1、新北師大版八年級(jí)下第一章三角形的證明學(xué)案 §等腰三角形（1）1.列舉我們已知道的公理：（1）公理：同位角，兩直線平行。（2）公理：兩直線,同位角。（3）公理： 的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)稱,字母表示）（4）公理:的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)稱，字母表示）（5）公理：的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)稱,字母表示）（6）公理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角-2.什么叫做等腰三角形三角形全等的判定 判定一般的三角形全等還有一種方法是什么推論: （簡(jiǎn)寫(xiě)為AAS ） 等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè) 相等（簡(jiǎn)稱：等 對(duì)等）探索一：已知：在ABC 和4DEF 中，NA=ND, NB=NE, AC=D

2、F求證：ABCgADEF探索二：已知：如圖，在ABC中，AB=AC,求證：ZB=ZC探索三：在上圖中，若取BC的中點(diǎn)D,并連接AD,那么線段AD是BC邊上的中線外還具有怎樣的性質(zhì)為什么由此你能得到什么結(jié)論推論：簡(jiǎn)述為三線合一歸納：1、在等腰4ABC中，若AD是NA的平分線，則2、在等腰4ABC中，若AD是BC邊上的高，則3、在等腰AABC中，若AD是BC邊上的中線，則知識(shí)反饋：如圖，zABC中，AB=AC, NABC和NACB的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)0,求證: Z0BC=Z0CB§等腰三角形(2)等腰三角形兩底角的平分線等腰三角形的判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是 三角形探索一：等

3、腰三角形兩底角的平分線相等嗎1.已知：如圖，在aABC中，AB=AC, BD, CE是ABC的角平分線 求證：BD=CEo2、求證：等腰三角形兩條腰上的中線相等嗎:我們知道等腰三角形的兩個(gè)底角相等，反過(guò)來(lái)此命題成立嗎由此得到什么結(jié)論證等已等腰三角形判定定理：有兩個(gè) 相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)稱：等 對(duì))在AiABC 中，NB=NC,證明:AB=AC,四、知識(shí)反饋1、已知：如圖，NCAE是aABC的夕卜角，AD§等腰三角形(3)等邊三角形的判定定理有一個(gè)角等于 的等腰三角形是等邊三角形30。角所對(duì)的直角邊與斜邊關(guān)系定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角是30°,那么它所對(duì)的直角邊

4、等于探索一：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形探索二：含30。角的直角三角形的性質(zhì) 如圖，在ABC 中，ZACB = 90° , NA=30° , 求證：BC= 1/2AB定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么知識(shí)反饋1、證明：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形2、直角三角形的一個(gè)角等于30°,斜邊長(zhǎng)為4,用四個(gè)這樣的直角三角形拼成如圖所示，求正 方形EFGH的邊長(zhǎng).3.如圖所示，ZkABC 中，ZACB=90° , CDJ_AB,垂足是 D, NA=60° .求證：BD=3AD§直角三角形（1）

5、1、勾股定理的內(nèi)容是： 它的條件是：結(jié)論是：2、每個(gè)命題都是由, 兩部分組成。命題“對(duì)頂角相等”的條件 是，結(jié)論是3勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于 ,那么這個(gè)三角形是直角三角形?；ツ婷}3在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的 和,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題互逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定 理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。證明定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。已知:(如圖)在 ABC 中，AB:+AC2=BC:.求證：ZXAB

6、C是直角三角形。aB A,B-證明： N ' Ncc：(1)(2)知識(shí)運(yùn)用：L 如圖，BA_LDA 于 A, AD = 12, DC = 9, CA = 15,求證：BADC2：說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假。(1).全等三角形面積相等(2)、等邊對(duì)等角;(3)、平行四邊形的兩組對(duì)邊相等;3、命題：等腰三角形兩腰上的高相等的逆命題是4、若一個(gè)直角三角形兩直角邊之比為3： 4,斜邊長(zhǎng)20cm,則兩直角邊為_(kāi)5、已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8,則斜邊長(zhǎng)為,斜邊上的高為= 6、在aABC 中，已知 AB=13cm, BC二 10cm, BC 邊上的中線 AD二 12cm求證

7、：AB=AC§直角三角形(2)在一般三角形中，我們已學(xué)過(guò)了哪些證明三角形全等的方法： 那么在直角三角形中還多了一種方法是：斜邊,直角邊(HL)定理斜邊和一條直角邊 的兩個(gè)直角三角形全等把這條定理寫(xiě)成推理格式如下：5知識(shí)反饋：1如圖：已知NACB=NBDA=90° ,要使4ACB絲ABDA,還需要什么條件把他們分 別寫(xiě)出來(lái)，并說(shuō)明理由。2：在 RtZiABC 中，ZC = 90° ,且 DEJ_AB, CD = ED,求證：AD 是NBAC 的角平分線3：如圖，AD 是NBAC 的角平分線，DEJ»AB, DF±AC, AB = 求證：EB =

8、FC4、判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由(1)、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；(2)、斜邊及一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;(3)、兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；5、如圖，ZB =ZE = 90° , AC = DF, BF = EC。求證：BA = ED§線段的垂直平分線(1)1、什么是線段的垂直平分線2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離線段垂直平分線的判定定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的探索一：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 已知：直線MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,點(diǎn)P上M

9、N上的任意一點(diǎn)。 求證：PA=PB證明:探索二：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 已知：如圖：已知PA二PB求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。證明：做一做：用尺規(guī)作出已知線段AB的垂直平分線CD四、知識(shí)反饋1、如右圖，兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)A、B位于河岸的同側(cè)，為了出口方便，他們想在河岸邊上建造一個(gè)碼 頭，使這個(gè)碼頭到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建造在什么位置請(qǐng)畫(huà)出符合條件的食品加工 廠的位置。 一倉(cāng)庫(kù)2.如圖，在aABC中，AB的垂直平分線MN交AB于D點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)，且AC=15cm, BCE的周長(zhǎng)等于25cli1,求BC的長(zhǎng)若NA=36° ,并且AB二AC,求證：B

10、C=BE§線段的垂直平分線（2）1、利用尺規(guī)作三角形三邊的垂直平分線。2、已知：ABC （如右圖）。求作：線段AB、BC、AC的垂直平分線。3、證明定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。已知：如右圖，在aABC中，分別作AB邊、BC邊的垂直平分線, 兩線相交于點(diǎn)P，分別交AB邊、BC邊于點(diǎn)E、Fo求證：AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P證明：.點(diǎn)P是AB邊垂直平線上的一點(diǎn)，= （ ）.同理可得，PB=.= （等量代換）. （到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段 的）AB、BC、AC的垂直平分線 o4、做一做：已知底邊及底邊上的高，求作等腰

11、三角形。已知：線段a、h求作：ABC,使 AB=AC,且 BC=a,高 AD=h.ah知識(shí)運(yùn)用、1、如圖，在ABC中，AB=AC, 0是aABC內(nèi)一點(diǎn)，且0B=0C,求證：A0±BCo0R72、如圖，在AABC中，AB=AC, ZA=120° , AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、No1.角平分線的定義：_2、什么叫點(diǎn)到直線的距離用直尺和圓規(guī)作角的平分線 A已知：如圖，設(shè)AA%的角平分線.BM、&V相交于點(diǎn)尸, 證明：尸點(diǎn)在NB月。的角平分線上，且冷密加3、如圖,AABC 中，已知 AC=BC, ZC=90° (1)如果CD=4cm,求AC的長(zhǎng);(2)求證:AB = AC+CD.4：如圖，P是NAOB平分線上