1、福建省廈門市高三質量檢查數(shù)學試題（理科）試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分為150分，考試時間120分鐘。注意事項：1 .考生將自己的姓名、準考證號及第II卷的所有答案均填寫在答題卡上：2 .答題要求，見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”。參考公式：3 的表面積公式S =4成2 其中R表示球的半徑球的體積公式y(tǒng) = 士欣，其中R表示球的半徑3第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。A. 18B. 36C. 54D. 722 . sinC + loe,cos土 的值為（）J 1212A. -4B

2、. 4C. -2D. 23 .已知向量 = （1,2）和 = （x,l）,若向最1 + 224-3平行,則實數(shù)¥等于（）A. -B. 1C. -D. 223224.若拋物線）=2px的焦點與橢圓 J +二=1的右焦點重合，則p的值為 （）1.已知等差數(shù)列為的前項和為S”,若% =18-%，則又=（）62A. -2B. 2C. 一4D. 45.正四而體PABC中，M為棱AB的中點，則PA與PCM所成有的余弦值為（）A. "B,炳/ /TcZL-b7D-fA6. ±>1的一個充分不必要條件是（）A. x> yB. x > y>0 C. x<

3、; yD. y <x<08 .己知函數(shù)y = 2sin（3x + 6）為偶函數(shù)（0 <0<4）,其圖像與直線y = 2的某兩個交點橫坐標為Xi、X2,若1士-玉的最小值為方，則A. co = 2.0 = B. co = .0 =222C. co = .0 = D. co = 2,0 =244i39 . 一質點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t稱后的位移為s = 一二/+21,那么速度為零的時刻是 32A. 0秒B. 1秒末C. 2秒末10 .如圖，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,沿對角線BD將ABD折起，使A點在平面BCD內的射影落在BC邊 上，若二面角CABD的平面

4、有大小為0 ,則sin。的值等D.C.11 .我們把使得/« = 0的實數(shù)不叫做函數(shù)丁 = /（工）的零點對于區(qū)間。向 上的連續(xù)函數(shù)y = /（x）,若/（）,/（）<0,那么函數(shù)丁 = /（X）在區(qū)間（。力）內有零點。則函數(shù)/（x） = In x + 2x - 6的零點個數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D.多于兩個12 .下列命題:若/（幻是定義在- 1, 1上的偶函數(shù)，且在- 1, 0上是增函數(shù)，夕£（二，9）,則 2f (sin) > /(cos。).若銳角a、心前足cos。 sin/7,則a+ /7 v £.2若f(x) = 2cos1一1,則

5、/'(x + zr) = /(x)對x e穴恒成立2要得到函數(shù)y = siii(-馬的圖象只需將)，=sin f的圖象向右平鍵個單位 2 4-2其中真命題的個數(shù)有()A. 1B. 2C. 3D. 4第n卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，在答題卡上的相應題目的答題區(qū)域內作答。13 .已知數(shù)列%中,4 =20,4+ =a +2-1,” £ N，則數(shù)列*的通項公式a=。14 .點 P 是雙曲線£ :二一二=1(。力 0)和圓C): x2 + V = «2 +b2 的一個交點，且 2ZPFiF2= cr lrZPF2F1,其

6、中E、F2是雙曲線C1的兩個焦點，則雙曲線Ci的離心率為 o15 .四面體ABCD中，共頂點A的三條棱兩兩相互垂直，且其長別分為1、石、3,若四而體ABCD的四個項點同在一個球面上，則這個球的表面積為 e2216 .已知動點P(x, y)在橢圓+ = 1±,若A點坐標為(3,0),I AM = 1且而.而=0 ,25 16則I麗I的最小值是,第3頁共12貞三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相 應題目的答題區(qū)域內作答。17 .（本小題滿分12分）已知向量2 = （$宜4,$山3）, = 90$氏<：0$4）,/«

7、= 51112。,且人、B、C分別為AABC的三邊a、b、c所對的角。（1）求角C的大小：（2）若sinAsinCsinB成等差數(shù)列且5（而一由 = 18,求c邊的長。18 .（本小題滿分12分）如圖，三棱錐P-ABC中，PC_L平而ABC, PC=AC=2, AB=BC, D是PB上一點，且。口_1平而PAB。發(fā)（1）求證：AB_L平面 PCB；VK<2）求二而角C-PA-B的大小的余弦值。 19 .（本小題滿分12分）已知數(shù)列”的前項和S” =22一3以數(shù)列出,是正項等比數(shù)列，滿足=一由也（如 _/）=仇.（1）求數(shù)列“和”的通項公式：（2）記c“ = %是否存在正整數(shù)使得對,切n

8、e Ncn < M恒成立，若存在，請求出M的 最小值；若不存在，請說明理由。20 .（本小題滿分12分）某化工集團在靠近某河流修建兩個化工廠，流經(jīng)第一化工廠的河流流量為500萬立方米/天，在兩個化工廠之間還有一條流量為200萬立方米/天的支流并入大河（如圖）。第一化工廠每天排放含有某種有害物質的工業(yè)廢水2萬立方米：第二化工廠每天排放這種工業(yè)廢水1.4萬立方米，從第一化工廠排出的工業(yè)廢水在流到第二化工廠之前，有20%可自然凈化。環(huán)保要求：河流中工業(yè)廢水的含量應不大于0.2%,因此，這兩個工廠都需各自處理部分的工業(yè)廢水，第一化工廠處理工業(yè)廢水的成本是1000元/萬立方米，第二化工廠處理工業(yè)廢

9、水的成本是800元/萬立 方米。試問：在滿足環(huán)保要求的條件下，兩個化工廠應各自處理多少工業(yè)廢水，才能使這兩個工廠總 的工業(yè)廢水處理費用最??？21 .（本小題滿分12分）已知曲線C上任意一點M到點F （0, 1）的距離比它到直線/:），= 2的距離小1。<1）求曲線C的方程：（2）過點尸（2,2）的直級與曲線皎于A 8兩點設而二月麗當4 = 1時，求直線?的方程；當AAOB的面積為4上時（。為坐標原點），求力的值。22 .（本小題滿分14分）已知函數(shù)是在（0,2）上處處可導的函數(shù)，若fx） > / W在x > 0上恒成立。第7頁共12頁(1)求證：函數(shù)g(x) = W»

10、;在(O,+s)上是增函數(shù): x(2)當內 >Q,x2 >0H寸，證明：/(內)+ f(x2)<f(xi +x2)；(3)己知不等式ln(l + x)vx在x>l且xWO時恒成立,求證：2232(eN，ln32 +-11142 + + )_- >42( + 1)2(“ + 1乂 + 2)第6貞共12頁福建省廈門市2008學年高三質量檢查數(shù)學試題(理科)參考答案一、選擇題1. D 2. C 3. A 4. D 5. C 6. B 7. B 8. A 9. D 10. A 11. B 12. A 二、填空題13. n2 -2n+ 2114. V3 + 115. 16期

11、16.出三、解答題17.(本小題滿分12分)解：(1) m - / = sin A - cosB + sin B - cos A = sin(A + B) 2 分對于 AABC, A + B = 7：-C,0 <C <7r ：. sin(A + 3) = sin C,/. m n = sin C.3 分又/ in-n = sin 2C ,/.sin2C = sinC,cosC = ,C = .6 分23(2)由 sin4,sinC,sin8成等差比數(shù)歹U,得2sinC = sin A + sinB ,由正弦定理得2c =。+。8分-CA(AB-Xc)= :.CACB = S,即 a

12、bcosC = 18,ab = 36.10 分由余弦弦定理，=a2+b2-2abcosC = (a + b)2 -3ah,11 分c2 = 4c2 -3x36,c? = 36 ,c = 6.12 分18.(本小題滿分12分)(1)解：PC_L平而ABC, ABu平面ABC,/. PC±ABo2 分CD，平面 PAB. ABu平面 PAB,又 PCGCD=C.，ABL平面 PCBc5 分（2）解法一：取AB的中點E,連結CE、DE。VPC=AC=2, ACEIPA, CE=V2.,CDJ_平面PAB.由三垂線定理的逆定理，得DEJ_PA.NCED為二面角CPAB的平面角。8分由（1）

13、AB_L平而 PCB,，ABJ_BC,又AB=BC, AC=2,求得 BC=VI（2）解法二：VAB±BC. AB_L平面PBC,過點B作直線lPA, 則 l_LAB, l±BC,以 BC、BA、I 所在直線為 x、y、Z軸建立空間直角坐標系（如圖）。6分設平面PAB的法向量為加= （x,y,z）.A(0,&,0), P(V2A2XC(V2A0),/. BA = (0, V2,0) JP = (V2-V2,2),則忸三=0,即卜兩，=0,AP- m = 0. >/2x 2y + 2z =() y = 0解得， 式.令Z = T x = -j2z得e=(立0,-

14、1). 8分設平而PAC的法向量為1 = (x,力,4),CP = (0,0,2), AC =(、歷,-&,0),則上丁即AC - n = 0.= 01解得， .令內=1,得 = (1,1,0). u H10分第9頁共12貞cos <m.n >ni n _ V2 _ y/3I ? I , I I V3 x V2 311分二.二面角C 一 PA B大小為cos312分第11頁共12貞（2）解法三:CD，平面PAB,是平面PAB的一個法向量。取 AC 中點 F, VAB=BC=V2 , ABF1AC,又PC,平面ABC,有平而PAC 平面ABC,平面PAC, 樂是平面PAC的一

15、個法向量。 1 * -BF = -(BA + BC)7 分2設a=ACP + (1- 2)CB,v CD _L 而即也 B戶=0得(而 + (1-A)CB) (CP-CB) = O,由知而 CB = O,CP BA = O,21 而 F (1 一) I 而 F= 0,而 而 |= 2j CB=41 1 2 .2 =CD = CP + CB.9分333144 1IC0|2=x4 + x2 = ,18/F= - x(2 + 2) = 1,10 分9934,cos<國而=空里=亙12分CD-BF319.(本小題滿分12分)解：(1)數(shù)列面的前n項和.=2n2- 3n,an = Sn - S“_

16、 = 4 - 5 (/7 e Nji > 2)又 = = -1,數(shù)列勺的通項公式為an = 4/7 -5 (n TV*)數(shù)列“是正項等比數(shù)列，4= l,a2 =4,= Z73 =,一42分3分4分5分數(shù)列色的通項公式為瓦=（ e N） 26分4 一 5(2)解法一：c = a b =-,/>一14 - 1 4/2-5 9-4>0,W«<2第13頁共12頁10分當2 3時,_ VC，即> c4 > c5 >,故存在正整數(shù)M,使得對一切 eN'c“”恒成立,M的最小值為212分（2）解法二:4 一 5令 /(A) =J'(X)=

17、4 .(；廣| + (4x -5) (；) 1 In ： ,8 分乙乙乙乙由 f'M >。得x < + ! x 2.69，4 In 2函數(shù)/(x)在(_s,3 + L)上單調遞增在(2 + L,+s)上單調遞減10分4 In 24 In 237對于 “eN=q = /(2) = ；0 = /(3) = c2 V 4即數(shù)列(。“的最大項是G故存在正整數(shù)M,使得對一切WM恒成立，M的最小值為212分20.（本小題滿分12分）解：設第一化工廠每天處理工業(yè)廢水X萬立方米，7 x 需滿足：工一< 0.2%,0 <x<2.2分500設第二化工廠每天處理工業(yè)廢水y萬立方

18、米，需滿足：。劉-（L4-A < 0.2%,0 <y<1.4.4 分700兩個化工廠每天處理工業(yè)廢水總的費用為1000x+800y元。問題即為：在約束條件2-x500<0.2%0.8(2-x) +(1.4 -y)700< 0.2%下,0<x<2求目標函數(shù)z = 200(5x + 4y)的最小值。6分21.(本小題滿分14分)(1)解法一：設則由題設得+1分即 yx2+(y-)2 =y + 2-當 y 之一刪;-Jx2 +(y-l)2 = y +1,化簡彳款2 = 4y ：3 分當 y v 一母寸,7x2+(y-l)2 = -y-3,4 分化簡得爐=8y + 8與y<-3不合故點M的軌跡C的方程是x2 = 4)，5分(1)解法二：丫點M到點尸(1,0)的距離比它到直線/:>' = -2的距離小于1, .點M在直線I的上方，點M到F (1, 0)的距離與它到直線/':>，= 一1的距離相等3分.點M的軌跡C是以尸為焦點/為準線的拋物線所以曲線C的方程為/ =4y5分(2)當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題