1、第五章第五章 統(tǒng)計與概率統(tǒng)計與概率第三講：概率的古典定義和頻率定義第三講：概率的古典定義和頻率定義隨機事件的概率隨機事件的概率 隨機事件的概率隨機事件的概率 概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。 概率有多種定義，不同的場合可能需要不同概率有多種定義，不同的場合可能需要不同的定義的定義 概率的古典定義概率的古典定義 概率的頻率定義概率的頻率定義 概率的幾何定義概率的幾何定義 概率的主觀定義概率的主觀定義 概率的公理化定義概率的公理化定義古典概率古典概率 在古典方法中，事件在古典方法中，事件A的概率主要是通的概率主要是通過計算過計算A中所含的樣本點的個數和樣本中

2、所含的樣本點的個數和樣本空間中所含的樣本點的個數之比得到的，空間中所含的樣本點的個數之比得到的，所以經常要用到排列數和組合數。所以經常要用到排列數和組合數。 隨機現象只有有限個樣本點，且每個樣隨機現象只有有限個樣本點，且每個樣本點發(fā)生的可能性相等本點發(fā)生的可能性相等 不需要做大量重復試驗，進行的是邏輯不需要做大量重復試驗，進行的是邏輯分析分析一道給一道給7年級下學生的考題年級下學生的考題在一個黑色不透明的口袋中放了一個紅在一個黑色不透明的口袋中放了一個紅球，一個黑球，八個黃球，如果一次從球，一個黑球，八個黃球，如果一次從口袋中拿出三個球，請寫出拿球過程口袋中拿出三個球，請寫出拿球過程中的必然事

3、件、可能事件、不可能事件中的必然事件、可能事件、不可能事件各一件；如果一次取出三個球，有一各一件；如果一次取出三個球，有一個紅球的機會有多大不能只寫出結果，個紅球的機會有多大不能只寫出結果，要說明理由）要說明理由） 一道給一道給7年級下學生的考題年級下學生的考題 口袋中放了一個紅球，一個黑球，八個黃球，如口袋中放了一個紅球，一個黑球，八個黃球，如果一次取出三個球，有一個紅球的機會有多大果一次取出三個球，有一個紅球的機會有多大 因從口袋中一次拿出三個球，有以下幾種情況：因從口袋中一次拿出三個球，有以下幾種情況：1.一個黃球，一個紅球，一個黑球。一個黃球，一個紅球，一個黑球。2.兩個黃球，兩個黃球

4、，一個紅球。一個紅球。3.兩個黃球，一個黑球。兩個黃球，一個黑球。4.三個黃球三個黃球 所以從口袋中一次拿出三個球，有一個紅球的機所以從口袋中一次拿出三個球，有一個紅球的機會是會是0.51010個球中有一個紅球，所以從口袋中一次取出三個球中有一個紅球，所以從口袋中一次取出三個球，有一個紅球的機會是個球，有一個紅球的機會是0.10.1畫樹狀圖方法畫樹狀圖方法9年級才學，不行！實驗怎么考法？年級才學，不行！實驗怎么考法？ 請選擇請選擇（1拋擲一枚普通的硬幣拋擲一枚普通的硬幣5次，以下五個選次，以下五個選項中哪一個你認為發(fā)生的可能性最大？項中哪一個你認為發(fā)生的可能性最大？a) HHHTT b) TH

5、HTH c) THTTTd) HTHTH e)以上四個序列發(fā)生的可能性以上四個序列發(fā)生的可能性一樣大一樣大（2拋擲一枚普通的硬幣拋擲一枚普通的硬幣5次，以下五個選次，以下五個選項中哪一個你認為發(fā)生的可能性最??？項中哪一個你認為發(fā)生的可能性最??？a) HHHTT b) THHTH c) THTTTd) HTHTH e)以上四個序列發(fā)生的可能性一以上四個序列發(fā)生的可能性一樣小樣小古典途徑：排列與組合古典途徑：排列與組合 陳列 從n個不同元素中一次性地任取r個元素排成一列考慮元素先后出現順序） 重復排列 從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列。重復排列數為 組合 從

6、n個不同元素中一次性地任取r個元素并成一組不考慮元素間的先后次序） 重復組合 從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的組合。重復組合數為!(1)(1)()!rnnPnnnrnr rn(1)(1)!()!rrnnPnnnrnCrrr nr 1rrnn rHC 有重復的排列有重復的排列 由數字由數字1，2，3，4可以組成多少個可以組成多少個三位數數字可以重復）？三位數數字可以重復）？百位數十位數個位數候選者：候選者：1 1，2 2，3 3，4 4候選者：候選者：1 1，2 2，3 3，4 4候選者：候選者：1 1，2 2，3 3，4 443有重復的組合有重復的組合 這這

7、15項的特點是：項的特點是： 每組有每組有4個元素個元素 每組各異每組各異 組內元素可以有重復組內元素可以有重復 從從3個不同的元素里，每次取出一個，放個不同的元素里，每次取出一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取回后再取下一個，如此連續(xù)取4次所得的次所得的組合，組合，4322342233222223344,)(cbccbcbbabccabacabbcacabacabaacba展開再合并同類項，有把43H如何求有重復的組合數？如何求有重復的組合數？每組每組4個元素的下標依次加個元素的下標依次加0，1，2，3，得，得33333322321121111111,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa4

8、43615HC321,acabaa65436532642153214321,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa項數一一對應，故相等。后者易求項數一一對應，故相等。后者易求43 4 1C 重復組合的模型重復組合的模型 從從n n個不同元素中每次取出一個，放回后再取個不同元素中每次取出一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取下一個，如此連續(xù)取r r次所得的組合，求此重次所得的組合，求此重復組合數。復組合數。 求求 的非負整數解的個數的非負整數解的個數 把把r r只相同顏色的球白球放回到只相同顏色的球白球放回到n n個編號個編號不同的盒子染缸中，而且每個盒子放球不同的盒子染缸中，而且每個盒子放球數不

9、加限制，求其放法總數。數不加限制，求其放法總數。 r r只只，n n1 1道道的排列數，為的排列數，為r+n-1r+n-1個位置先個位置先排定排定r r只只，1rn rC 12nxxxr 拋擲兩枚硬幣，拋擲兩枚硬幣， “得到兩個正得到兩個正面面”，它在每次實驗中發(fā)生的，它在每次實驗中發(fā)生的機會是多少？機會是多少？不確定現象發(fā)生的可能性不確定現象發(fā)生的可能性某班四十位同學每人某班四十位同學每人10次實驗次實驗中成功擲出中成功擲出 “兩個正面的次兩個正面的次數數02468010203040學號成功次數該班同學共計該班同學共計400次實驗中次實驗中成功擲出成功擲出 “兩個正面的頻兩個正面的頻率率0.

10、0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.3501030507090110130150170190210230250270290310330350370390描述可能性大小的描述可能性大小的先驗方法和后驗方法先驗方法和后驗方法 拼圖片問題：拼圖片問題： 三張大小一樣且印有不同圖案的紙片均被剪三張大小一樣且印有不同圖案的紙片均被剪成兩小張，充分混合以打亂次序，然后閉上成兩小張，充分混合以打亂次序，然后閉上眼睛隨便抽出兩張拼在一起，問能夠拼成一眼睛隨便抽出兩張拼在一起，問能夠拼成一張原圖的可能性的大小。張原圖的可能性的大小。51326C實驗的方法實驗的方法理論的方法理論

11、的方法全班討論-分頭實驗，記錄數據-小組匯總數據-全班匯總數據-全班討論全班實驗中一共成功的次數全班實驗中一共成功的次數/ /全班一共實驗的次數全班一共實驗的次數1/51/5頻率途徑：頻率的穩(wěn)定值頻率途徑：頻率的穩(wěn)定值 計算機鍵盤的字母安排計算機鍵盤的字母安排 E 0.1268; T 0.0978; A 0.0788; O 0.0776;E 0.1268; T 0.0978; A 0.0788; O 0.0776; I 0.0707; N 0.0706; S 0.0634; R 0.0594I 0.0707; N 0.0706; S 0.0634; R 0.0594 女嬰出生頻率女嬰出生頻率

12、拉普拉斯發(fā)現拉普拉斯發(fā)現 穩(wěn)定在穩(wěn)定在21/4321/43附近附近 克拉梅發(fā)現克拉梅發(fā)現 穩(wěn)定在穩(wěn)定在0.4820.482附近附近 生日問題：生日問題： 45個人中至少有兩人生于同月同日的概率個人中至少有兩人生于同月同日的概率是多大？是多大？4545365365!451C實驗的方法理論的方法模擬全班討論-分頭實驗，記錄數據-小組匯總數據-全班匯總數據-全班討論全班實驗中一共成功的次數/全班一共實驗的次數？用數值用數值/實驗的方法處理概率實驗的方法處理概率借助隨機數的實驗模擬借助隨機數的實驗模擬 一年一年365天天 某人出生于某一天某人出生于某一天 45人中至少有兩人人中至少有兩人生日相同生日相

13、同 第一批第一批45個人中有個人中有相同生日的人嗎？相同生日的人嗎？ 第二批呢？。第二批呢？。第第1000批呢？批呢？ 1,2,3,365 在這在這365個數中產生一個數中產生一個隨機數個隨機數 產生的產生的45個隨機數中個隨機數中至少有兩個數相同至少有兩個數相同 若有相同生日的人若有相同生日的人,放放一顆豆進筐一顆豆進筐 做了做了1000次實驗后次實驗后,統(tǒng)統(tǒng)計筐內共有多少豆計筐內共有多少豆計算機編程模擬試驗計算機編程模擬試驗REPEAT 1000 GENERATE 45 1,365 a MULTIPLES a = 2 j SCORE j zENDCOUNT z = 1 kDIVIDE k

14、1000 kkPRINT z kkHISTOGRAM z只用了只用了1.51.5秒，計秒，計算機就完成了這個算機就完成了這個10001000次的模擬試驗，次的模擬試驗，有有940940次都出現了次都出現了4545個人中至少有兩個人中至少有兩人生于同月同日這人生于同月同日這種情況，所以估計種情況，所以估計所求概率為所求概率為0.940 0.940 反復拋擲一枚硬幣，對記錄的數據進行統(tǒng)計反復拋擲一枚硬幣，對記錄的數據進行統(tǒng)計與觀察，你會發(fā)現正面朝上與反面朝上的次與觀察，你會發(fā)現正面朝上與反面朝上的次數這兩個數據逐漸接近，當拋擲硬幣的次數數這兩個數據逐漸接近，當拋擲硬幣的次數趨向無限大時，正面朝上與

15、反面朝上的機會趨向無限大時，正面朝上與反面朝上的機會是相等的是相等的 有三個問題：有三個問題： 頻率變化變小卻有可能相應的頻數變化變大。頻率變化變小卻有可能相應的頻數變化變大。實驗次數從實驗次數從400增加到增加到1000，頻數差距擴大但，頻數差距擴大但頻率差距縮小沒什么可奇怪的。觀察實驗結頻率差距縮小沒什么可奇怪的。觀察實驗結果時，我們應該關注頻率而不是頻數果時，我們應該關注頻率而不是頻數 硬幣正面朝上和朝下的機會都是確定的，并硬幣正面朝上和朝下的機會都是確定的，并不要求次數趨向無限大這樣的前提不要求次數趨向無限大這樣的前提 這里的極限并不是數學分析中定義的極限，這里的極限并不是數學分析中定

16、義的極限，而是而是“依概率收斂于概率依概率收斂于概率 Monty Hall Dilemma羊與車）羊與車） 在一個游戲中有三個門，只有一個門后在一個游戲中有三個門，只有一個門后面有車，另外兩個門后面是羊。你想要面有車，另外兩個門后面是羊。你想要車，但你不知道哪一個門后面有車。主車，但你不知道哪一個門后面有車。主持人讓你隨便選了一個門。比如說，你持人讓你隨便選了一個門。比如說，你選擇了選擇了1號門。但你還不知道你是否選到號門。但你還不知道你是否選到了車。然后主持人打開了另一扇門，比了車。然后主持人打開了另一扇門，比如如3號。你清楚地看到號。你清楚地看到3號門后面是一只號門后面是一只羊?，F在主持人

17、給你一個改變主意的機羊?，F在主持人給你一個改變主意的機會。請問你是否會換選成會。請問你是否會換選成2號門）？號門）？新方法有改進嗎？新方法有改進嗎？AnneAnne告訴你按照老辦法立定投籃她平告訴你按照老辦法立定投籃她平均有均有60%60%可以投中，改用新方法以后，可以投中，改用新方法以后，她首次嘗試就她首次嘗試就1010投投9 9中，她是否可以得中，她是否可以得出新方法比老方法好的結論？出新方法比老方法好的結論？難度遞進的不同解法難度遞進的不同解法求在老方法投的情形中，至少求在老方法投的情形中，至少10投投9中成功發(fā)生中成功發(fā)生的概率的概率03沒投中，沒投中，49投中，用一個公平的投中，用一個公平的20面體骰面體骰子每個數字出現兩次模擬試驗、記錄數據，子每個數字出現兩次模擬試驗、記錄數據，觀察觀察10投投9中成功發(fā)生的頻率中成功發(fā)生的頻率 （統(tǒng)計定義）（統(tǒng)計定義）用計算器產生隨機數或查隨機數表模擬試驗用計算器產生隨機數或查隨機數表模擬試驗用計算機編程完成模擬試驗用計算機編程完成模擬試驗 （統(tǒng)計定義）（統(tǒng)計定義