1、圓全章復(fù)習(xí)與鞏固一知識(shí)講解(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的 位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征；2. 了解切線的概念，探索并掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓 的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線；3. 了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；4. 了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫(huà)圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、 圓錐的側(cè)面積及全面積；5. 結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論

2、證的 表達(dá)能力；通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】三角形的外接瞬H點(diǎn)利的”關(guān)系切線的校旗及判定3 Ei1有關(guān)的位置拓一H線和黑的處置美系【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1 .圓的定義(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置， 半徑確定圓的大??； 確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可;圓是一條封閉曲線.2 .圓的性質(zhì)(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，

3、對(duì)稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸(3)垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦平行弦?jiàn)A的弧相等.要點(diǎn)詮釋：在垂經(jīng)定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧， 在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.(注意：“過(guò)圓心、平分弦

4、”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑)3.兩圓的性質(zhì)(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)4 .與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角要

5、點(diǎn)詮釋：(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：頂點(diǎn)在圓上；角的兩邊都和圓相交(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中要點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1 .判定一個(gè)點(diǎn)P是否在。上設(shè)。的半徑為r, op=d,則有點(diǎn)p在°o外； d = 1點(diǎn)p在°o上；0點(diǎn)p在°o內(nèi).要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知 道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2 .判定幾個(gè)點(diǎn)Ai A2、111An在同一個(gè)圓上的方法當(dāng)=40二R時(shí),4、在oo 上.3 .直線和圓的位置關(guān)系設(shè)。O半徑為R,點(diǎn)O到直線/的距離為d .(1)直線，和。沒(méi)有公共點(diǎn)

6、Q直線和圓相離 :./-<'.(2)直線I和。o有唯一公共點(diǎn) O直線,和。相切o' R .(3)直線I和o o有兩個(gè)公共點(diǎn) Q直線和o o相交 口金R.4 .切線的判定、性質(zhì)(1)切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑 .經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心 .(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條 切線的夾角.5 .

7、圓和圓的位置關(guān)系設(shè)。f。力的半徑為R. r(R>r),圓心距0©產(chǎn)d.(i)0a和沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部o 叫外離二 j ；匚 .(2)。和沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在©0內(nèi)部?jī)?nèi)含0ali(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部O00，皎 外切：！；.(4)。和007有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，002的每個(gè)點(diǎn)都在001內(nèi)部0rl。0口內(nèi)切L 二(5)。0和有兩個(gè)公共點(diǎn)O匕)00相交q R -< / <R.要點(diǎn)三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1 .三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(i)三角形的內(nèi)

8、心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它 到三角形三邊的距離相等，通常用“ i ”表示.(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三 角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂 點(diǎn)的距離相等，通常用 O表示.(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：(2)的一半,任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面

9、積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積即S二一Pr (S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).2內(nèi)心(三角形 內(nèi)切圓的圓 心)二角形二條角平分線 的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等； (2)OA、OB OC分別平分/ BAG /ABG /ACB (3)內(nèi) 心在三角形內(nèi)部.2 .圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等要點(diǎn)四、圓中有關(guān)計(jì)算1 .圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：,二版,周長(zhǎng)c二.圓心角為yfi、半徑為R的弧長(zhǎng)/ =.180圓心角

10、為火0,半徑為R,弧長(zhǎng)為，的扇形的面積二竺= 1/&.3602弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為/的圓柱的體積為版,側(cè)面積為2不必，全面積為一二一匚.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R,母線長(zhǎng)為/ ,高為4的圓錐的側(cè)面積為 冗RI ,全面積為立RI+冗臥，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有R，+.=p.要點(diǎn)詮釋：(i)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1。的扇形面積是圓面積的一，即 360(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑 R扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.(3)扇形面積公式 當(dāng)房=

11、-1R ,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式 S二-ah有點(diǎn)22類似，可類比記憶；(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：S粳酹="" =x .威 x、R 二 IR .屆用 3602 1802【典型例題】類型一、圓的基礎(chǔ)知識(shí).如圖，已知。是以數(shù)軸的原點(diǎn) 。為圓心，半徑為1的圓，/ AOB=45，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與OA平行（或重合）的直線與。 O有公共點(diǎn),設(shè)OP=x,則x的取值范圍是（）A. -K x<1 B . 22 < x < 22C. 0< x< v2 D . x > <2【答案】B；【解析】如圖，平移過(guò)P點(diǎn)的

12、直線到P',使其與。O相切，設(shè)切點(diǎn)為Q連接OQ由切線的性質(zhì)，得/ OQP =90° , OA P' Q.Z OP Q=Z AOB=5° ,. .OQP為等腰直角三角形，在 RtOQP 中，OQ=1OP = 72,，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且與OA平行的直線與。O有公共點(diǎn)時(shí)，0WOPC 的，當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸即點(diǎn)P向左側(cè)移動(dòng)時(shí)，結(jié)果為 -J2 & OP<0.故答案為：-J2wOPC近.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.關(guān)鍵是通過(guò)平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時(shí)OP的值.舉一反三【變式】如圖，已知。是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為 1的圓，/ AOB=

13、45，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與OB平行的直線于。有公共點(diǎn)，設(shè)P （x, 0）,則x的取值范圍是（）.A. -1Wxv0 或 0vxWlB , 0<x< 1 C . - y12 &x< 0 或 0<x& y2 D . x> 1【答案】O是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為 1的圓，/ AOB=45 ,過(guò)點(diǎn)P'且與OB平行的直線與。O相切時(shí)，假設(shè)切點(diǎn)為 D,，OD=D P=1,OP = 2 ,0VOPC 22 ,同理可得，當(dāng) OP與x軸負(fù)半軸相交時(shí)，-.2 WOk 0,，-亞 &OP: 0,或 0VOPC 近.故選C.類型二、弧、弦、圓心

14、角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理02.如圖所示，已知在。O中，AB是。O的直徑，弦C-AB于D, F是。O上的點(diǎn)，且CF = CB ,BF交CG于點(diǎn)E,求證：CBE.【答案與解析】證法一：如圖（1）,連接BGAB 是。的直徑，弦 CGIAB,CB =GB .CF =GB .，/C= / CBE CE=BECF =BC證法二：如圖（2）,作ONL BF,垂足為N,連接OE AB 是。的直徑，且 AB±CGCB=BG .CB =CF , CF=BC=BG.，BF = CQ ONhOD/ONE= /ODP90° , OOE ONOD ON孽 ODENE = DE.1 _1BN = BF

15、 , CD = CG , 22BN=CQBN-EN=CD-ED，BE = CE證法三：如圖（3）,連接。似BF于點(diǎn)N.CF =BC , OCXBF. AB 是。的直徑，CGL AB,BG =BC , CF =BG = BC . . BF =CG , ON =OD .OC = OBOC-ON=OB-OD 即 CNh BD.又/ CNE= / BD±90° , / CENk / BEQ CN監(jiān) BDECE = BE.【點(diǎn)評(píng)】上述各種證明方法，雖然思路各異，但都用到了垂徑定理及其推論.在平時(shí)多進(jìn)行一題多解、 一題多證、一題多變的練習(xí)，這樣不但能提高分析問(wèn)題的能力，而且還是溝通知識(shí)

16、體系、學(xué)習(xí) 知識(shí)，使用知識(shí)的好方法.舉一反三：【變式】如圖所示，在。O內(nèi)有折線 OABC其中OA=8,AB=12,/A=/B=60° ,則BC的長(zhǎng)為（A. 19B . 16C. 18D. 20【答案】 如圖，延長(zhǎng) AO交BC于點(diǎn)D,過(guò)O作OH BC于E.貝U三角形ABD為等邊三角形，DA=AB=BD=12 OD=AD-AO=4在 RtODE中，/ ODE=60 , / DOE=30 ,貝U DE=1 OD=2 BE=BD-DE=102OE垂直平分BG BC=2BE=20.故選D類型三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系C3. 一個(gè)長(zhǎng)方體的香煙盒里，裝滿大小均勻的20支香煙.打開(kāi)煙盒的頂蓋后，二十支香

17、煙排列成三行，如圖（1）所示.經(jīng)測(cè)量，一支香煙的 直徑約為0.75cm,長(zhǎng)約為8.4cm.（1）試計(jì)算煙盒頂蓋 ABCD勺面積（本小題計(jì)算結(jié)果不取近似值）；（2 ）制作這樣一個(gè)煙盒至少需要多少面積的紙張（不計(jì)重疊粘合的部分，計(jì)算結(jié)果精確到 0.1cm, V3取 1.73）.【答案與解析】（1）如圖（2）,作 OE,C2C33.3 3 3 .3 3AB =2 -=cm844四邊形ABCD勺面積是:(2)制作一個(gè)煙盒至少需要紙張:【點(diǎn)評(píng)】四邊形ABCM, AD長(zhǎng)為7支香煙的直徑之和，易求；求 AB長(zhǎng)，只要計(jì)算出如圖(2)中的QE 長(zhǎng)即可.類型四、圓中有關(guān)的計(jì)算.(2015?丹東)如圖，AB是。O的

18、直徑， ED=BD, 連接ED、BD,延長(zhǎng)AE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)D作。的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C. (1)若OA=CD=2血，求陰影部分的面積； (2)求證：DE=DM .【答案與解析】解：如圖，連接OD, .CD是。O切線， ODXCD, OA=CD=2 屈,OA=OD , OD=CD=2 近,.OCD為等腰直角三角形, ./ DOC= ZC=45 °,一 S 陰影=s_aocd _ S扇 OBD=45nM (272)3602一二4 一兀;(2)證明：如圖，連接 AD , AB是。O直徑， ./ADB= /ADM=90 °,又 ED=BD,ED=BD , / M

19、AD= / BAD , 在4AMD和4ABD中，ZADH=ZADB，&二AD,lZMAD=ZBAD .AMD ABD ,DM=BD ,DE=DM .【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關(guān)系、扇形面積的計(jì)算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法.舉一反三：O,連【變式】（2015?貴陽(yáng)）如圖，O O是4ABC的外接圓，AB是。的直徑，F(xiàn)OXAB ,垂足為點(diǎn) 接AF并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)D,連接OD交BC于點(diǎn)E, / B=30 °, FO=2®（1）求AC的長(zhǎng)度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）/ BOF=90 °,. Z B=30 

20、6;, FO=2«, OB=6 , AB=2OB=12 , 又AB為。O的直徑， ./ ACB=90 °,AC= 1AB=6 ;2(2)二由(1)可知，AB=12AO=6 ,即 AC=AO , 在 RtAACF 和 RtAAOF 中， ;AF=AFlAC=AO RtAACF RtAAOF , ./ FAO=/FAC=30 °, ./ DOB=60 °,過(guò)點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G,OD=6 , DG=3«, SA ACF+Sa OFD=S A AOD = ><3=9 V5t-J即陰影部分的面積是 9代.類型五、圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【答案與解析】延長(zhǎng)DB至點(diǎn)E,使BE= DC,連結(jié)AE.ABC是等邊三角形，/ACB= /ABC= 60° , AB= AC ./ ADB= Z ACB= 60° 四邊形ABDO圓內(nèi)接四邊形 ./ ABE= / ACD在 AEB和 ADC中， AE® ADC.AE= AD . / ADB= 60° .AED是等邊三角形.AD= DE= DB+ BE BE= DCDB+ DC= DA.【點(diǎn)評(píng)】由已知條件