1、微積分下期末試題（一）I 2 Ii I 3Ii :： I 2 :： I 3、填空題（每小題3分，共15分）y22x(1-y)1、f(xy,一)=x-yfas_1V已知x，則f(x，y)-1+Vx22、aedx二.二已知，.二二22,3、函數(shù)f(x，y)=x+xy+y-y+1在點(diǎn)取得極值.4、已知f（x,y）=x+（x+arctany）arctany則f：（1,0）=13x5、以y=（C1+C2X）e（G，C2為任意常數(shù)）為通解的微分方程是y-6yy=0、選擇題（每小題3分，共15分e(1 i)x 0e dxdx ,1 -:-與 1 xlnx均收斂，則常數(shù)p的取值范圍是（ C ）.(A)p1(B

2、)p：1(C)1：p：2(D)p24x-2：2f(x,y) =x +y7 數(shù)、0,22x2 y2 = 022x y =0在原點(diǎn)間斷，是因?yàn)樵摵瘮?shù)（B）.（A）在原點(diǎn)無定義（B）在原點(diǎn)二重極限不存在（C）在原點(diǎn)有二重極限，但無定義（D）在原點(diǎn)二重極限存在，但不等于函數(shù)值Ii8、若11 31 - x2 - y2dxdy I2 x2 y2 1_ x2 - y2dxdy I3 =31 - x2 - y2dxdy2 爭2 y2 0V(3分)8222二(42-y3)2dy=16二(8-0)-8-0y3dy=128二-512_(6分)一7rJI337y=128兀-|k(8-0)12、求二重極限limS0vx

3、2+y2+11解:=limx)0原式y(tǒng)0(x2y2)(x2y211)22xy1-1(3分)13、=lix0yT(mx2y211)=2z=z(x,y)由z+eZ=xy確定,求(6分)解：設(shè)F(x,yN=z+ez-xy,則Fx-yFy=-xFz=1e：z_Fx二_y_y：z_FyjxFz1ez1ezNFz-xx1ez1ez（3分）zz:z21eyezzry_jy_1exy:xfy：:y1ez（1ez）21ez（1ez）2（6分）22.14、用拉格朗日乘數(shù)法求z=x+y+1在條件x+y=1下的極值.2,.、22解.z=x（1-x）1=2x-2x21 1x=x=令z=4x-2=0，得2,z=40,2為

4、極小值點(diǎn).（3分）1132 2./（一,一）一故Z=x+y+1在y=1-x下的極小值點(diǎn)為22極小值為2（6分）x1y1dyy2eydx15、計(jì)算工x1y一I=1dyeydx解：2（6分）(x2y2)dxdy22-16、計(jì)算二重積分D，其中d是由y軸及圓周xy=1的區(qū)域.(x2y2)dxdy5dr3dr-解：D=00=8(6分)17、解微分方程y=yx.解：令p=y,y=p:方程化為p=p+x,于是所圍成的在第一象限內(nèi)二ex-（x1）eC1=-（x1）C1ex（3分）v12Vy=pdx=-（x1）C1edx=-一（x1）C1eC22%(n3-n3-1)18、判別級(jí)數(shù)的斂散性.(3分),n317；

5、n3-1=解：limn、.；因?yàn)樯?一n1=limn二n31；n3-119、將函數(shù)3-x展開成x的幕級(jí)數(shù),并求展開式成立的區(qū)間111-3-x31x，八xn解：由于3,已知1xn=0,1x1,(3分)11:x1那么亡=3(3)、士產(chǎn)Xn3Mx3(6分20、某公司可通過電臺(tái)及報(bào)紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)If資料,銷售收入R（萬元）與電臺(tái)廣告費(fèi)用x（萬元）的及報(bào)紙廣告費(fèi)用x2（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗(yàn)公式：R=1514x132x2-8x1x2-2x-10x222求最優(yōu)廣告策略解：公司利潤為L=R-xi-x2=1513x131x2-8X1X2-2x1-10x2L*-Xi令LLx2=13際

6、2-4為=0,f4x1+8x2=13,=318xi20X2=0,即口x1+20x2=31,得駐點(diǎn)35(Xi,X2)=(,)=(0.75,1.25)44，而(3分)xix-4：二0B=Lx1x2-8C=LX2X2-20一一2一一D=AC-B=80-640所以最優(yōu)廣告策略為:電臺(tái)廣告費(fèi)用0.75（萬元），報(bào)紙廣告費(fèi)用1.25（萬元）.(6分)四、證明題（每小題5分，共10分）311設(shè) z=ln(x3 y3)x三y三二證明：-x /Z- gx 要一二 1-X 33證： x y.:z:y.21y-311x3 y3QOcdoO一2一22UnVn(UnVn)22、若X與*都收斂，則值收斂.22222、(3

7、分)證：由于0N(UnVn)=UnVn2UnVn三2(4Vn)QOQOOOvunVn、2（unVn）并由題設(shè)知I與nm都收斂，則1收斂,6%（UnVn）2從而一收斂。（6分）微積分下期末試題（二）一、填空題（每小題3分，共15分）1、設(shè)z=x+y+f（x_y）,且當(dāng)y=0時(shí)，z=x2,則z=。22答案（X-2xy+2y+y）二dx11了2、計(jì)算廣義積分x=。答案（2）3、設(shè)z=exy,則d（1,1）。答案（e（dx+dy）2x22x4、微分方程y5y+6y=xe具有形式的特解.答案（ax+bx）e）答案（1）J.j1Un=4-Un5、設(shè)n，則T12、選擇題（每小題3分，共15分）lim3sin

8、(x2 y2)x0yo的值為A.3B.0C.2D.不存在2、fx（x0, yJ和fy（X0, yo）存在是函數(shù)f （x, y）在點(diǎn)（x0，yo）可微的A.必要非充分的條件;B.充分非必要的條件;C.充分且必要的條件;D.即非充分又非必要的條件。2222.3、由曲面z=V4X y和Z=0及柱面X y =1所圍的體積是(D2 -2d r . 4 - r drA. J0 L0;B.4 dde10-r2drC、02d 01kdr4 dD. 0-r2 dr4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程y py+ qy = f (x)有三個(gè)特解 Yiy22xy3 =e則其通解為（C）。x2xA x+Ce +C2e .B.

9、_ x _ 2xC1xC2ex C3eC.x 2xx、x+C1(e -e )+C2(x-e).D.x 2x2xC(e - e )C2 (e-x)5、無窮級(jí)數(shù)：（-1尸n Pnm n （P為任意實(shí)數(shù)）(D)A、收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、無法判斷三、計(jì)算題（每小題6分，共60分）. xy lim -1、求下列極限：灣Jxy+1 -1. xy .lim =lim解：.xy -1之xy(xy T 1)(xy 1)-1（3分）=lim(xy11)=11=2（6分）2、求由y=、x與直線x=1、x=4、y=所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解:Vx 二二.2dx（4分）二75（6分）三三z,3、求由ex

10、yz所確定的隱函數(shù)z3的偏導(dǎo)數(shù)cX硒。解：方程兩邊對X求導(dǎo)得：z:z：z：zyzze=yzxy二二-ex詼，有ae-xyx(z1)(3分)方程兩邊對y求導(dǎo)得：z；:z三z三zxzze=xzxy=-z=冠y,有cye-xyy(z1).(6分)3,224、求函數(shù)f(x，y)=x4x+2xy-y的極值。322解：f(x,y)=x-4x+2xyy則fx(x,y)=3x2-8x2yfy(x,y)=2x-2y，fxx(x,y)=6x-8fxy(x,y)=2fyy(x,y)-2,，243x-8x+2y=0,求駐點(diǎn)，解方程組l2x-2y=0,得(0,0)和(2,2).(2分)對(0,0)有fxx(0,0)=與

11、0,fxy(0,0)=2,fyy(0,0)=2,于是B2-AC=-120,(2,2)不是函數(shù)的極值點(diǎn)。4二_6、計(jì)算積分Dx，其中D是由直線y=x,y=2x及x=1,x=2所圍成的閉區(qū)域;.-d-解：Dx22xy1dxx;dy（4分）二32xdx=9（6分）x7、已知連續(xù)函數(shù)f（x）滿足10f出=2xf(x)+x,且f(1)=0,求f(x)解：關(guān)系式兩端關(guān)于x求導(dǎo)得:（3分）1f(x)=2f(x)+2xf(x)+1即f(x)+云f(x)=2x這是關(guān)于f（x）的一階線性微分方程，其通解為:(Txc)=-1二一x.x,(5分)又f=,即c1=0,故c=1,所以f(x)=-18、求解微分方程2y-y

12、1-y=0。（6分）解：令y=p,則dpy=p一dpdy,于是原方程可化為:dp2p-dy1一y（3分）dp2八p=0即dy1-ydydydx=G(y-1)2故原方程通解為:oOzn(x-2)9、求級(jí)數(shù)nmdy即(y-1)2-c1dxc1(y-1)2（5分）c1xc2（6分）Vn的收斂區(qū)間。二tnvtRt=lim3n、n二解：令t=x-2,募級(jí)數(shù)變形為n/Vn,an13n1=lim3-=1-.；n（3分）（n當(dāng)t=一1時(shí)，級(jí)數(shù)為n413.Vn收斂;J當(dāng)t=1時(shí)，級(jí)數(shù)為nm而發(fā)散.故ndtn3n的收斂區(qū)間是,十11（5分）、xun的收斂區(qū)間為Ix=1,3）（6分）:sin(2nx)10、判定級(jí)數(shù)

13、n-n!是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂。sin(2nx)o,所以（0,0）點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)（4分）對(2,1)有fxx(2,1)=12,fxy(2,1)-12fyy(2,1)=48于是B2AC=14142480A=120函數(shù)在1）點(diǎn)取得極?。?分）值f(2,1)=21(2y /)dy 得_12父2M1+8父13=-8（5分）（2x y）d。6、計(jì)算二重積分D淇中D是由1y =x,y =一x及y = 2所圍成的閉區(qū)域;解:(2x y)d。D2 y=1 dy(2x y)dxy（4分）（6分）7、已知連續(xù)函數(shù)f（x）滿足x10f出+2f(x)+x=0求f(x)解:關(guān)系式兩端

14、關(guān)于x求導(dǎo)得:1_1他上此即“)2f(x)=-2（2分）這是關(guān)于f（x）的一階線性微分方程，其通解為:=-e-2(e2c)=-1ce*x又f（0）=0,即0=1+c,故c=1,所以f（x）=e21，,2、8、求微分方程（1x）y-2xy=0的通解.解這是一個(gè)不明顯含有未知函數(shù)y的方?jīng)r，2，,dy心號(hào):型（1x2）dp作變換令dx，則dxdx:于是總方檔降階為dxdp2x“分離變量至二村，積分件lnp=ln(1+x2)+lnC1C(Lx2)J-C1(1x)即p-C1(1x)，隊(duì)可dx再枳分一次得原方程的迪解3xC1(x-)C2y=3；（x-3）n9、求級(jí)數(shù)門壬石的收斂區(qū)間。二tn“t解：令t=x

15、-3,募級(jí)數(shù)變形為nm品8nmghm等二1n1、（一1）n1當(dāng)t=-1時(shí)，級(jí)數(shù)為nm”收斂;:1當(dāng)t=1時(shí)，級(jí)數(shù)為n3Jn發(fā)散.XnZ了I=1八故ne*n的收斂區(qū)間是1t1，1）（5分）（6分）2Px=0（3分）（5分）（6分）（3分）（5分）n-（x-3）那么ni 7n的收斂區(qū)間為 Ix =2,4）（6分）工二cos（nx）10、判定級(jí)數(shù)1n!是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂:解：因?yàn)閏os(nx)n!,1n!2分)-limn_j二由比值判別法知nn!收斂（7oOz從而由比較判別法知nNcos(nx)n!四、證明題（每小題5分，共10分）aO、a21、設(shè)級(jí)數(shù)nm收斂,證

16、明證：由于12n(n1)!1n!),(4分)收斂,所以級(jí)數(shù)odznWcos(nx)絕對收斂.6分)2而an12n都收斂,1z22(an3分)z2、設(shè)=2cos2(x-)2,證明-22三ft2+/收斂，由比較原則知亙n收斂.。(5分)-2三二0.x；t(2分)-2二 Z力=-cos(2x-t) .t-2 :Z改2 t-2二 Z=2cos(2x -1) - -2二 t .x-2二 Z干, ( 4分)證明：因?yàn)?Ztt1-22cos(x-)sin(x-)(-)=sin(2x-t).:t2225分)微積分下期末試題及答案(四)一、選擇題（每題2分）1、設(shè)4x ）定義域?yàn)椋?,2）A、(0,lg2)B、

17、 （0,則4lg x ）的定義域?yàn)椋ǎ?lg2 C、 （10,100）D、 (1,2)-2-2cZ二Zc2不二0a204:*t22、x=-1是函數(shù)ax尸 x x 的ox x2-1A、跳躍間斷點(diǎn)B、可去間斷點(diǎn)C、無窮間斷點(diǎn)D、不是間斷點(diǎn)3、試求lim2一44等于（）X0xA、-1B、0C、144、若Y+x=i,求y等于（）xyx 2ya2x-y-y_2x八2y-x2x i y、2y-x、2y-x、2x-y2x5、曲線y=一二的漸近線條數(shù)為（）1-xD、322B、y = -x 1D、y = In x (x 0)A、0B、1C、26、下列函數(shù)中，那個(gè)不是映射（），2_A、y=x（xR,yR1C、y=

18、x2、填空題（每題2分）1、y=:1的反函數(shù)為1 x22、設(shè)f（x）=lim（n21）x,則f（x）的間斷點(diǎn)為xnx13、已知常數(shù)a、b,limx2+bx+a=5?則此函數(shù)的最大值為x11-x4、已知直線y=6xk是y=3x2的切線，則k=5、求曲線xlny+y-2x=1,在點(diǎn)（,11）的法線方程是三、判斷題（每題2分）2()1、函數(shù)y=W是有界函數(shù)1x22、有界函數(shù)是收斂數(shù)列的充分不必要條件PQ3、若lim=8,就說B是比豆低階的無窮小a4、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)未必是它的駐點(diǎn)5、曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)四、計(jì)算題（每題6分）sin11、求函數(shù)y=xx的導(dǎo)數(shù),.12r、2、已知f（x）=xarctanx-一ln（1+x）,求dy23、已知x22xy+y3=6,確定y是x的函數(shù)，求y4、求網(wǎng)tanx-sinx2xsinx5、dx計(jì)算（1+眩）416、計(jì)算limbosx尸五、應(yīng)用題1、設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品x件時(shí)的總收益為R（x）=10CX_2x,總成本函數(shù)為C（x）=200+50x+x2,問政府對每件商品征收貨物稅為多少時(shí)，在企業(yè)獲得利潤最大的情況下，總稅額