1、概念結(jié)構(gòu)理論劉壯虎北京大學(xué)哲學(xué)系， liuzhh摘要本文不從概念的外延和內(nèi)涵出發(fā)， 而是將概念作為初始出發(fā)點， 按照概念結(jié)構(gòu)整體論的觀點， 在思想概念語言三者統(tǒng)一的基礎(chǔ)上， 建立概念結(jié)構(gòu)的形式理論，討論其基本性質(zhì)及其意義，并在此基礎(chǔ)上研究若干相關(guān)的問題。實際中使用的推理，比我們通常說的邏輯推理要更廣泛，本文建立依賴于語言的相對于主體的推理， 并根據(jù)這種相對的推理建立相對的一致的概念。 通過這種一致的概念，討論不一致信念集的特征。這種推理也可以部分地用于概念的分類上，本文通過兩個簡單的實例來說明這種方法的應(yīng)用。詞項的同義是語言學(xué)中的重要問題， 按整體論的觀點， 比同義更一般的不可分辨性更為重要，

2、本文給出了概念的不可分辨性的定義，并討論其在語言中的表現(xiàn)。不同語言間的翻譯也是語言學(xué)中的重要問題， 本文在概念結(jié)構(gòu)的形式理論基礎(chǔ)上的對不同語言間的翻譯進行了一些初步的討論。本文只是在對最簡單的語言進行討論， 通過這樣的討論體現(xiàn)概念結(jié)構(gòu)形式理論的思想、方法和研究框架。§1前言一、外延和內(nèi)涵概念有外延和內(nèi)涵 ，是概念研究中的一個教條。我認為，這個教條是錯誤的，至少是不準確的。概念有不同類型的， 如亞里士多德就提出了十大范疇， 而在三段論中使用的只是實體范疇和性質(zhì)范疇。 在討論概念的外延和內(nèi)涵時， 也往往集中在個體、 類和性質(zhì)的范圍內(nèi)（與實體范疇和性質(zhì)范疇相當） ，就算有所推廣，也不是所有

3、的概念。就是在個體、 類和性質(zhì)的范圍內(nèi)， 概念有外延和內(nèi)涵也是存在質(zhì)疑的， 如不可數(shù)名詞的外延、性質(zhì)化歸為類等問題。對外延和內(nèi)涵的形式化的研究中， 大多數(shù)說的是語句的外延和內(nèi)涵， 如各種內(nèi)涵邏輯，它們與概念的外延和內(nèi)涵是完全不同。將內(nèi)涵看作可能世界到外延的函數(shù)（或者在此基礎(chǔ)上的修改），對于處理語句的內(nèi)涵確實是一種比較好的方法，但將這種方法用于處理概念的內(nèi)涵和外延，卻帶1來的一系列的復(fù)雜的新的問題。二、整體論和還原論對概念系統(tǒng)的整體研究是當今研究的一種傾向。在這樣的研究中，存在著整體論和還原論兩種傾向。還原論是將概念系統(tǒng)的意義還原為單個概念的意義，而通常的整體論是說概念系統(tǒng)的意義不能還原為單個概

4、念的意義。 它們都承認有獨立的單個概念的意義，分歧在于能不能還原。我主張一種超越它們兩者的強整體論： 沒有獨立的單個概念的意義， 單個概念的意義相對于它所在的概念系統(tǒng)，并且可以從概念系統(tǒng)的意義中引申出來。從概念系統(tǒng)出發(fā)，研究它和世界（客觀） 、思想（主觀）、社會（信息交流）的關(guān)系。思想概念世界社會三、語言概念是主觀的還是客觀的， 是概念研究中爭論不休的問題。 我們能不能超于主客觀之爭？很容易想到的是第三域。 按哲學(xué)的意義， 第三域也是客觀的， 只是一種不同于物質(zhì)世界的客觀。 確實有超于主客觀的第三者， 那就是語言。 有人會爭辯說，語言也屬于第三域。實際上， 第三域中的語言是作為研究對象的語言，

5、而超于主客觀的是使用意義上的語言， 我們?nèi)粘Ｋf的言語就是使用意義上的語言。 從認知理論的角度看，這樣的語言就是主體認知客觀世界的媒介。語言在概念研究中的重要性就在于概念存在于語言之中，并且可以用語言來表達。概念研究中說的語言并不是我們經(jīng)常談?wù)摰淖匀徽Z言、形式語言等。 它是與概念系統(tǒng)相對應(yīng)的一種理想的局部的語言。 說它是理想局部的是相對于自然語言來說的。其實反過來說更為準確。 這樣的語言才是一個 完整 的語言， 而自然語言是許多完整的語言的 混雜和重疊 。根據(jù)概念系統(tǒng)的特點， 這樣的語言在表現(xiàn)上不僅僅是自然語言的片段， 也可以是包括符號、圖表、圖形等，也可以包括幾個不同的自然語言的片段。四、研

6、究綱領(lǐng)：以概念為中心任何研究都有一些基本的、初始的、不加定義的出發(fā)點。在概念的研究中，有兩種不同的研究思路，一是將概念作為初始的出發(fā)點，如果概念空間理論等、一種2是將概念化歸為其他的初始出發(fā)點， 如果建立在可能世界基礎(chǔ)上的各類理論， 它們的初始出發(fā)點是可能世界和外延， 而不是概念。 以概念為中心的研究綱領(lǐng)采用第一種方法，以概念作為初始出發(fā)點。以概念為中心的研究綱領(lǐng)有更深層的意義， 它以概念為中心將認知、 語言、交流等組織在一起，形成一些有聯(lián)系的相對獨立的研究領(lǐng)域。人們在考慮認知時，經(jīng)常使用思想世界語言的三角形：思想世界語言但思想和世界、 語言和世界之間的關(guān)系是很不清楚的。 “思想是世界的反映”

7、 （反映論）、“世界與語言同構(gòu)” （維特根斯坦）等都是簡單化的說法，對于深入研究沒有實質(zhì)性的幫助。可以用概念將其細化：思想概念世界語言思想和語言都是通過概念與世界建立聯(lián)系的。對于認知個體來說，思想和概念形成更多地是與多主體之間的交流有關(guān)，很少直接來源于外部世界。 所以以概念為中心的研究綱領(lǐng)還包括多主體之間的交流 （社會）。思想語言概念3世界社會（信息交流）思想概念語言，是整個研究的基礎(chǔ)，本文在三者統(tǒng)一的基礎(chǔ)上，用形式化的方法研究概念的結(jié)構(gòu)及其相關(guān)的問題。 思想、概念、 語言的復(fù)雜性的程度也是同樣的，本文只是在最簡單的情況進行討論，通過這樣的討論體現(xiàn)這種研究的思想、方法和研究框架。§2

8、概念結(jié)構(gòu)語義一、語言一個簡單語言包括兩個部分：1. 固定的常項的集合： A, E （詞項聯(lián)結(jié)詞）， （語句聯(lián)結(jié)詞）2. 詞項的有限集合 L。不同語言的區(qū)別在于詞項的集合的不同。例如：L1= 動物、鳥、天鵝、烏鴉、企鵝、黑的、白的、會飛 。L2= 孫悟空、林丹、會七十二變，會打羽毛球，人、猴 。從這些詞項的意義看，它們是有區(qū)別的，如性質(zhì)和類、類和個體、實在和虛擬等，但在簡單語言中，不刻畫它們的區(qū)別。語句共有四種類型：SA P、 SEP、SA P、SEP，其中 S, PL 。SA P 和 SEP 意義分別是“ S 是 P”和“ S 不是 P”，但在具體語句中，不一定寫成“ 是”和“ 不是”。是語句

9、否定詞“并非 ”，在這個簡單語言中，否定詞只能使用一次。例如在 L1 中，“天鵝是白的” 、“烏鴉是黑的” 、“烏鴉不是天鵝” 、“并非天鵝是白的”、“企鵝是鳥” 、“企鵝會飛” 、企鵝不會飛” 、“并非企鵝會飛”等都是語句。在 L 2 中，“孫悟空會七十二變” 、“林丹會打羽毛球” 、“孫悟空是猴” 、“孫悟空是人”、“孫悟空不會七十二變” 、“并非林丹不會打羽毛球” 、 “林丹不是孫悟空” 、“并非孫悟空是林丹”等都是語句。SA P、SEP 稱為基本語句，用x、y 等來表示，語句用等表示，語句集用、等表示。4x 和x 稱為 一對矛盾 。包含矛盾的語句集稱為矛盾語句集 ，簡稱 矛盾集 。注意

10、，這里所說的矛盾是純語形的，“企鵝會飛”和“企鵝不會飛”并不是矛盾，所以 企鵝會飛、企鵝不會飛 并不是矛盾集， 企鵝會飛、并非企鵝會飛 才是矛盾集。按某種心理學(xué)觀點，基本信念只能處于三種狀態(tài)之一，肯定、否定、無知。從語言和思想的對應(yīng)看，基本語句對應(yīng)基本信念，用基本語句本身表示相應(yīng)的基本信念的肯定狀態(tài)， 用基本語句的否定表示相應(yīng)的基本信念的否定狀態(tài)，但并沒有語句去表示基本信念的無知狀態(tài)。但思想（基本信念狀態(tài)的整體）可以用一個語句集來表示。如果x，x 相應(yīng)的基本信念處于肯定狀態(tài)，如果x，x 相應(yīng)的基本信念處于否定狀態(tài)，如果x 且 x ，則 x 相應(yīng)的基本信念處于無知狀態(tài)。雖然基本信念有三種不同的狀

11、態(tài)，但我們并不一定需要某種三值的解釋。因為只能處于三種狀態(tài)之一， 所以矛盾語句集不能對應(yīng)于思想 。在用語言表示思想時，會有 冗余的 ，所以我們沒有必要要求形式化的構(gòu)造都要有某種意義。不含矛盾的語句集都能對應(yīng)于思想， 因為思想是基本信念狀態(tài)的整體， 所以我們稱不含矛盾的語句集為 信念集 。二、概念結(jié)構(gòu)語義概念的集合D = s | S L ，概念是依賴于語言的，而且是可以用詞項來表示的，從語言的角度看， 應(yīng)該允許不同的詞項對應(yīng)于同一個概念。 但我們的目的是為了研究概念的結(jié)構(gòu)， 所以使用最簡單的能表示概念的語言不同的詞項對于不同的概念。這樣，給定一個語言L 后，概念的集合就是唯一確定的。2.1 定義

12、 模型 D 是概念的集合， Y, N 是 D 上二元關(guān)系， M = <D, Y , N> 稱為語言 L 的一個模型。2.2 定義滿足M = <D, Y , N> 是模型，是語句， M |=（模型 M 滿足語句）定義如下：(1) M | = SA P 當且僅當<s, p>Y ，(2) M | = SEP 當且僅當 <s, p> N ，(3) M | = SAP 當且僅當 <s, p> Y 。(4) M | =SEP 當且僅當<s, p>N 。(3)和 (4) 可以統(tǒng)一的表示為：M |=x 當且僅當并非 M |= x。是語句集

13、，如果任給，都有M|=，則稱 M滿足，也稱 M是的模5型，記為 M |=。2.3 定理M = <D, Y , N> 是模型，是語句集， M 滿足的充要條件是：(1) 如果 SA P ，則 <s, p> Y ，(2) 如果 SEP ，則 <s, p> N ，(3)如果SA P，則 <s, p>Y 。(4)如果SEP，則 <s, p>N。其實我們可以直接用定理 2.3作為模型滿足語句集的定義，從定義模型滿足公式開始，是為了以后擴充的需要。全體的模型稱為的模型類，記為M()，即 M() = M | M | =。2.4 定理如果，則 M()M

14、()。我們具體是用多個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（模型） 來解釋語句集的，但不要誤認為語句集對應(yīng)于多個概念結(jié)構(gòu)，這多個模型表示的是一個概念結(jié)構(gòu)。實際上， 我們有辦法用一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來解釋語句集，使用多個模型，只是為了方法上的簡單、清晰，更容易研究。我們形式化的是語言和概念，思想作為直觀背景。思想模型類語句集多個模型的方法同樣會帶來有冗余：并不是任何模型類都能表示思想?？漳Ｐ皖悓?yīng)于冗余的矛盾語句集。2.5 定理M() =，當且僅當，是矛盾語句集。但模型類比語句集有更多的冗余。我們要考慮到底什么樣的模型類能與信念集對應(yīng)？2.6 定義 模型的擴充 M = <D, Y , N> ，M = <D, Y

15、, N >是 L 的兩個模型， 如果 Y Y , N N ，則稱 M 是 M 的擴充，記為 M M 。是所有模型上的偏序關(guān)系。2.7 定義簡單模型類M s M t，(M s, M t) = M | M s M M t ，稱為簡單模型6類。與信念集相對應(yīng)的是簡單模型類。2.8 定義最小模型和最大模型是信念集， M s() = <D, Y s(), N s()>稱為的最小模型，其中Y s() = < s, p> | SA P ， Ns() = < s, p> | SEP 。M t() = <D, Y t(), N t()>稱為的最大模型，其中Y

16、 t() = < s, p> |SA P ， Nt () = < s, p> |SEP 。2.9 定理是信念集，則M 是的模型當且僅當M s() M M t()，所以M() = (M s(), M t ()。2.10 定理(M s, M t)是簡單模型類，則存在信念集，使得 M() = (M s, M t )。令 M s = <D, Y s, Ns>，M t = <D, Y t, Nt >，取 = SAP | <s, p> Ys SEP | <s, p> Ns SA P | <s, p> Y t SEP | &

17、lt;s, p>Nt 。思想簡單模型類信念集其它模型類空模型類矛盾集§3推理一、推理3.1 定義推理規(guī)則是有限語句集，是語句，則/稱為一個推理規(guī)則，若干個推理規(guī)則組成了一個規(guī)則集。這里所說的推理規(guī)則的意義是主體實際中使用的規(guī)則， 并不一定要滿足某種邏輯的要求。不同的主體不但可以有不同信念， 也可以有不同的規(guī)則集。 規(guī)則集可以看成主體對語言常項 A, E 和 的一種理解。3.2 定義推理封閉集是規(guī)則集，語句集稱為-推理封閉的，如果：任給推理規(guī)則/，都能從得到。73.3定義推理擴充是規(guī)則集，是語句集，令I(lǐng)= |存在推理規(guī)則/，使得 （的一步推理），歸納定義n（稱為的 n 步擴充）如

18、下：0=， n+1= (n)I令=n*稱為 的-推理閉包。| n 0 ，3.4 定理是規(guī)則集，是語句集。(1) -推理閉包是推理封閉的(2) 如果且是-推理封閉，則。(3)()=。概念結(jié)構(gòu)語義與通常的邏輯語義一個重要的區(qū)別是： 它的滿足關(guān)系對推演不封閉。推理規(guī)則對應(yīng)的是模型類的改變（減少） ，不同的推理規(guī)則只是對應(yīng)于模型類不同的改變，所以我們語義中的滿足關(guān)系，可以適合于任何一種推理規(guī)則。二、一致和不一致3.5定義不一致是規(guī)則集，如果語句集的推理閉包包含矛盾，則稱語句集是-不一致的。如果語句集不是-不一致的，就稱是-一致的。因為包含矛盾當且僅當 M() =，所以是一致的當且僅當不包含矛盾 當且僅

19、當 M( )。除了包含矛盾的不一致語句集外， 其它不一致語句集是有模型的， 也就是說任何不一致的信念集都是有模型的。 這是概念結(jié)構(gòu)語義非常有用的性質(zhì)， 因為只有對不一致的信念集給出一種合理的語義， 我們才能使用語義學(xué)方法去處理不一致的信念集。3.6 定義不變模型是規(guī)則集， M 是模型。如果任給推理規(guī)則/，都能從M|=得到 M|=。則稱 M 是-不變模型。所有-不變模型的集合記為M。3.7定理是規(guī)則集，是語句集。任給-不變模型 M ，都有如果 M |=，則 M|=。因此 M()MM()。3.8 定理如果語句集有-不變模型，則是-一致的。8對于一般的規(guī)則集來說，是一致的并不能得到有不變模型。3.9

20、 定義完備性是規(guī)則集，如果從是-一致的都能得到有-不變模型，則稱是完備的。三、標準規(guī)則3.10 定義標準規(guī)則以下規(guī)則組成的規(guī)則集稱為標準規(guī)則，記為。A- 規(guī)則：1. / SAS；2. SAP,PAQ / SAQ；2.1. SAP,SAQ/PA Q；2.2. SA P,QAS/QAP。E-規(guī)則3. SEP / PES；3.1. SEP / PES。混合規(guī)則4. SAP/ SEP；4.1. SEP/SA P；5. SA P, PEQ / SEQ；5.1. SAP,SEQ/PEQ； 5.2. SE P,QEP/QA S。標準規(guī)則是由三段論理論得到，本質(zhì)上只有 5 條，另外的可以看成經(jīng)過某種 （經(jīng)過假

21、言易位）的變形。對于標準規(guī)則，不變模型有很好的刻畫。3.11 定理模型 M 是標準規(guī)則下的不變模型當且僅當M 滿足以下性質(zhì)：(1) Y 是自返和傳遞的， N 是對稱的。(2) 任給 s, p D， <s, p> Y 或 <s, p> N。(3) 任給 s, p, qD，如果 <s, p>Y 且 < p, q>N，則 <s, q>N 。Y 的自返性和傳遞性對應(yīng)于 A- 規(guī)則， N 的對稱性對應(yīng)于 E-規(guī)則， (2) 和 (3)對應(yīng)于混合規(guī)則。有了標準規(guī)則下的不變模型的刻畫，我們就能夠證明標準規(guī)則是完備的。3.12引理如果語句集的最小模型

22、 M s( )不是-不變模型， 則 M s()不是的模型。3.13引理如果語句集沒有 -不變模型，則沒有模型。3.14定理標準規(guī)則是完備的。詳細證明略9四、概念的特征概念有不同的類別， 概念的類別是由概念的特征確定的。 一般地說， 概念的特征要涉及外部世界或信息交流， 但在思想概念語言的框架內(nèi)， 用推理規(guī)則也能討論一些概念的特征。仔細分析推理規(guī)則， 能夠發(fā)現(xiàn)有些推理規(guī)則是對所有概念都適用的， 可以稱為普遍的規(guī)則， 如標準規(guī)則中每個規(guī)則都是普遍的。 給定一組普遍的規(guī)則后， 那些對于某些概念的非普遍的規(guī)則就可以認為確定了這些概念的一種特征。以下考慮在標準規(guī)則下的兩個重要的特征： 一個概念是否是單稱

23、的？兩個概念是否是排斥的？本來這兩個特征都來源于外部世界， 但我們可以在思想概念語言的框架內(nèi)對它們進行部分刻畫。3.17 定義單稱概念如果一個概念S 滿足以下規(guī)則：任給概念P，都有 SA P / SEP，SA P / SEP，則稱 S 是單稱的。3.18 定義互斥概念如果兩個個概念P 和 Q 滿足以下規(guī)則：任給概念S，都有 SAP /SAQ， SAQ /SA P，則稱 P 和 Q 是互斥的。如果一組概念P1,Pn 兩兩互斥，則稱這組概念是互斥的。§ 4不可分辨性翻譯一、同態(tài)與同構(gòu)L1 和 L2 是兩個語言， D1 和 D2 是相應(yīng)的兩個概念的集合，f 是 L 1 到 L 2 的映射，

24、因為語言與概念的對應(yīng)，f 也可以看成D1 到 D2 的映射（如果 f(S) = S'，則 f(s) = s'）。4.1 定義 解釋 L1 和 L2 是兩個語言， f 是 L 1 到 L2 的映射。 f 可以擴充為 L 1的語句集到 L2 的語句集的映射：f (SA P) = f( S)A f(P)， f(SEP) = f(S)Ef(P)，f( SA P) = f(S)A f(P)， f( SEP) =f(S)Ef(P)。是 L1 公式， f( )稱為 在 L2 中的一個解釋，是 L 1 語句集， f = f ( ) |稱為在 L 2 中的一個解釋。4.2 定義同態(tài)L1和 L2是

25、兩個語言， M1 = <D1, Y 1, N1>和 M2 = <D2, Y 2, N2>分別是它們的模型，f 是 L 1 到 L2 的映射，如果 f 滿足：任給 s, pD 1，都有<s, p>Y 1當且僅當 < f(s), f( p)> Y 2，10<s, p>N 1 當且僅當< f(s), f( p)>N2則稱 f 是 M 1 到 M 2 的同態(tài)。4.3 定理同態(tài)的傳遞性L1、 L2 和 L3 是三個語言， M 1、M 2 和 M 3 分別是它們的模型，如果f 是 M 1 到 M 2 的同態(tài)， g 是 M 2 到 M

26、3 的同態(tài)，則 g f 是 M 1 到 M3的同態(tài)。4.4 定義簡單模型類的同態(tài)(M 1s, M 1t)、 (M 2s, M 2t)分別是語言L 1 和 L 2 的簡單模型類。 如果 f 是 M 1s 到 M 2s 的同態(tài)， 也是 M 1t 到 M 2t 的同態(tài)， 則稱 f 是 (M 1s, M 1t)到 (M 2s, M 2t)的同態(tài)。4.5 定理 同態(tài)和解釋 f 是 (M 1s, M 1t)到 (M 2s, M 2t)的同態(tài)， 是語句集。如果 M( ) = (M 1s, M 1t)，則 M( f ) = (M 2s, M 2t)。4.6 定義 同構(gòu)L 1 和 L2 是兩個語言， M 1 和

27、 M 2 分別是它們的模型，f 是 M 1到 M 2 的同態(tài)，如果f 是 L 1 到 L2 的雙射，則稱 f 是 M 1 到 M 2 的同構(gòu)。如果存在 M1到 M2的同構(gòu)，則稱 M1和 M2同構(gòu)，記為 M1M2。4.7 定理同構(gòu)的性質(zhì)(1) MM。(2) 如果 M1M2，則 M2M1。(3) 如果 M1M2且 M2M3，則 M1M3。二、不可分辨性在概念理論中， 詞項的同義有一種簡單的處理： 如果兩個詞項指稱同一個概念，它們就是同義。 對于我們的理論來說， 因為不同的詞項指稱不同的功能， 所以這樣的處理是無意義的。同義的詞項一定是不可分辨的， 但不可分辨的不一定是同義。 實際上， 對于整體主義

28、來說， 同義是沒有意義的。 而概念的不可分辨性才是重要的， 而且只能相對于某個概念體系的。對于我們的理論來說，就是相對于模型類的。4.8 定義 自同構(gòu) L 是語言， M 是 L 的模型，模型 M 到 M 的同構(gòu)稱為 M 的自同構(gòu)。4.9 定義對換M 是模型， s, pD ，f 是 M 的自同構(gòu)。如果f 滿足：f(s) = p， f(p) = s，任給不等于 s, p 的 q 都有 f( q) = q，則稱 f 是 M 的 s-p 對換。114.10 定理s, p, qD ，f 是 M 的 s-p 對換， g 是 M 的 p-q 對換，則f-1 g f 是M 的 s-q 對換。4.11 定義不可

29、分辨性(1) M 是模型，如果存在M 的 s-p 對換，則稱s, p 在 M 中不可分辨。(2) (M 0, M 1)是簡單模型類， s, p D，如果存在 f 是 M 0 的 s-p 對換，也是 M 1 的s-p 對換，則稱s, p 在 (M 0, M 1)中不可分辨。4.12 定理不可分辨的性質(zhì)(1) s, s 在 M 中不可分辨。(2)如果 s, p 在 M 中不可分辨，則 p, s 在 M 中不可分辨。(3)如果 s, p 在 M 中不可分辨， p, q 在 M 中不可分辨，則s, q 在 M 中不可分辨。4.13 定義 互相置換 S, P L ，在語句集 中將所有的 S換成 P，同時

30、將所有的 P 換成 S，得到的語句集稱為 S 和 P 互相置換，記為 (S, P)。4.14 定理不可分辨的語句特征是語句集， s, pD。s, p 在 (M 0(), M 1()中不可分辨當且僅當(S, P) =。三、翻譯翻譯表面看來是在語句間的，但實際上是兩個概念體系間，語言只是概念間翻譯的表現(xiàn)。4.15 定義簡單模型類的同構(gòu)f 是 (M 1s, M 1t)到 (M 2s, M2t)的同態(tài)，如果f 是雙射，則稱 f 是 (M 1s, M 1t)到 (M 2s, M 2t)的同構(gòu)。4.16 定理如果 f 是 (M 1s, M 1t)到 (M 2s, M 2t)的同構(gòu)，則 f 導(dǎo)出 (M 1s

31、, M 1t)中模型和(M 2s, M 2t)中模型的一一對應(yīng)，使得這對應(yīng)保持模型間不變，并且f 是這對應(yīng)間的同構(gòu)。4.17 定義翻譯1 和 2 分別是 L1 和 L2 的語句集，若f 是 (M s(1), M t( 1)到 (M s( 2), M t (2) 的同構(gòu)，則稱 f 是 1 到 2 的翻譯，這時有2 = f1 。（見定理4.5）。4.18 定理如果 f 是到 f 的翻譯，則 f 也是到 f 的翻譯。（見定理 4.16）。這樣的翻譯可以稱為在背景下的局部翻譯。12我們?nèi)粘５姆g不是兩個語句集的翻譯， 而是在背景下的局部翻譯。 僅僅是兩個語句集之間的翻譯是不夠的， 而是要求背景之間能建立翻譯。 日常使用的概念的背景是非常大的， 要建立背景間的翻譯幾乎是不可能的， 所以在日常語言中這種理想的翻譯是做不到的