1、第二十二 分數(shù)、百分數(shù)應用題綜合提高基礎知識回顧：1. 比：( 1 ) 比的概念：兩個數(shù)相除叫做兩個數(shù)的比?例如，5+6 可記作 5:6 . “ ： ”是比號， 比號前面的數(shù)叫做比的 前項，比號后面的數(shù)叫做比的 后項 ，前項除以后項所得的商叫做比值 . 比的后項不能為0.( 2) 比的性質：比的前項和后項都乘以或除以一個不為零的數(shù)，比值不變.2. 比例基本性質：如果 a:b c:d ，那么 a d b c .3. 正比例關系和反比例關系：( 1 )正比例：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種 量相對應的兩個數(shù)的比值 ( 也就是商 ) 一定， 這兩種量就叫做成正比例的量 ，

2、它們 的關系叫做成正比例關系或者簡寫為“成正比” .( 2)反比例：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相 對應的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量 ，它們的關系叫做成反 比例關系 ，或者簡寫為“成反比” .注意，正比例和反比例是兩種“量”之間的關系 . 比如長度、面積、時間、價格、重量這些都是生活中實際存在的“量”.而以前我們學習的比和比例則是針對具體的 “數(shù)” 之間的關系 . 兩個量之間如果成正比例關系 或成反比例關系 ，稱 為這兩個量 成比例 .分數(shù)、百分數(shù)應用題相關的題目類型及解題方法：1. 比例互化：( 1 ) 部分占部分，部分占整體之間的轉化；(

3、2)多組比化連比 .2. 通過尋找不變量解題：常用不變量有：( 1 ) 總量 ( 和 ) 不變：給來給去的情況；( 2)差不變：同增、同減的情況；( 3)其中某一個量沒有變化 .3. 正反比例的概念和應用 .4. 復合比 .5. 方程法 .6. 倒推法.7. 列表法.例 1. 甲、乙兩個人分別有許多蘋果，如果甲買了 5 個蘋果，則此時甲、乙兩人的蘋果數(shù)之比是 7:8 ; 如果甲買了 9 個蘋果，乙丟了 4 個蘋果，此時甲乙兩人的蘋果數(shù)之比是3:2 ， 那么兩人原來分別有多少個蘋果？分析本題可以利用“和不變”解題.練習 1 、小高、小思兩個人分別有許多積分，如果小高又得了 3 分，則此時兩人的積

4、分之比是 2:3 ; 如果小高又得了 8分，小思丟了 5分，此時兩人的積分之比是3:4, 那么兩人原來分別有多少積分？例 2. 甲乙兩個班的同學人數(shù)相等，且各有一些同學參加了課外數(shù)學小組的活動 . 其中甲班參加的人數(shù)是乙班參加人數(shù)的 -. 乙班未參加人數(shù)是甲班未參加人數(shù)的 -. 請問：甲55班未參加人數(shù)是乙班參加人數(shù)的幾分之幾？分析因為兩班總人數(shù)相同可以采用設數(shù)法， 設出這個總數(shù)后，就可以表示出所需的其它數(shù)量了 .練習 2、甲、乙兩人有相同數(shù)目的水果，水果有梨和蘋果兩種，甲的梨和乙的蘋果數(shù)目 之比為 4:3, 甲的蘋果和乙的梨數(shù)目之比為 6:7 ，那么甲的蘋果數(shù)和乙的蘋果數(shù)之比是 多少？例 3

5、. 有三個最簡真分數(shù)，其分子的比為 3:2:4 ，分母的比為 5:9:15 . 將這三個分數(shù)相加，再28經過約分后為 . 那么三個分數(shù)的分母相加是多少？45分析可以采用設未知數(shù)的辦法解答此題.3:4:5 ，分母的比為練習 3 、有三個真分數(shù)（ 其中第一個是最簡真分數(shù)） ，其分子的比為4:9:18 ?將這三個分數(shù)相加，再經過約分后為72 ?那么三個分數(shù)的分母相加是多少例 4. 某工廠有 A, B, C, D , E 五個車間，人數(shù)各不相等?由于工作需要，把B 車間工人111的調入 A 車間， C 車間工人的 -調入 B 車間， D 車間工人的一調入C 車間， E 車間2341工人的 - 調入 D

6、 車間 . 現(xiàn)在五個車間都是30 人 . 原來每個車間各有多少人？6分析本題可以采用“倒推法” .練習 4 、五指山上有甲，乙，丙，丁四隊妖怪，妖怪數(shù)各不相等?為了均衡勢力，把乙111隊妖怪的1調入甲隊，丙隊的 ，調入乙隊，丁隊的-調入丙隊？現(xiàn)在四支隊伍都是48357人？原來每個隊伍各有多少妖怪？例 5？ 小光、小明和小亮分一些蘋果. 他們發(fā)現(xiàn)，蘋果可以恰好按照 4:3:2 分配（按照小光、小明、小亮的順序，下同），也可以恰好按照 5:4:n 分配（其中 n 為自然數(shù)），兩種分配方法下，小光所分得的蘋果數(shù)相差 20 個 ？那么蘋果總數(shù)的最大值是多少？分析本題中哪些量是沒有發(fā)生變化的呢？例 6.

7、 甲、乙、丙三人玩贏卡片的游戲，他們手中一共有156 張卡片 ？第一輪，甲贏了乙、1 1丙每人手中卡片的 1; 第二輪，乙贏了甲、丙每人上輪結束時手中卡片的 1 ，最后一輪，514丙贏了甲、乙每人上輪結束時手中卡片的 1 ，最后甲、乙手中的卡片數(shù)之比是2:3 ，那4么結束時丙手中有多少張卡片？分析本題可以采用尋找“不變量”作為解題突破口數(shù)學泰斗阿基米德阿基米德（約前287 年前 212 年）是偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家、物理學家、 力學家，靜力學和流體靜力學的奠基人 他出生于西西里島的敘拉古， 從小就善于思考， 喜歡辯論 早年游歷過埃及， 曾在亞歷山大城學習 據說他住在亞歷山大里亞時期發(fā)明 了

8、阿基米德式螺旋抽水機， 今天在埃及仍舊使用著 第二次布匿戰(zhàn)爭時期， 羅馬大軍圍 攻敘拉古， 最后阿基米德不幸死在羅馬士兵之手 他一生獻身科學，忠于祖國，受到人 們的尊敬和贊揚阿基米德出生在古希臘西西里島東南端的敘拉古城 在當時古希臘的輝煌文化已經 逐漸衰退， 經濟、文化中心逐漸轉移到埃及的亞歷山大城；但是另一方面， 意大利半島 上新興的羅馬帝國， 也正不斷的擴張勢力； 北非也有新的國家迦太基興起 阿基米德就 是生長在這種新舊勢力交替的時代，而敘拉古城也就成為許多勢力的角力場所阿基米德的父親是天文學家和數(shù)學家， 所以阿基米德從小受家庭影響， 十分喜愛數(shù) 學大概在他九歲時， 父親送他到埃及的亞歷山

9、大城念書 亞歷山大城是當時世界的知 識、文化中心，學者云集，舉凡文學、數(shù)學、天文學、醫(yī)學的研究都很發(fā)達，阿基米德在這里跟隨許多著名的數(shù)學家學習， 包括有名的幾何學大師歐幾里得， 在此奠定了他 日后從事科學研究的基礎在數(shù)學方面，阿基米德確定了拋物線弓形、螺線、 圓形的面積以及橢球體、 拋物面 體等各種復雜幾何體的表面積和體積的計算方法 在推演這些公式的過程中， 他創(chuàng)立了 “窮竭法”，即我們今天所說的逐步近似求極限的方法，因而被公認為微積分計算的鼻 祖他用圓內接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、 面積逐漸接近的方法， 比較精確的求出 了圓周率 面對古希臘繁冗的數(shù)字表示方式， 阿基米德還首創(chuàng)了記大數(shù)的方法

10、， 突破了 當時用希臘字母計數(shù)不能超過一萬的局限， 并用它解決了許多數(shù)學難題浮力原理的發(fā)現(xiàn)關于浮力原理的發(fā)現(xiàn)， 有這樣一個故事： 相傳敘拉古赫農王讓工匠替他做了一頂純 金的王冠但是在做好后， 國王疑心工匠， 但這頂金冠確與當初交給金匠的純金一樣重 工匠到底有沒有私吞黃金呢？既想檢驗真假， 又不能破壞王冠， 這個問題不僅難倒 了國王，也使諸大臣們面面相覷經一大臣建議，國王請來阿基米德檢驗最初，阿基米德也是冥思苦想而卻無計可施一天， 他在家洗澡，當他坐進澡盆里時， 看到水往外溢，同時感到身體被輕輕托起 他突然悟到可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確 定金冠的比重 他興奮地跳出澡盆， 連衣服都顧不

11、得穿上就跑了出去， 大聲喊著“尤里卡！尤里卡！” （ Eureka ，意思是 "我知道了” ） .他經過了進一步的實驗以后， 便來到了王宮， 他把王冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個盆里，比較兩盆溢出來的水， 發(fā)現(xiàn)放王冠的盆里溢出來的水比另一盆多 . 這就 說明王冠的體積比相同重量的純金的體積大， 密度不相同， 所以證明了王冠里摻進了其他金屬這次試驗的意義遠遠大過查出金匠欺騙國王的事實， 阿基米德從中發(fā)現(xiàn)了浮力定律 （阿基米德原理） ：物體在液體中所獲得的浮力，等于它所排出液體的重量一直到現(xiàn)代，人們還在利用這個原理計算物體比重和測定船舶載重量等 給我一個支點，我可以撬動地球有一天阿基

12、米德在久旱的尼羅河邊阿基米德對于機械的研究源自于他在亞歷山大城求學時期.散步， 看到農民提水澆地相當費力， 經過思考之后他發(fā)明了一種利用螺旋作用在水管里旋轉而把水吸上來的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器” ，埃 及一直到二千年后的現(xiàn)在，還有人使用這種器械這個工具成了后來螺旋推進器的先 祖當時的歐洲，在工程和日常生活中，經常使用一些簡單機械，譬如：螺絲、滑車、 杠桿、齒輪等， 阿基米德花了許多時間去研究， 發(fā)現(xiàn)了“杠桿原理” 和“力矩” 的觀念， 對于經常使用工具制作機械的阿基米德而言， 將理論運用到實際的生活上是輕而易舉的 他自己曾說： “給我一個支點和一根足夠長的杠桿，我就能撬動整個

13、地球 ” 后世的評價美國的 E. T. 貝爾在數(shù)學大師上是這樣評價阿基米德的：任何一張開列有史以 來三個最偉大的數(shù)學家的名單之中， 必定會包括阿基米德， 而另外兩們通常是牛頓和高 斯不過以他們的宏偉業(yè)績和所處的時代背景來比較， 或拿他們影響當代和后世的深邃 久遠來比較，還應首推阿基米德作業(yè)1.甲、乙、丙、丁四人合做一批零件，甲做的個數(shù)是另外3 個人所做的總數(shù)的一半，乙做11的個數(shù)是另外3 個人所做的總數(shù)的-，丙做的個數(shù)是另外3 個人所做的總數(shù)的 1，丁35做了 390 個 ?那么四個人共做了多少個零件？2.甲乙兩人的包子數(shù)之比是如果甲買了 4 個包子，則此時2:3 ；如果甲買了 9個包子，乙吃

14、了 5個包子，此時甲乙兩人的包子數(shù)之比是5:7, 那么 兩人原來分別有多少個包子？3. 萱萱手上有語、數(shù)、英三種高思積分卡，分值的總和是590 , 英語積分卡的分值和是數(shù)53學的 5 ，也是語文的 3 . 萱萱手頭的語文高思積分卡的分值是 多少？844. 三班原計劃抽 20% 的人參加大掃除，臨時又有兩人主動參加，使實際參加打掃除的人1數(shù)是余下人數(shù)的 - ，原計劃抽出 多少人大掃除？甲乙兩個班的其中甲班未5一 . 請問：甲435.同學人數(shù)相等， 且各有一些同學參加了課外數(shù)學小組的活動 .參加的人數(shù)是乙班未參加人數(shù)的 2 倍 . 乙班參加人數(shù)是甲班參加人數(shù)的班未參加人數(shù)是乙班參加人數(shù)的 幾分之幾

15、？15份,那么兩種情況下甲和乙的蘋果數(shù)之比分別為7:8、9:6,由題意可知一份對應了2個蘋果,第二十二分數(shù)、百分數(shù)應用題綜合提高例7.答案：9、16詳解：答案甲原有9個，乙原有16個.前后兩種情況下甲乙兩人的蘋果總數(shù)不變，則可把前后蘋果的總份數(shù)統(tǒng)一為所以甲原有2 7 5 9個蘋果，乙原有16個蘋果.例&答案：四分之三詳解：設份數(shù)，按下面轉化，可以得出最后甲乙均為23分的總人數(shù)，所以,甲班未參加人數(shù)是乙班參加人數(shù)的四分之三詳解：設三個分數(shù)為3a5b、擔9b 15b（其中a與b互質）,則三個分數(shù)之和為49a45b2845參未參未甲25和同815乙51 *203例9.答案：203所以a和b的

16、值分別為4和7?因此三個分數(shù)的分母相加是(5 9 15)7203 .例10.答案：A, B, C, D, E五個車間分別有11、38、33、32、36 人詳解：設A , B , C , D , E五個車間分別有a、b、c、d、e個人，則Godnd30=_e=_d+_e=_c+_d=_b+_c=_b+a,所以 a, b, c, D, E 五個車間分別有 11 、 38、 33 、 32 、 36 人.詳解：小光第一次占總數(shù)的36 4n9(9 n)第二次占總數(shù)的459(9 n)通過枚舉可知當例11.答案：1980所以蘋果時45和36 4n的差最小，即兩種情況小光的蘋果數(shù)所占總數(shù)的比例最接近,總數(shù)的

17、最大值是1980.例12 .答案：66詳解：可設最后甲、乙的卡片數(shù)分別為18x和27x,通過倒退，可得下表第1輪第2輪第3輪甲：40x- 3932x24x18x乙：60x- 6548x- 5236x27x丙：260- 100x208- 80x156- 60x156- 45x由上表最左列可知 x的值只可以取2,則結束時丙手中有 66張卡片.練習1、 答案：小高67分，小思105分簡答：根據“和不變”，統(tǒng)一單位1解題即可.練習2、答案2:1簡答：甲的梨：乙的蘋果=4:3,甲的蘋果：乙的梨=6:7,設甲共10份的水果，則乙也是10份的水果，發(fā)現(xiàn)單位1相同，不需進行比例計算，甲的蘋果：乙的蘋果 =6:

18、3=2:1練習4、答案：甲，乙，丙，丁四隊各有29、57、50、56個妖怪練習3、答案62簡答：設三個分數(shù)為3a4a5a （其中a與4b、 9b、18bb互質），則三個分數(shù)之和為27a 16a 10a36b53a 53 所以 a和b的值分別為136b 72和2.因此三個分數(shù)的分母相加是(49 18) 262 .簡答：同例4,用倒推法.作業(yè)簡答：已知條件即告訴大家甲、乙、丙做的零件個數(shù)分別占總個數(shù)的 ，則丁6完成的個數(shù)占總個數(shù)的 11111 ，所以總個數(shù)為 390 - 15603 4 644 1560 .6. 答案： 1560 .7. 答案：甲有116 個，乙有 180 個 .簡答：由已知條件發(fā)現(xiàn)，前后兩種情況下包子的總量不變，所以可以把前后兩個比的化為相同份數(shù)來分析，即化為 24:36 和 25:35 ，由于乙在兩種情況下相差5 個包子，所以一份對應