即OP=3。作A點關(guān)于y軸的對稱點A連接AB交y軸于點Q，則AB即為QA+QB的最小值。A（-1，2），B（2，1），設(shè)過AB的直線為：y=kx+b，則 ，解得 。Q（0， ），即OQ=。OPOQ=3×=5。例4. 如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為 【答案】?！究键c】軸對稱（最短路線問題），正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接DE，交BD于點P，連接BD。點B與點D關(guān)于AC對稱，DE的長即為PE

29、+PB的最小值。AB=4，E是BC的中點，CE=2。在RtCDE中，。例5. 如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點，過A作ACMN于點C，過B作BDMN于點D，P為DC上的任意一點，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是?！敬鸢浮?4?！究键c】軸對稱（最短路線問題），勾股定理，垂徑定理?！痉治觥縈N20，O的半徑10。連接OA、OB，在RtOBD中，OB10，BD6，OD8。同理，在RtAOC中，OA10，AC8，OC6。CD8614。作點B關(guān)于MN的對稱點B，連接AB，則AB即為PAPB的最小值，BDBD6，過點B作AC的垂線，交AC的延長線于點E。在RtABE中，AEACCE

30、8614，BECD14，AB14。例6. 閱讀材料：例：說明代數(shù)式 的幾何意義，并求它的最小值解： ，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PAPB的最小值設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A，則PA=PA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短，所以PAPB的最小值為線段AB的長度為此，構(gòu)造直角三角形ACB，因為AC=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值為3。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）代數(shù)式的值

31、可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B 的距離之和（填寫點B的坐標(biāo)）（2）代數(shù)式 的最小值為 【答案】解：（1）（2，3）。 （2）10?！究键c】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對稱（最短路線問題）?！痉治觥浚?）原式化為的形式，代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和。（2）原式化為的形式，所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和。如圖所示：設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A，則PA=PA，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點A、B間的直線段距離最短。 PAPB的最小值為線段A

32、B的長度。A（0，7），B（6，1），A（0，7），AC=6，BC=8。練習(xí)題：1. 如圖，已知點A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動點，則ABP的周長的最小值為 2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點，現(xiàn)另取一點C(a，1)，當(dāng)a 時，ACBC的值最小3.如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當(dāng)AEF的周長最小時，則DF的長為【 】A1B2C3D44.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是 【 】A3

33、 B4 C5 D64、 應(yīng)用二次函數(shù)求最值典型例題：例1. 正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BCCD上兩個動點，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2【答案】，?！究键c】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭O(shè)BM=xcm，則MC=1xcm，AMN=90°，AMB+NMC=90°，NMC+MNC=90°，AMB=90°NMC=MNC。ABMMCN，即，解得CN=x（1x）。0，當(dāng)x=cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是cm2。例2.如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，

34、分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是【答案】1?！究键c】動點問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，平角定義，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭O(shè)ACx，則BC2x，ACD和BCE都是等腰直角三角形，DCA45°，ECB45°，DC，CE 。DCE90°。DE2DC2CE2（）22x22x2(x1)21。當(dāng)x1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1。例3.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.(1)連接AE，當(dāng)APE與ADE

35、全等時，求BP的長；(2)若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時BP的長.【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 當(dāng)時，y的值最大，最大值是。（2）設(shè)BP=x, 由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化簡得。解得或（不合題意，舍去）。當(dāng)BP= 時， PEBD?！究键c】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由APEADE可得AP=AD=3，

36、在RtABP中，應(yīng)用勾股定理即可求得BP的長。（2）由APPE，得RtABPRtPCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式?；癁轫旤c式即可求得當(dāng)時，y的值最大，最大值是。（3）由PEBD，得CPECBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式可求得BP的長。例4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設(shè)ABC=（60°90°）（1）當(dāng)=60°時，求CE的長；（2）當(dāng)60°90°時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由連接CF，當(dāng)CE2CF2取

37、最大值時，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60°，BC=10，sin=，即sin60°=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點G，F(xiàn)為AD的中點，AF=FD。在平行四邊形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，點F是AD的中點，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。

38、EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得EFD=3AEF。設(shè)BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。CF=GF（中已證），CF2=（CG）2=CG2=（20020x）=505x。CE2CF2=100x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。當(dāng)x=，即點E是AB的中點時，CE2CF2取最大值。此時，EG=10x=10，CE=，。【考點】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，

39、對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥浚?）利用60°角的正弦值列式計算即可得解。（2）連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明AFG和CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得AEF=G=AFG，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，從而得解。設(shè)BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE

40、2，表示出EG的長度，在RtCEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。例6.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）如圖1，PE=BE，EBP=E

41、PB又EPH=EBC=90°，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQPH，垂足為Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90°，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90°，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FMAB，垂足為M，則FM=BC=AB。又EF為折痕，EFBP。EFM+MEF

42、=ABP+BEF=90°。EFM=ABP。又A=EMF=90°，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，即。又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，。，當(dāng)x=2時，S有最小值6?！究键c】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值。【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出PBC=BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由AAS證明ABPQBP，從而由HL得出BCHBQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC

43、=AD+CD=8為定值。（3）利用已知得出EFMBPA，從而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用6.（2011內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰14分）如圖（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CP于點F，交BC的延長線于點N，F(xiàn)NBC（1）若點E是BC的中點（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點E在BC間運動時（如圖2），設(shè)BE=x，ECF的面積為y求y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值圖1 圖2五、應(yīng)用其它知識求最值：典型例題：D。例2.（2012廣西來賓3分）如圖，已知線段OA交O

44、于點B，且OB=AB，點P是O上的一個動點，那么OAP的最大值是【 】A30° B45° C60° D90°【答案】A?！究键c】動點問題，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，當(dāng)點P運動到點P，即AP與O相切時，OAP最大。連接O P，則A PO P，即AO P是直角三角形。OB=AB，OB= O P，OA=2 O P。OAP=300，即OAP的最大值是=300。故選A。例4.（2012河北省12分）如圖1和2，在ABC中，AB=13，BC=14，cosABC=探究：如圖1，AHBC于點H，則AH= ，AC= ，ABC的面積SA

45、BC= ；拓展：如圖2，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BD=x，AE=m，CF=n（當(dāng)點D與點A重合時，我們認(rèn)為SABD=0）（1）用含x，m，n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；（2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個最小值【答案】解：探究：12；15；84。拓展：（1）由三角形面積公式，得，。 （2）由（1）得， ABC中AC邊上的高為，x的取值范圍為

46、。 隨x的增大而減小，當(dāng)時，的最大值為15，當(dāng)時，的最小值為12。（3）x的取值范圍為或。發(fā)現(xiàn)：直線AC，A、B、C三點到這條直線的距離之和最小，最小值為?！究键c】動點問題，銳角三角函數(shù)定義，特殊角有三角函數(shù)值，勾股定理， 垂直線段的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥刻骄浚涸赗tABH中，AB=13，BH=AB。 根據(jù)勾股定理，得。 BC=14，HC=BCBH=9。根據(jù)勾股定理，得。 。拓展：（1）直接由三角形面積公式可得。 （2）由（1）和即可得到關(guān)于x的反比例函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BDAC時，x最小，由面積公式可求得；因為AB=13，BC=14，所以當(dāng)BD=BC=14時，x最

47、大。從而根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出m+n）的最大值和最小值。 （3）當(dāng)時，此時BDAC，在線段AC上存在唯一的點D；當(dāng)時，此時在線段AC上存在兩點D；當(dāng)時，此時在線段AC上存在唯一的點D。因此x的取值范圍為或。發(fā)現(xiàn)：由拓展（2）知，直線AC，A、B、C三點到這條直線的距離之和（即ABC中AC邊上的高）最小，最小值為（它小于BC邊上的高12和AB邊上的高）。例5.（2011河北省10分）如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設(shè)MOP=當(dāng)= 度時，點P到CD的距離最小，最小值為 探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角BMO= 度，此時點N到CD的距離是 探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，C