1、定積分的換元法定積分的換元法 上一節(jié)我們建立了積分學(xué)兩類基本問題之間的聯(lián)系微積分基本公式，利用這個(gè)公式計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求出不定積分，而換元法和分部積分法是求不定積分的兩種基本方法，如果能把這兩種方法直接應(yīng)用到定積分的計(jì)算，相信定能使得定積分的計(jì)算簡(jiǎn)化，下面我們就來建立定積分的換元積分公式和分部積分公式。先來看一個(gè)例子先來看一個(gè)例子例例1 40122dxxx換元求不定積分換元求不定積分 令令12 xt那那么么) 1(212 txdttttdxxx 221211222Ctt 23613Cxx 2123) 12 (23) 12 (61故故 40322122dxxx為去掉根號(hào)為去掉根號(hào) 令令12 x

2、t那那么么212 txtdtdx 當(dāng)當(dāng) x 從從0連續(xù)地增加到連續(xù)地增加到4時(shí)，時(shí)，t 相相應(yīng)地從應(yīng)地從1連續(xù)地增加到連續(xù)地增加到3) 0121( xdxdt于是于是 31240322)3(21122dttdxxx嘗試一下直接換元求定積分嘗試一下直接換元求定積分將上例一般化就得到定積分的換元積分公式將上例一般化就得到定積分的換元積分公式 由此可見，定積分也可以象不定積分一由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需將其上回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定、

3、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量積分，而不必回代原積分變量一、換元公式一、換元公式 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在, ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)當(dāng)t在在區(qū)區(qū)間間, 上上變變化化時(shí)時(shí)，)(tx 的的值值在在,ba上上變變化化，且且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf )(t 是是

4、)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).),()()()( dtttfa )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，換換元元公公式式仍仍成成立立.應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時(shí)時(shí)，積積分分限限也也相相應(yīng)應(yīng)的的改改變變.（2）求求出出)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計(jì)計(jì)算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量

5、量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了.計(jì)算計(jì)算 adxxa022解解1 由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義 adxxa022等于圓周的第一象限部分的面積等于圓周的第一象限部分的面積42a 解解2Caxaxaxdxxa arcsin2222222 故故 adxxa02242a ax 22xay o例例2令令 adxxa022 2022cos tdta 202)2cos1(2 dtta42a 解解4令令taxcos 仍可得到上述結(jié)果仍可得到上述結(jié)果taxsin tadxcos 00 tx2 tax解解3.sincos205 xdxx解解 令令,cosxt ,

6、sin xdxdt 2 x, 0t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 例例3 3 計(jì)算計(jì)算定積分的換元積分公式也可以反過來使用定積分的換元積分公式也可以反過來使用為方便計(jì)為方便計(jì)將換元公式的左、右兩邊對(duì)調(diào)將換元公式的左、右兩邊對(duì)調(diào)同時(shí)把同時(shí)把 x 換成換成 t ， t 換成換成 x dxxxf)()( badttf)(這說明可用這說明可用 )(xt 引入新變量引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒有明確引入新變量，而只是把如沒有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必?fù)Q限整體視為新變量，則不必?fù)Q限)

7、(xt 注注例例4 4 計(jì)算計(jì)算.sinsin053 dxxx解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例5 5 計(jì)算計(jì)算.)ln1(ln43 eexxxdx解解原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例6 6 計(jì)算計(jì)算 aadxxax02

8、2)0(.1解一解一 令令,sintax ,costdtadx ax ,2 t0 x, 0 t原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 解二解二接解一接解一對(duì)對(duì) 20cossincos dtttt令令 20cossincos dttttI 20cossincos dttttJ那么那么 202 dtJI002)cosln(sincossinsincos20 ttdtttttJI4 JI例例 7 7 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上連續(xù)，則有上連續(xù)，則有 dxxf

9、xfdxxfaaa 0)()()( 且有且有 )(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 aadxxf0)(. 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 即：即： 奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于奇函數(shù)在對(duì)

10、稱區(qū)間上的積分等于0 偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于對(duì)稱的偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于對(duì)稱的 部分區(qū)間上積分的兩倍部分區(qū)間上積分的兩倍 由定積分的幾何意義，這個(gè)結(jié)論也是比較明顯的由定積分的幾何意義，這個(gè)結(jié)論也是比較明顯的例例8 8 計(jì)算計(jì)算.11cos21122 dxxxxx解解原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11 (4dxx 102144dxx.4 四分之一單位圓的面積四分之一單位圓的面積例例 9 9 若若)(xf在在 1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 （1） 220

11、0)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此計(jì)算由此計(jì)算 02cos1sindxxxx. （1設(shè)設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2設(shè)設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sin dxxxf 0)sin()(dttft證證,)(sin)(0 dttft 0)(sindxxxf 0)(sin dttf 0)(sin dtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxx

12、fdxxxf另證另證 將上式改寫為將上式改寫為 00)(sin)2(dxxfx2 xt令 220)(cos)(sin)2( dtttfdxxfx則則 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 奇函數(shù)奇函數(shù)0 例例10 設(shè)設(shè) f(x) 是以是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明為周期的連續(xù)函數(shù)，證明 Laaadxxf無無關(guān)關(guān)的的值值與與)(證明證明 LaaaLLaLdxxfdxxfdxxfdxxf00)()()()( aLaLdtLtfLtxdxxf0)()()(令令 adttf0)( adxxf0)( Laaadxx

13、fdxxf0)()(與與 a 的值無關(guān)的值無關(guān)例例11 設(shè)設(shè) f(x) 連續(xù)，常數(shù)連續(xù)，常數(shù) a 0 證明證明 aaxdxxaxfxdxxaxf121222)()(證明證明比較等式兩邊的被積函數(shù)知，比較等式兩邊的被積函數(shù)知，2xu 令令uduuaufxdxxaxfaa2)()(2121222 uduuaufa)(21212 )()(212212uduuaufuduuaufaaa dttaattatfuatuduuaufaaa)()()()(22212222 令令tdttatfa)(12 xdxxaxfxdxxaxfaa)()(1221222 例例12 設(shè)設(shè) f ( x ) 連續(xù)連續(xù) 10)()

14、(dtxtfx )()(lim0常常數(shù)數(shù)且且AAxxfx 處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在并并討討論論求求0)()( xxx 解解連續(xù)知連續(xù)知及及由由)()(lim0 xfAxxfx 0)()()0(limlim00 xxxfxffxx0)0( 10)()(dtxtfx 時(shí)時(shí)0 xuxt 令令 xduufx0)(10)0()()0(lim0 xxx 200)(limxduufxx 法則法則型型L0022)(lim0Axxfx 時(shí)時(shí)0 x20)()()(xduufxxfxx 2000)()()(limlimxduufxxfxxxx )()(200limxduufxxfxx 2000)()(limlimx

15、duufxxfxxx 22AAA )0()(lim0 xx處處連連續(xù)續(xù)在在即即0)( xx 定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式 二、小結(jié)二、小結(jié)思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題解答思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.txsec ,43,32 t, 0tan

16、t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .二、二、 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （為參數(shù)為參數(shù) ）. .三、三、 設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、設(shè)四、設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 證明：證明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .六、證明：六、證明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、設(shè)七、設(shè) 1,0)(在在xf上連續(xù)