1、平面向量1、 向量的定義：既有大小又有方向的量叫向量2、 向量的表示方法 （1）幾何表示：以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記作，如果有向線段表示一個(gè)向量，通常我們就說向量. （2）字母表示：印刷時(shí) 粗黑體字母 a， b， c向量 手寫時(shí) 帶箭頭的小寫字母 ，3、向量點(diǎn)的長(zhǎng)度（模）向量的大小叫做向量的長(zhǎng)或模，記作|、 4、零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行 0單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量 向量為單位向量1 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量稱為平行向量，也叫共線向量 記作5、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為即大小相等

2、，方向相同6、 對(duì)于任意非零向量的單位向量是 .7、向量的加法（1）三角形法則 設(shè)，則+=對(duì)于零向量與任意向量的和有 （2）平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線的向量，做，則A、B、D三點(diǎn)不共線，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則對(duì)角線上的向量=+.當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”8、向量加法的運(yùn)算律（1）交換律 +=+（2）結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)9、向量的減法 即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量 圖：10、相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.

3、 記作 （1）=，即與互為相反向量；（2）若、是互為相反向量，則=,=,+=；（3）+()=()+=；（4）零向量的相反向量仍是零向量（5）對(duì)于用起點(diǎn)和終點(diǎn)表示的向量，則有= BA,即和- BA互為相反向量11、已知向量，b，則| |-|b| |±b|±| b|12、向量數(shù)乘運(yùn)算 實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當(dāng)時(shí)， 與同向當(dāng)時(shí)， 與異向當(dāng)或=時(shí)，方向是任意的13、向量數(shù)乘的運(yùn)算律（1） () =()（2）(+) =+（3）（+）=+（4）（）= （）=（） （）=-14、向量共線判定定理 當(dāng)向量，對(duì)于向量，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使=，那么

4、 共線. 向量與向量（）共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=.15、向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量、以及任意實(shí)數(shù)、1 、2 恒有（1±2）=1+216、平面向量的基本定理 如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底17、 兩向量夾角范圍0°180° =0° 同向圖 =180° 同向=90° 垂直，記為18、平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解成兩個(gè)互相垂直的向量19、平面向量的坐標(biāo)表示 （1）直角坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取

5、與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的的一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使=x i+y j，則把有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量的坐標(biāo)。 （2）坐標(biāo)表示 在向量的直角坐標(biāo)中，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，=（x，y）叫做向量的坐標(biāo)表示。 （3）在向量的直角坐標(biāo)中，i=（1,0） j=（0,1） =（0,0）20、若和實(shí)數(shù) （1） （2） =(x1, y1)（3） 若，則=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1, y2-y1)21、向量平行條件（1）若，（2）若，如果不平行于坐標(biāo)軸，即x20 y20 ，則/x1x2=y1y2

6、 即兩個(gè)向量平行的條件是成比例（注意此時(shí)x2·y20） 22、向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos其中是與的夾角，cos叫做向量在方向上的投影。 規(guī)定23、數(shù)量積的幾何意義 ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影cos的乘積24、與都是非零向量，它們的夾角為 （1） ·= 0 （2）同向時(shí) ·=· 反向時(shí) ·= · （3） 或=·=2（4）cos=··（5）|·|·25、向量數(shù)量積的運(yùn)算律 （1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：特別注意

7、：（1）結(jié)合律不成立： why？ 前者表示與共線的向量，后者表示與向量c共線的向量，而與c不一定共線。（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或= 26、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算： 已知兩個(gè)向量，則·=27、垂直 設(shè)兩個(gè)非零向量， 則 ·O28、設(shè)=（x，y），則=x2+y2設(shè)A=（x1，y1） B=（x2，y2），則=（x2-x1）2+（ y2-y1）229、已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos= （可用此公式求兩向量夾角）當(dāng)<0，（2，; 當(dāng)>0，0，2）；當(dāng)=0，=2當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)

8、與反方向時(shí)=180030、向量的單位向量的坐標(biāo)表示 0=（x，y）·1x2+y2=xx2+y2+ yx2+y20 為的單位向量31、對(duì)于求直線L1：A1 x+B1y+C1=0 與直線L2：A2 x+B2y+C2=0 的夾角，則只要求與兩直線平行的向量的夾角，再取這兩個(gè)向量的夾角或補(bǔ)角，即與直線L1 、L2分別平行的向量m=（A1，B1），n=（A2，B2），設(shè)向量m、 n的夾角為cos=m·nm· n=A1·A2+B1·B2A12+B12·B12+B22當(dāng)cos<0 時(shí)，直線L1 L2夾角等于 - 銳角當(dāng)cos>0 時(shí)，直線L1 L2夾角等于 32、三角形面積公式S=12a·bsinC 可利用夾角公式求出sinC33、2=| （±） （±）2=|±|2=|2±2·+|234、證三點(diǎn)共線35、直線L的向量參數(shù)方程式 運(yùn)用2.2的例一設(shè)A、B 是直線L上任意兩點(diǎn)，O是L外一點(diǎn)，則對(duì)于L上任一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t，是向量OP=（1-t）OA+tOB 當(dāng)t=12時(shí)，即P為AB中點(diǎn)時(shí)，OP=12(OA+OB) 正弦定理在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R。則有即，在一個(gè)三角形中，各邊和它所