1、第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.1 狀態(tài)空間描述1.2 狀態(tài)空間方程的線性變換1.3 傳遞函數(shù)矩陣1.4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述1.5 用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和模型轉(zhuǎn)換第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.1 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述1.1.1 狀態(tài)空間描述的基本概念狀態(tài)空間描述的基本概念狀態(tài)空間描述是以狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)空間等概念為基礎(chǔ)建立起來的，其實(shí)質(zhì)是將系統(tǒng)運(yùn)動方程寫成一階微分方程組的方法。下面我們給出相關(guān)概念的定義。1. 狀態(tài)狀態(tài)任何一個系統(tǒng)在特定時刻都有一個特定的狀態(tài)，每個狀態(tài)都可以用最小的一組獨(dú)立的狀態(tài)變量來描述。設(shè)想一個質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，這個系統(tǒng)的狀態(tài)

2、就是它每一時刻的位置和速度。 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2. 狀態(tài)變量狀態(tài)變量狀態(tài)變量是系統(tǒng)的一組變量。這組變量有如下特點(diǎn)： (1) 只要知道這組變量的初值、輸入量和描述動態(tài)系統(tǒng)的微分方程，就能完全確定系統(tǒng)的未來狀態(tài)和輸出響應(yīng)。(2) 這組變量是為完全表征系統(tǒng)行為所必需的系統(tǒng)變量的最少個數(shù)，減少變量數(shù)將破壞表征的完全性，而增加變量數(shù)將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一個用n階微分方程式描述的系統(tǒng)，就有n個獨(dú)立的狀態(tài)變量，當(dāng)這n個獨(dú)立變量的時間響應(yīng)都求得時，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)也就被揭示無遺了。因此，可以說該系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是n階系統(tǒng)的n個獨(dú)立變量。比如質(zhì)點(diǎn)作動態(tài)運(yùn)動的

3、例子，狀態(tài)變量就是質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)和速度函數(shù)。需要注意的是，選擇不同的坐標(biāo)，位置函數(shù)和速度函數(shù)就會不同。也就是說，描述一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以有多種不同的選擇方式，究竟選哪一組變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以視情況而定。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3. 狀態(tài)向量狀態(tài)向量完全描述給定系統(tǒng)行為的n維狀態(tài)變量可以看做是向量x的n個分量，該向量就稱為狀態(tài)向量。4. 狀態(tài)空間狀態(tài)空間以n維狀態(tài)變量為基底構(gòu)成n維狀態(tài)空間。任何狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)來表示。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述5. 狀態(tài)空間方程狀態(tài)空間方程當(dāng)一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量確定后，由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為狀態(tài)方程，它反映了輸入引

4、起系統(tǒng)狀態(tài)變化這一運(yùn)動過程；系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量輸入量的關(guān)系稱為輸出方程，它反映了輸入和狀態(tài)是如何轉(zhuǎn)換為輸出的。在狀態(tài)空間中描述這個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的組合，稱為狀態(tài)空間方程，或狀態(tài)空間表達(dá)式。它既表征了輸入對于系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的因果關(guān)系，又反映了內(nèi)部狀態(tài)對于外部輸出的影響，所以狀態(tài)空間方程是對系統(tǒng)的一種完全的描述。由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇是非唯一的，因此狀態(tài)空間方程也是非唯一的。下面我們來寫出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述對于多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，假設(shè)具有r個輸入量u1(t)，u2(t)，ur(t)，m個輸出量y1(t)，y2(t)，ym(t)，n個狀態(tài)變量x1(

5、t)，x2(t)，xn(t)，則系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組可寫為1112122212121212( )(,;,; )( )(,;,; )( )(,;,; )nrnrnnnrx tf x xx u uu tx tfx xx u uu tx tfx xx u uu t (1-1)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸出方程可以表示為1112122212121212( )(,;,; )( )(,;,; )( )(,;,; )nrnrmmnry tg x xx u uu ty tgx xx u uu tytgx xx u uu t (1-2)如果定義向量和矩陣如下：12( )( )( ),( )n

6、x tx ttx tx11212212121212(,;,; )(,;,; )( , , ),(,;,; )nrnrnnrf x xx u uu tfx xx u uu ttfx xx u uu tf x u12( )( )( )( )ru tu ttu tu第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 12( )( )( ),( )my ty ttyty11212212121212( ,;,; )( ,;,; )( , , )( ,;,; )nrnrmnrg x xx u uu tgx xx u uu ttgx xx u uu tg x u則方程(1-1)和方程(1-2)變成( )( , , )( )(

7、, , )tttt xf x uyg x u (1-3)如果將方程(1-3)線性化，可得到方程： (1-4)( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )tttttttttt xAxBuyCxDu式中，A(t)，B(t)，C(t)，D(t)中元素隨時間而變化，稱這種系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述特別地，如果矩陣A(t)，B(t)，C(t)，D(t)中參數(shù)與時間無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，此時式(1-4)可寫為方程：(1-5)( )( )( )( )( )( )tttttt xAxBuyCxDu其中111212122212,nnnnnnaaaaaaa

8、aaA111212122212rrnnnrbbbbbbbbbB111212122212,nnmmmncccccccccC111212122212rrmmmrdddddddddD第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述式(1-5)中： x為n維狀態(tài)向量；u為r維輸入(或控制)向量；y為m維輸出向量。A稱系數(shù)矩陣，為nn維；B稱控制矩陣，為nr維；C稱輸出矩陣，為mn維；D稱直接傳遞輸入矩陣，也稱關(guān)聯(lián)矩陣，為mr維。狀態(tài)空間方程也可以用狀態(tài)圖來表示。狀態(tài)圖是與狀態(tài)空間方程相對應(yīng)，描述系統(tǒng)輸入量、狀態(tài)變量和輸出量之間函數(shù)關(guān)系的一種結(jié)構(gòu)圖，便于動態(tài)系統(tǒng)的模擬實(shí)現(xiàn)。狀態(tài)圖由積分器、放大器和節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。對于式(1-5

9、)，狀態(tài)圖如圖1-1所示。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖1-1 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)圖第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.1.2 狀態(tài)空間方程的建立狀態(tài)空間方程的建立一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、液壓、熱力等類型。建立控制系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的通常作法是根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，確定系統(tǒng)的輸入和輸出變量；根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的工作機(jī)理，比如牛頓定律，基爾霍夫定律等，建立系統(tǒng)運(yùn)動方程；再選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹繛闋顟B(tài)變量，把運(yùn)動方程轉(zhuǎn)換為一階微分方程組，從而建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。例例1-1 確定圖1-2所示的RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間方程。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖1-2 RLC電路第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空

10、間描述解：解：此系統(tǒng)有兩個獨(dú)立儲能元件，即電容C和電感L，故用二階微分方程式描述該系統(tǒng)，所以應(yīng)有兩個狀態(tài)變量?？梢栽O(shè)uc和i作為此系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量，根據(jù)電工學(xué)原理，寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程式：ddddccruCitiLRiuut亦即111 ccruiCRiuiuLLL第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述取狀態(tài)變量x1=uc，x2=i，則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 12212111 xxCRxxxuLLL寫成向量矩陣形式為112210011xxCuxxRLLL(1-6)若改選uc和作為兩個狀態(tài)變量，即令 , 則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為cu ccuxux21,1221211 xxRxxxuLCLLC第1章

11、 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述即 112201011xxuRxxLCLLC(1-7)比較式(1-6)和式(1-7)，顯然，同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。 控制系統(tǒng)輸出方程中輸出量通常由系統(tǒng)任務(wù)確定或給定。如在圖1-2所示系統(tǒng)中，指定x1=uc作為輸出，用y表示，則有y=uc 或 y=x1寫成矩陣形式為1210 xyx第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-2 電樞控制式電機(jī)控制系統(tǒng)原理如圖1-3所示，其中R，L和i(t)分別為電樞電路的內(nèi)阻、內(nèi)感和電流，為電機(jī)軸的旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，u(t)為電樞回路的控制電壓，Kt為電機(jī)的力矩系數(shù)，Kb為電機(jī)的反電動勢系數(shù)，J為折算到電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量。

12、試建立電機(jī)的狀態(tài)空間方程。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖1-3 電樞控制式電機(jī)控制系統(tǒng)原理圖第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：解：根據(jù)電機(jī)原理，電機(jī)轉(zhuǎn)動時，將產(chǎn)生反電動勢eb，其大小為eb=Kb 在磁場強(qiáng)度不變的情況下，電動機(jī)產(chǎn)生的力矩T與電樞電路的電流成正比，即T=Kti(t) 根據(jù)基爾霍夫定律，電樞電路有下列關(guān)系： d( )dbiLRieu tt對于電機(jī)轉(zhuǎn)軸，根據(jù)牛頓定律，有TJ第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述取電樞回路電流i(t)、轉(zhuǎn)角及其電機(jī)軸角速度為系統(tǒng)的三個狀態(tài)變量x1，x2，x3，取電機(jī)軸轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)輸出，電樞控制電壓u(t)為系統(tǒng)輸入，于是有1132331321 btRKxxxu

13、LLLxxKxxxJJyx 或10001000 010btRKLLLKJJ xxuyx第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述這是一個三階系統(tǒng)。如果我們對電機(jī)軸轉(zhuǎn)角不感興趣，在本例中我們可以取電樞電路電流i(t)及電機(jī)軸角速度為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量x1，x2，取電機(jī)軸角速度為系統(tǒng)輸出，電樞控制電壓u(t)為系統(tǒng)輸入，于是有11221221btKRxxxuLLLKxxxJjyx 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述或1001btKRLLLKJJ xxuyx這是一個二階系統(tǒng)。前面三階系統(tǒng)可視為在狀態(tài)變量之后又增加了一級儲能作用，故有三個獨(dú)立的狀態(tài)變量。例例1-3 設(shè)有一倒立擺安裝在馬達(dá)驅(qū)動車上，如圖1-4所示?？刂?/p>

14、力u作用于小車上。假設(shè)倒立擺只在圖1-4所在的平面內(nèi)運(yùn)動，擺桿的重心就是擺球的重心，試求該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖1-4 倒立擺系統(tǒng)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：解：設(shè)小車和擺桿的質(zhì)量分別為M和m，擺桿長為l，所以擺桿重心的水平位置為x+l sin， 垂直位置為l cos。按照物理定律，擺桿和小車的運(yùn)動方程如下： 擺桿的轉(zhuǎn)動方程： 22dsincosdJVlHlt式中J為擺桿的轉(zhuǎn)動慣量。擺桿重心的水平運(yùn)動： 22dsindmxlHt第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述擺桿重心的垂直運(yùn)動： 22dcosdmlVmgt小車的水平運(yùn)動： 22ddxMuHt因?yàn)槲覀儽仨毐３值沽[

15、垂直，所以可假設(shè)(t)和的量值很小，因而使得sin=0， cos=1，并且，擺桿的幾個運(yùn)動方程可以被線性化。線性化后的方程為( ) t200JVlHlxlHmVmg第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述由于擺桿的轉(zhuǎn)動慣量很小，可看做J=0。由以上方程，可以推導(dǎo)出系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型： 2Mm xmlumlmlxmgl從以上兩式中分別消去和后得到方程 xMlMm guMxumg(1-8)若定義狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4為(1-9)1234,xxxx xx第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則以擺桿繞點(diǎn)P的轉(zhuǎn)動角度和小車的位置x作為系統(tǒng)的輸出量，有： 1132xyyxyx 根據(jù)方程組(1-8)和(1-9)，

16、可以得到1221344111xxMmxgxuMlMlxxmxgxuMM 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述或1122334411223401000100000010100010000010 xxMmgxxMlMluxxxxmgMMxyxyxx第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.1.3 化高階微分方程為狀態(tài)空間方程化高階微分方程為狀態(tài)空間方程 一個系統(tǒng)常常用微分方程描述輸入輸出關(guān)系。在選取合適的狀態(tài)變量后，微分方程可以轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程。我們把微分方程分成兩種情況來討論：(1) 微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況：(1-10)( )(1)(2)122100nnnnnyayaya ya ya yb u

17、畫出其狀態(tài)圖如圖1-5所示。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖1-5 微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時的狀態(tài)圖第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述選取每個積分器的輸出為狀態(tài)量x1，x2，x3，xn，即有(1), , ,ny y yy (1), , ,ny y yy 112(1)1( )(1)(2)1210012112010nnnnnnnnnnnnnxyxxyxxyxyayaya ya yb uaxaxa xa xb u 寫成矩陣形式，即為第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1-11)112211012101210100000100000101000nnnnnnnxxxxuxxxaaaaxbxxyxx第1章

18、 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述式(1-11)中系數(shù)矩陣A的形式比較特殊，其特點(diǎn)是主對角線上方的元素一律為1，在最下面一行的元素可以為任意值，其余元素都為0。這種形式的矩陣稱為友矩陣，在控制理論中經(jīng)常遇到。例例1-4 將高階微分方程變換為狀態(tài)空間方程。解：解：由式(1-10)可知a0=6，a1=11，a2=6，b0=6，代入式(1-11)可得61166yyyyu1122331230100001061166 100 xxxxuxxxyxx 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2) 微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況：(1-12)( )(1)(2)12210( )(1)1210nnnnnnnnnyayaya

19、ya ya yb ubub ubub u為了使系統(tǒng)狀態(tài)方程中不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，狀態(tài)變量可以這樣選擇： 1021101322012(1)(1)(2)110121nnnnnnnnxyuxxuyuuxxuyuuuxxuyuuuu第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述整理后可得到12123211nnnxxuxxuxxu畫出其狀態(tài)圖如圖1-6所示。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖1-6 微分方程中含有輸入信號高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時的狀態(tài)圖第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可求得狀態(tài)空間方程為111222111012112010100001000011000nnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxyuxx(1-13)第

20、1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述式中0，1，n是待定系數(shù)，可以由遞推公式求出。為簡便起見，寫成矩陣形式：(1-14)011111231001211111nnnnnnbbabaaabaaaa例例1-5 已知高階微分方程18192640160640yyyyuu試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：解：由原式可知a0=640，a1=192，a2=18，b0=640，b1=160，代入式(1-14)得0123010000181001601921810640640192181 可解得0123001602240第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述于是由公式(1-13)可寫出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為11

21、22331230100001160640193182240 100 xxxxuxxxyxx實(shí)際上，由于采用該方法較為繁瑣，通常的做法是將微分方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，再由傳遞函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.2 狀態(tài)空間方程的線性變換狀態(tài)空間方程的線性變換1.2.1 狀態(tài)向量線性變換狀態(tài)向量線性變換對于一個給定的定常系統(tǒng)，由于狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)空間方程也就不同，但它們描述了同一個線性系統(tǒng)，因此在各狀態(tài)空間方程所選取的狀態(tài)向量之間，實(shí)際上存在著一種向量的線性變換關(guān)系。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1. 等價系統(tǒng)方程等價系統(tǒng)方程設(shè)給定系統(tǒng)為 xAxBuyCxDu(1-15)我們總可以找

22、到任意一個非奇異矩陣P，將原狀態(tài)向量x作線性變換，得到另一狀態(tài)向量，設(shè)變換關(guān)系為即，代入式(1-15)，得到新的狀態(tài)空間方程xxxPx-1xP x(1-16)11()xPxP AxBuPAP xPBuAxBuyCxDuCP xDu由式(1-16)可知線性變換后 ，D=D。1APAPBPB1CCP第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述通常P稱為變換矩陣。由于P的選擇非唯一，故狀態(tài)空間方程也不是唯一的。對系統(tǒng)進(jìn)行線性變換的目的在于使系數(shù)矩陣規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性及分析計算。1APAP第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2. 線性變換的特性線性變換的特性對于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征值是一個重要概念，它決定了系

23、統(tǒng)的基本特性。通常常數(shù)與單位矩陣的乘積和系數(shù)矩陣之差的行列式稱為特征多項(xiàng)式，即(1-17)121210AnnnnnIaaaa該特征多項(xiàng)式的根稱為特征值。對于式(1-15)表示的線性變換前的系統(tǒng)，特征值為|IA|=0的根。對于式(1-16)表示的線性變換后系統(tǒng)的特征值為的根，而 0IA11111 IAIPAPP PPAPPIA PPIA PIA說明線性變換不改變狀態(tài)方程的特征值，故有等價變換之稱。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.2.2 化系數(shù)矩陣化系數(shù)矩陣A為對角標(biāo)準(zhǔn)形為對角標(biāo)準(zhǔn)形定理定理1-1 對于式(1-15)所示的線性定常系統(tǒng)，當(dāng)矩陣A特征值1，2，n互異時，每一個特征值對應(yīng)一個特征向量

24、，則矩陣A共有n個獨(dú)立的特征向量。即Aqi=iqi 或 (IA)qi=0 (i=1，2，n) (1-18)此時，令Q=q1 q2 qn，取變換矩陣P=Q1=q1 q2 qn1(1-19)通過變換，可以將A矩陣化為對角標(biāo)準(zhǔn)形： xPx12-1n00PAP (1-20)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-6 已知線性定常系統(tǒng)211701020213xx u將此狀態(tài)方程化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。解：解：(1) 求系統(tǒng)特征值：2110102110021IA可解得A的特征值為1=2，2=1，3=1。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2) 確定非奇異變換陣P：當(dāng)1=2時，111121310110300021qqqI

25、A q2131211213101300200qqqqq q當(dāng)2=1時，122222323110000022qqqIA q1222322223203012201qqqqqq當(dāng)3=1時，同理可得q3=1 0 1T。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述所以可求出線性變換矩陣P11123101111010010011011Pqqq(3) 求線性變換后的狀態(tài)方程：1111211101200010010010010011021011001PAP111720102201135 BPB第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述所以對角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程為200201020015 xxu定理定理1-2 對線性定常系統(tǒng)，如果其特征值1

26、，2，n互異，且系數(shù)A矩陣是友矩陣，即0121010000100001naaaaA(1-21)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則將矩陣A可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。這時由n個獨(dú)立的特征向量構(gòu)成的矩陣Q為一個范德蒙矩陣，其形式為(1-22)122221211112111nnnnnn Q這時對應(yīng)的線性變換矩陣P=Q1。例例1-7 已知線性定常系統(tǒng)0109001721215 xxu第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述將此狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)形。解：解：(1) 求系統(tǒng)特征值：10012110212IA可解得A的特征值為1=2，2=1，3=1。(2) 確定非奇異變換陣P： 由于系統(tǒng)特征值互異，且系數(shù)矩陣為友矩陣，故可由

27、定理1-2求出非奇異變換陣P為1111232221231103311111111211122411111326PQ第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(3) 求線性變換后的狀態(tài)方程1123002000001000001PAP11033921117522152111326 BPB所以對角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程為200201050012 xxu第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述定理定理1-3 對于式(1-15)所示的線性定常系統(tǒng)，當(dāng)矩陣A具有重特征值，但A獨(dú)立的特征向量的個數(shù)仍然為n個時，這時可以通過變換，將矩陣A化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。例例1-8 已知矩陣，試化A為對角標(biāo)準(zhǔn)形.解：解：(1) 求系統(tǒng)特征值：xPx1010

28、10002A 2101010120002IA可解得A的特征值為1=2=1，3=2，有重根。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2) 確定非奇異變換陣P:當(dāng)1，2=1時，111121310010000001qqqIA q可得q31=0，q11和q21可取任意值。令q11=1，q21=0及q11=0，q21=1，可得到兩組線性無關(guān)解，故對應(yīng)1，2=1有兩個獨(dú)立的特征向量： 12100 ,100 qq第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述當(dāng)3=2時，133323331010100000qqqIA q132333101qqq由于系統(tǒng)有3個獨(dú)立特征向量，故原系統(tǒng)狀態(tài)空間方程可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。對應(yīng)線性變換陣P可求出為

29、11123101101010010001001Pqqq第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(3) 化對角標(biāo)準(zhǔn)形： 1101101101100010010010010001002001002 PAP第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.2.3 化系數(shù)矩陣化系數(shù)矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理定理1-4 當(dāng)矩陣A具有m個重特征值，且對應(yīng)于每個互異的特征值，只存在一個獨(dú)立的特征向量時，則必存在一個非奇異矩陣P，將矩陣A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形： (1-23)12100mn nJJJPAPJ約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J是由約當(dāng)塊Ji組成的準(zhǔn)對角線矩陣。約當(dāng)塊Ji形式為11iJ00iii第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述由定理1-4可知，對

30、角陣是一種特殊形式的約當(dāng)矩陣。為了將一般形式的矩陣A化成式(1-23)形式的約當(dāng)矩陣，必須確定變換矩陣P。其求法如下： 假設(shè)系統(tǒng)有n個重特征值，設(shè)為1，對應(yīng)特征向量為q1，q2，qn。由特征向量的定義，得到 11121211100nnA qqqqqq將上式展開，可得到第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1 111122213311nnnqAqqqAqqqAqqqAq可改寫為11121132110 nnIA qIA qqIA qqIA qq(1-24)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述利用方程組(1-24)可以求出n重特征值對應(yīng)的特征向量。其中q2，q3，qn稱為對應(yīng)于1的廣義特征向量。此時變換矩陣為(1

31、-25)1112nPQqqq此法可推廣到多個重特征值的情況。如果nn矩陣A有m重特征值1，(nm)個互異特征值m+1，n1，n。為確定線性變換矩陣，可以按上述方法求出對應(yīng)于1的m個特征向量q1，q2，qm。按前面求對角標(biāo)準(zhǔn)形的方法求出其余對應(yīng)于m+1, , n1，n的(nm)個特征向量qm+1，qn1，qn。故對應(yīng)線性變換矩陣為(1-26)1111mmnPQqqqq第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-9 已知矩陣，試化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。解：解： (1) 求系統(tǒng)特征值：065102324A 26512120324 IA可解得A的特征值為1=2=1，3=2。(2) 確定非奇異變換陣P：當(dāng)1，2=1

32、時，111121311651120323qqq IA q112131735qqq 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述再將q1代入IAq2=q1，有122232165711233235qqq 1222320.60.42qqq 當(dāng)3=2時，133323332651220322qqq IA q132333212qqq 所以有111213121222331323370.6230.41 ,522qqqqqqqqq P1.22.80.21414111P第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(3) 化約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：11.22.80.206570.6211014110230.410104111324522002JPAP定理

33、定理1-5 如果nn矩陣A有n重特征值1，且為友矩陣，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的非奇異矩陣P=Q1，矩陣Q的形式為(1-27)121132111(1)(2)12311121000100210330(1)1nnnnnnQ第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 如果A為友矩陣，且有m重特征值1，(nm)個互異特征值m+1，n1，n，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的非奇異矩陣P=Q1，矩陣Q的形式為1122211133321111(1)(2)(1)11(1)(2)12311(1)!1112011100010021033(1)mnmnmnnnn mn mnnnnnnnmnmnQ(1-28)第1章 控制系

34、統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-10 已知矩陣，試化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。解：解：(1) 求系統(tǒng)特征值：010001133A310110133 IA可解得A的特征值為1=2=3=1。(2) 確定非奇異變換陣P： 系統(tǒng)有三重特征值，且系數(shù)矩陣為友矩陣，按照式(1-28)可求出變換陣： 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述111112312111001001001011011021121121PQqqq (3) 化約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：1100010100110110001110011121133121001JPAP第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.3 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣線性定常系統(tǒng)初始松弛(初始條件為零)時，輸出量的拉

35、普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比稱為傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程和傳遞函數(shù)是對同一系統(tǒng)的不同數(shù)學(xué)描述，因此可以相互轉(zhuǎn)換。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.3.1 由狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)矩陣設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為 xAxBuyCxDu對上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得( )(0)( )( )XxAXBUssss化簡后為( )( )(0)I XBUxsss令初始條件為零，即x(0)=0，有11( )()( )( ) () ( )ssssssXIABUYCIABD U第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為1( )()ssyuGCIABD (1-29)

36、若系統(tǒng)是單輸入單輸出系統(tǒng)，則Gyu(s)的形式和古典控制理論中的傳遞函數(shù)一樣。例例1-11 系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為0106511 1xxuyx 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：解：利用式(1-29)可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可先求出(sIA)1。1125116adj()()65det()56sssssssssIAIAIA其中，adj(sIA)表示(sIA)的伴隨陣；det (sIA)表示(sIA)的行列式。代入式(1-29)， 可得12251061( )()1 115656sssssssss yuGCIAb第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述若系統(tǒng)為r個輸入m個輸出的系統(tǒng)，Gyu(s)是

37、一個mr矩陣，則系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣為(1-30)111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )rryummmrgsgsgsgsgsgsGsgsgsgs其中各元素gij(s)都是標(biāo)量函數(shù)，它表征第j個輸入對第i個輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng)ij時，意味著不同標(biāo)號的輸入與輸出又相互關(guān)聯(lián)，稱為耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-12 試將下列系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為傳遞函數(shù)。010000431011201100001xxuyx解：解：111000100( )()0431000111201sssssyuGCIAB2326112

38、33230041410010001611301ssss sssss ssss第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3232323223611361131461136113sssssssss sssssss第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.3.2 子系統(tǒng)串并聯(lián)與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣子系統(tǒng)串并聯(lián)與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣工程中較為復(fù)雜的系統(tǒng)，通常是由多個子系統(tǒng)按照某種方式組合而成的。通常組合的形式有并聯(lián)、串聯(lián)和反饋三種，以下僅以兩個子系統(tǒng)組合連接為例，推導(dǎo)其等效的傳遞函數(shù)矩陣。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1. 子系統(tǒng)串聯(lián)子系統(tǒng)串聯(lián)子系統(tǒng)G1(s)和G2(s)串聯(lián)連接如圖1-7所示，前一個子系統(tǒng)的輸出是后一個

39、子系統(tǒng)的輸入。串聯(lián)后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣可推導(dǎo)如下： 111( )( )( )sssYGU22221211( )( )( )( )( )( )( )( )ssssssssYGUGYGGU所以串聯(lián)后等效傳遞函數(shù)為2211( )( )( )( )( )sssssyuYGGGU(1-31)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可見，兩個子系統(tǒng)串聯(lián)時，系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)陣等于兩個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的乘積。注意G2(s)G1(s)的相乘次序是不能隨意改變的，應(yīng)從輸出端依次向前排列。圖1-7 子系統(tǒng)串聯(lián)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2. 子系統(tǒng)并聯(lián)子系統(tǒng)并聯(lián)子系統(tǒng)G1(s)和G2(s)并聯(lián)連接如圖1-8所示。所謂并聯(lián)連

40、接，是指各子系統(tǒng)的輸入皆相同，輸出是各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，且各輸出的維數(shù)都一致。圖1-8 子系統(tǒng)并聯(lián)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述由圖1-8可知：111( )( )( )sssYGU222( )( )( )sssYGU121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )YYYGUGUGGUssssssssss所以并聯(lián)后等效傳遞函數(shù)為12( )( )( )( )( )sssssyuYGGGU(1-32) 可見，兩個子系統(tǒng)并聯(lián)時，系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)陣等于兩個并聯(lián)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之和。按矩陣加法，顯然應(yīng)要求傳遞函數(shù)陣G1(s)和G2(s)有完全相同的維數(shù)。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空

41、間描述3. 具有輸出反饋的閉環(huán)系統(tǒng)具有輸出反饋的閉環(huán)系統(tǒng)子系統(tǒng)G0(s)和H(s)構(gòu)成的反饋連接如圖1-9所示。圖1-9 子系統(tǒng)反饋第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述下面推導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)陣Gyu(s)。00( )( )( )( )( )( )( ) ( )ssssssssYGUFGUHY (1-33)整理得00( )( )( )( )( )sssssIGHYGU故100( )( )( )( )( )sssssYIGHGU所以并聯(lián)后等效傳遞函數(shù)為100( )( )( )( )ssssyuGIGHG (1-34)另外，由式(1-33)還可以作如下不同的整理，即100( )( )( )( )(

42、)sssssGIGHYU第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述即100( )( )( )( )( )sssssYGIHGU所以并聯(lián)后等效傳遞函數(shù)也可以寫為100( )( )( )( )ssssyuGGIHG(1-35)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，在反饋連接的組合系統(tǒng)中，I+G0(s)H(s)1或I+H(s)G0(s)1存在的條件是至關(guān)重要的。否則反饋系統(tǒng)對于某些輸入就沒有一個滿足式(1-34)或式(1-35)的輸出。就這個意義來說，反饋連接就變得無意義了。另外在使用式(1-34)或式(1-35)求傳遞函數(shù)時，切不可將矩陣相乘順序任意顛倒。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-13 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1-10所示，求該組合

43、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖1-10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：解：該系統(tǒng)可看做兩個子系統(tǒng)反饋連接。由圖可知，011( ),1211sssss G10( )01sH由式(1-34)可得100( )( )( )( )ssssyuGIGHG1110111121111sssssss 111sss 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述或者由式(1-35)可得1100111011( )( )( )( )121111111ssssssssssssss yuGGIHG第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述以上各節(jié)討論的系統(tǒng)均為連續(xù)系統(tǒng)，實(shí)際生產(chǎn)生活中還存在另一種變量定義在離

44、散時間上的系統(tǒng)，即離散系統(tǒng)。一般的計算機(jī)控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)多屬離散控制系統(tǒng)。本節(jié)討論線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程和脈沖傳遞函數(shù)矩陣。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.4.1 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為了方便起見，假定離散時間是等間隔的，采樣周期為T。用u(k)代表u(kT)，y(k)代表y(kT)，k=0，1，2，分別表示系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列。線性定常離散系統(tǒng)動態(tài)方程一般形式為(1-36) 1kkkkkkxGxBuyCxDu離散系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入輸出信號的關(guān)系，下面分兩種情況討論由差分方程建立狀態(tài)空間方程的方法。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1. 差分方程中

45、不含輸入量差分項(xiàng)差分方程中不含輸入量差分項(xiàng)12100()(1)(2)(1)( )( )ny knay kna y ka y ka y kb u k(1-37)依次選取y(k)，y(k+1)，y(k+2)，y(k+n1)為狀態(tài)變量，采用和1.1.3節(jié)線性連續(xù)系統(tǒng)相同的分析方法，可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(1-38) 1122110121012110100010010010001011000nnnnnnnx kx kxkxku kxkxkxkaaaaxkbx kxky kxkxk第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-14 將高階微分方程 (3)6 (2) 11 (1)6 ( )6 ( )y ky ky

46、 ky ku k變換為狀態(tài)空間方程。解：解： a0=6，a1=11，a2=6，b0=6，由式(1-38)可得112233123(1)010( )0(1)001( )0( )(1)6116( )6( )100( )( )x kx kx kx ku kx kx kx kyx kx k 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2. 差分方程中含有輸入信號的差分項(xiàng)差分方程中含有輸入信號的差分項(xiàng)12101210()(1)(2)(1)( )()(1)(2)(1)( )nnny knay kna y ka y ka y kb u knbu knb u kbu kb u k(1-39)同樣采用和1.1.3節(jié)線性系統(tǒng)相同

47、的分析方法，可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(1-40)1112221110121121(1)0100( )(1)0010( )( )(1)0001( )(1)( )( )( )( )1000( )nnnnnnnnnx kx kx kx ku kxkxkx kaaaax kx kx ky kxkx0( )( ) u kk第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述式中0，1，n同樣可由式(1-14)求取。例例1-15 已知高階微分方程(3)4 (2)3 (1)( )(3)2 (2)(1)3 ( )y ky ky ky ku ku ku ku k試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。解：解：由原式可知a0=1，a1=3，a2=4，b

48、0=3，b1=1，b2=2，b3=1，代入式(1-14)得012311000241001341031341 第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可解得012312616于是由公式(1-40)可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為112233123(1)010( )2(1)001( )6( )(1)134( )16( )( )100( )( )( )x kx kx kx ku kx kx kx ky kx ku kx k第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.4.2 脈沖傳遞函數(shù)矩陣脈沖傳遞函數(shù)矩陣對于描述線性定常離散系統(tǒng)的差分方程，通過 Z 變換，在系統(tǒng)初始松弛時，可求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。而當(dāng)給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程時，通

49、過Z變換也可以得到脈沖傳遞函數(shù)矩陣。將方程(1-36)進(jìn)行Z變換得 0( )zzzzzXxGXHU如果zIG1存在，則可求出狀態(tài)解 11( )0zzzzzXIGHUIGx(1-41)當(dāng)初始松弛時，有x(0)=0，代入式(1-41)有 1( )zzzXIGHU第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸出為 11( )( )( )( ) ( )zzzzzzzzYCXDUCIGHUDUCIGHD U定義系統(tǒng)輸出量對輸入向量的mr型脈沖傳遞函數(shù)矩陣為1( ) zzyuGCIGHD(1-42)例例1-16 已知線性定常離散系統(tǒng)方程為112212(1)( )010( )(1)( )0.40.31( )11( )

50、( )( )01 x kx ku kx kx kx ky ku kx k第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣。 解：解：由式(1-42)可知111110( )010.40.31zzzz yuGCIGH0.310.80.50.80.5110010.410.80.50.80.5zzzzzzzzzz 10.80.50.80.5zzzzzz第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.5 用用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和模型轉(zhuǎn)換進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和模型轉(zhuǎn)換MATLAB是美國MathWorks Inc.開發(fā)的一個用于科學(xué)和工程計算的大型綜合軟件，具有強(qiáng)大的數(shù)值計算和工程運(yùn)算功能，完美的圖形可視化數(shù)據(jù)處理能力，

51、標(biāo)準(zhǔn)的開放式可擴(kuò)充結(jié)構(gòu)，極多的工具箱。目前在工程和非工程領(lǐng)域的科研、教學(xué)和開發(fā)中已得到廣泛的應(yīng)用。對控制領(lǐng)域，MATLAB是應(yīng)用最廣的首選計算機(jī)工具。在本節(jié)中，將介紹在自動控制系統(tǒng)設(shè)計和分析中所用到的MATLAB的一些基礎(chǔ)知識。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.5.1 MATLAB簡介簡介1. 使用使用MATLAB的窗口環(huán)境的窗口環(huán)境MATLAB是一個高度集成的語言環(huán)境，在它的窗口環(huán)境中可以編寫、運(yùn)行并跟蹤調(diào)試程序。基本界面如圖1-11所示。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖1-11 MATLAB的窗口環(huán)境第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1) MATLAB命令窗口MATLAB安裝好之后，雙擊MAT

52、LAB圖標(biāo)，就可以進(jìn)入命令窗口，此時意味著系統(tǒng)處于準(zhǔn)備接受命令的狀態(tài)，可以在命令窗口中直接輸入命令語句。MATLAB的命令窗口是工作的主要窗口。MATLAB的菜單命令由File、Edit、View、Window、Help這幾組命令組成。通過菜單命令可以完成保存工作空間中變量，打開M文件編輯/調(diào)試器等操作。工具欄是MATLAB為用戶提供的常用命令的快捷方式。當(dāng)前路徑是MATLAB搜索命令和函數(shù)的路徑，可以通過當(dāng)前路徑瀏覽器來重新設(shè)置或改變當(dāng)前路徑。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2) MATLAB命令、函數(shù)和文件MATLAB的程序類型包括腳本文件和函數(shù)(function)文件，它們都是以“.m”為

53、擴(kuò)展名的文本文件。腳本文件是一些MATLAB的命令和函數(shù)的組合，類似DOS下的批處理文件。函數(shù)文件是有輸入輸出參數(shù)的M文件。函數(shù)接受輸入?yún)?shù)，然后執(zhí)行并輸出結(jié)果。用help命令可以顯示它的注釋說明。文件名必須與函數(shù)名一致。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述在MATLAB窗口中創(chuàng)建M文件，可以從File菜單中選擇New及Mfile項(xiàng)。這個過程打開一個文本編輯窗口用于輸入MATLAB命令。在其它平臺上也很容易打開一個獨(dú)立的終端窗口，選用用戶最熟悉的文本編輯器來生成M文件。M文件中的命令可訪問MATLAB工作空間中的所有變量，且M文件中的變量也成為工作空間的一部分。M文件執(zhí)行時，echo on 告訴MA

54、TLAB在其讀入和運(yùn)行時將命令顯示在窗口上，echo off 關(guān)閉前述功能。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3) MATLAB使用幫助MATLAB的命令和函數(shù)很多，容易遺忘。這時可以用help或lookfor加函數(shù)名的方式獲取幫助，也可以打開幫助窗口求助，另外還可以打開示例窗口學(xué)習(xí)。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2. MATLAB基本數(shù)學(xué)運(yùn)算基本數(shù)學(xué)運(yùn)算1) MATLAB的變量、表達(dá)式和運(yùn)算符MATLAB的變量不需要在使用前聲明，并且會自動給變量分配適當(dāng)?shù)膬?nèi)存。MATLAB的變量必須用字母開頭，由字母、數(shù)字和下劃線組成(字母區(qū)分大小寫)。MATLAB的表達(dá)式由運(yùn)算符、變量、函數(shù)和數(shù)字組成。格式形

55、式有兩種： 一種是在提示符后直接輸入表達(dá)式，運(yùn)算后的結(jié)果系統(tǒng)會自動地賦給變量ans，并顯示在屏幕上。ans是默認(rèn)的變量名，會在以后類似的操作中被覆蓋掉；另一種格式是變量表達(dá)式，等號右側(cè)計算后結(jié)果賦給等號左側(cè)的變量后放入內(nèi)存中并顯示在屏幕上。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述在運(yùn)算式中，MATLAB通常不需要考慮空格；多條命令可以放在一行中，它們之間需要用分號隔開。在表達(dá)式的末尾加上分號則表示禁止結(jié)果顯示。表達(dá)式在MATLAB中占了很重要的地位，幾乎所有操作都必須借助表達(dá)式來進(jìn)行。MATLAB的運(yùn)算符有三種類型： 算術(shù)運(yùn)算符、關(guān)系運(yùn)算符、邏輯運(yùn)算符。它們的處理順序依次為算術(shù)運(yùn)算符、關(guān)系運(yùn)算符、邏輯運(yùn)

56、算符。主要的算術(shù)運(yùn)算符有： (加法)、(減法)、(冪)、*(乘)、/(左除)、(右除)等；關(guān)系運(yùn)算符有： (大于)、=(大于等于)、=(等于)、= (不等于)等；邏輯運(yùn)算符有： &(與)、 |(或)、(非)。第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2) 矩陣的輸入MATLAB以矩陣為基本運(yùn)算單元。矩陣輸入時，整個矩陣以方括號 作為首尾，行和行之間必須以分號或Enter鍵分隔，每行中元素用逗號或空格分隔。例例1-17 輸入矩陣B = 1 2 3 4；5 6 7 8；9 10 11 12回車后得到： B= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121234567891011 12B第1章

57、控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.5.2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述1. 連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述 連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩種表示形式，即有理函數(shù)形式和零極點(diǎn)形式。1) 有理函數(shù)形式的傳遞函數(shù)模型表示式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a0不等于零，這時系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個向量唯一地確定出來，這兩個向量分別用num和den表示，當(dāng)然也可以用其它變量表示。nnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110)(第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述num=b0，b1，b2，bm1，bmden=a0，a1，a2，an1，an注意： 它們都是按s的降冪

58、進(jìn)行排列的。由函數(shù)tf(num，den)可輸入并顯示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。例例1-18 試用MATLAB輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù)32412)(232ssssssGnum=2 1 1；den=4 2 1 3； %輸入傳遞函數(shù)模型tf(num，den) 構(gòu)造出有理函數(shù)形式的傳遞對象用來檢驗(yàn)輸入是否正確輸出結(jié)果為 Transfer function: 2 s2 + s + 1 - 4 s3 + 2 s2 + s + 3第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2) 零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)模型表示可以采用下面的語句輸入： z=z1，z2，zmp=p1，p2，pnk=K 變量z、p、k分別是系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益向量。由函數(shù)z

59、pk(z，p，k)可輸入并顯示出零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)。)()()()()(2121nmpspspszszszsKsG第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例例1-19 試用MATLAB輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù))4)(3)(2() 1( 5)(sssssGp=2 3 4；k=5；z=-1； 輸入傳遞函數(shù)模型zpk(z，p，k) 用zpk( )函數(shù)可構(gòu)造出零極點(diǎn)形式的 %傳遞函數(shù)用來檢驗(yàn)輸入是否正確輸出結(jié)果為Zero/pole/gain: 5 (s+1) - (s+2) (s+3) (s+4)第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3) 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣多變量系統(tǒng)，只需要先輸入矩陣的各個子傳遞函數(shù)矩陣，再按照常規(guī)矩

60、陣的方式輸入整個傳遞函數(shù)矩陣。例例1-20 試用MATLAB輸入一個多變量傳遞函數(shù)矩陣2222143232( )1253232ssssG sssssss g11=tf(1，1 -3 2)； %輸入傳遞函數(shù)陣各個元素g12=tf(4，1 -3 2)；g21=tf(1 1，1 -3 2)；g22=tf(2 -5，1 -3 2)；G=g11，g12；g21 g22； %由各個元素構(gòu)成傳遞函數(shù)陣第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2. 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述對狀態(tài)方程xAxBuyCxDu在MATLAB中，用(A，B，C，D)矩陣組表示。由函數(shù)ss()可輸入并顯示出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。例例1-21 試用MATLAB輸