1、第二章一階微分方程的初等解法例 2-12-1 求(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0的通解。解解法1不定積分法。令M(x,y)=3x2+6xy2,N(x,y)=6x2y+4y3,則型=i2xy,里=12xy,所以該方程為恰當方程。y：:yUoo=M(x,y)=3x6xy,一x關(guān)于x積分，得U=x3+3x2y2+中(y),U=6xy+；(y)=N(x,y)=6xy4y,-:y：(y)-4y3,:(y)=y4,所以通解為U(x,y)=x3+3x2y2+y4=C。解法2公式法利用恰當方程求解方法3中公式得方程通積分為、x,_2_2、.y3_43_22-U(x,y)=0(3x+6xy

2、)dx+104ydy=y+x+3xy=C解法3分組法去括號重新分組可得-2,.322342222d(xy)3(ydxxdy)=0積分，得原方程的通解為x3+3x2y2+y4=C。評注：求解一個對稱形式方程的時候，首先應(yīng)當判定它是不是恰當方程，如果是，則就可以直接進行求解，否則求其積分因子將方程化為恰當方程來求解。實際應(yīng)用中，往往在判斷一個方程為恰當方程之后，并不需要嚴格按照解法1和解法2的常規(guī)方法求解，而可以米用分項組合的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項分出，再把剩下的項湊成全微分，這3xdx4ydy6xydx6xydy=0樣可以簡化運算量，因此需要熟悉以下二元函數(shù)的全微分公式:ydx-xd

3、y,/x、ydxxdy二d(xy),2-=d(-),yy22、一2+x+y)dx+xydy=0的通解。N=2y,里=2xy,所以該方程不是恰當方程。；x分組得3222_xdxxydy(xy)dx=01顯然前兩項具有積分因子-2-2, ,相應(yīng)的全微分為x122、xdxydy=-d(xy),要使得工(x2y2)x222x(xy)12/22x(xy)分組組合法降低了尋找積分因子的難度，這就要求大家熟悉常見的二元函數(shù)的全微分公式。xdy-ydx=d(2),xydx-xdyxyx二d(ln-),yyd.d(arctg),xyyydxZx_y2xyxdxydy2xy=1dln(x222、ydx-xdyy2

4、)2=d(lnx-yy2)。例 2-22-2 求方程（x31成立。只需取(x,y)=-22xy，-(x)=1r人即可，這樣就找到了一個積分因子x原方程兩邊同乘J評注：當一個方程不是恰當方程時,尋求積分因子便成了求解此類方程的一個有效途徑,例 2-32-3 求方程ydx+(y_x)dy=0的通解。二M二N解由于迫=1,空=1,所以原方程不是恰當方程。:y；x解法1可將原方程改寫為ydx-xdy=-ydy,.,、1或N(x,y)=丁,，但考慮到右端只與變量y有關(guān)，故取y1(x,y)=y為方程的積分因子，因此有ydx-xdy2y兩邊積分可得通解解法2也可將原方程改寫為dy二ydxx-y這是齊次方程。

5、令y=ux,即可進行求解。解法3將x看作未知函數(shù)，原方程可化為線性方程從而可就x進行求解。解法4.1左端有積分因子J(x,y)=2xdyy7lny=C,易見y=0也是原方程的解。dxdyx-1：MNy：:x由于 j只與y有關(guān)，所以存在關(guān)于y的積分因子ydx-xdydy-=0,x+lny|=C,另外，易見y=0也是原方程的解。評注：解法i體現(xiàn)了選取積分因子的一般原則，如果積分因子選取恰當，則解方程的難度就會降低；解法2運用了轉(zhuǎn)化的思想，將原方程化為可分離變量的方程；解法3體現(xiàn)了在求解常微分方程時，變量x和y具有同等重要的地位，有時侯將x看成y的函數(shù)，則方現(xiàn)里加2N程很容易就x求解；當判定辿一上只

6、與x有關(guān)或者a一絲只與y有關(guān)時，運用解N-M法4可以很方便地求出積分因子，但必須注意乘以積分因子R(x,y)可能出現(xiàn)使此積分因子為零的多余特解，同時應(yīng)該注意在對方程作同解變形時，會不會產(chǎn)生漏解的情況，如果漏掉則應(yīng)當補上，例如上例當中的y=0。例 2-42-4 證明方程M(x,y)dx十N(x,y)dy=0有形如 N N= =N N9(x,y)的積分因子的充要MN條件是(-)(N-M)工=fW(x,y),并求出這個積分因子。yexexcy證由定理 2.2,2.2,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有積分因子N(x,y)的充要條件是以J(x,y)為恰當方程，即,12)y1一m,二乘以方程兩

7、端，得到y(tǒng)1dxIdy-yy因而通解為-2|lny二e1令N=N9(x,y),則有二(FM-:y-颯).xd人、1d求解一階方程1 1d:得積分因子為NW(x,y)=efqx，y)dQ評注：此例對于探索積分因子極為有用。若令,則可分別獲得方程M(x,y)dxN(x,y)dy=0具有以下形式必要條件分別為NH=.M吆匚d:；:xd/二N.尸(x,y):x即N=出中(x,y)滿足下列微分方程1d,fM?NWKI-二(-)(Nd:jy；:x受；:x-M),二y件為上式右端應(yīng)為中(x,y)的函數(shù)，這就證明了N=巴中(x,y)為方程的積分因子的充要條(2My:N/f二)(N-M):x：:yfp(x,y)

8、。=f%,y),廣f(x-y),x產(chǎn)f(xy),-f(一),y(1=f(x2y2),然=f(xay)積分因子的充分:M_N_fy：:xN二M2MNy；:x二(xy),yN-xM=?(xy),2,：:MFN、y(一)二y二xyNxM=哈,y.:MFN:y改xN二yM三M_N_=cp(x2y2),/=中(N-一Mxyx?y-)o例 2-52-5 求方程x(4ydx+2xdy)+y3(3ydx+5xdy)=0的通解。_1一解對第一項，可以取出=，乘以M得xy4dx因此可取第一項的積分因子通式為容易看出，若取Kt)=t2,62(t)=t,則兩項的積分因子相等為中ix2y=工02x3y5)=x2yxy這

9、就是方程的積分因子。如果不易觀察到所需的1-)62a我們可以嘗試用下面方法?，F(xiàn)設(shè)中1(z)=z,2(z)=z,我們選擇%B使得12aa13B5Bxy=-4xyxyxy成立。2a-2=30-1、a1=504從而求得將所求積分因子乘原方程兩端得32,-4.=25.34,一Uxydx+2xydy)+(3xydx+5xydy)=0,即有(y2dx4+x4dy2(y5dx3+x3dy5)=0,故通解是x4y2+x3y5=C。同理第二項的積分因子通式為人紀僅)51xy因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是,、2代y)=xyo比較兩邊x,y的次數(shù)，得,評注：用分組法求積分因子的關(guān)鍵在于方程恰當分組和尋

10、求各組的共同積分因子。例 2-62-6 求下列方程的通解。1)(5xy-3y3)dx(3x2-7xy2)dy=02)(3xy3-2y)dx(x2y2x)dy=0解1)解法1設(shè)有積分因子k=xay,則(5x4y1-3xy_3)dx(3x2y-7x1y_2)dy=0為恰當方程，于是.:(5x:1y：1-3x：y：3)f(3x：2y：-7x、1y：2)=,.:y；:x5(P+1)x5yl3(P+3)xyX=3(a+2)xa+yP-7(a+1口力力比較系數(shù)可得3-5?=17a-3?=2解之得1 :1=,P=,2 211因此，積分因子為N(x,y)=x2y2。將所求積分因子乘以分組后方程5xydx3x2

11、dy)i3y3dx7xy2dy=05x2y2dx+3x2y2dy-3x2y2dx+7x2y2dyQ)l)即有3553y2dx2x2dy24一217337y2dx2x2dy2容易得出原方程的通積分是5337x2y2-x2y2=C。解法2方程各項重新組合為(5xydx+3x15dy)(3y67dx+7xy2dy)=0,5因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是接下來同解法1,略。5dx3dyr5+-=dlnxy同理第二個括號的積分因子的通式為A3xy現(xiàn)設(shè)Gdzz”,G2(z)=z,我們選擇%B使得15-.3-.13171xy=3xyxyxy成立。一&-2=3P-1比較兩邊x,y的次數(shù)，得，n,

12、3-1=7?-3對第一個括號，可以取陽隨得因此可取第一個括號的積分因子的通式為6i(x5*y33dx=d【nx3y】%(x3y7)。從而求得一一I,一、一，,1O因此可取第一個括號的積分因子通式為61(x3y)。xy同理第二個括號的積分因子通式為：2工。xy2x2現(xiàn)設(shè)Gi(z)=z,G2(z)=z,我們選擇%B使得3ai1_2(3Bxy=xyxy成立。/、xMx,y)=y將所求積分因子乘以分組后方程一3-22_.一3xydxxydyIt.2ydxxdy=0,23.2xx2“一(3xydx+xdy)+-dx+dy=0,容易得出通積分是23x322cxy-=C或xy-x=Cy。y評注：待定指數(shù)法提

13、供了當對稱形式方程的系數(shù)為多項式時求積分因子的一個一般性方法，具有一定的實用價值。如果通過比較指數(shù)法解不出a和P,或者和P得表達式比較比較兩邊x,y的次數(shù)，得3a-2=-2B-1a-3=0-1因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是即有(ydx3+x3dy)+-dx2ly+x2d-=0Iy從而求得復(fù)雜，這時可以考慮利用分組法來求積分因子。例2-7解方程(y+x3y+2x2)dx+(x+4xy4+8y3)dy=0。解方程各項重新組合為(ydx+xdy)+(x3ydx+4xy4dy)+(2x2dx+8y3dy)=0,dxyxyx2dx4y3dyL2dix-y43dxyxydx-y43+y4,v

14、=xy,上方程化為dvvdu2du=0,解之得解。評注：通過變量變換，降低了方程的求解難度，但是究竟采用怎樣的變換，一般而言,沒有規(guī)律可循。從此例中我們可以看到，有時可將方程變形，在這個過程中觀察其特點，尋找恰當?shù)淖儞Q。例 2-82-8 求解方程y=xylnx+(xy)2。解設(shè)dy=p,原方程寫為dx2y二xplnx(xp)兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到p=dpxlnx+plnx+p+2xp2+2px2dp,dxdx化簡后得到(lnx+2xp)(xdp+p)=0,dx由此可得lnxfdpp二/或xdT-plnx1o代入（1）,得原萬程的一個特解y=-一（lnx）；-2x4回代變量得原方程的通積分為x33

15、y4+3ln2+xy=3C,另外xy=-2也是方程的(1)dpC2由萬程x=-p,解得p=,代入(1),得到原方程的通解y=Clnx+C2。dxx評注：屬于第一類能解出y(或x)的方程，引進參數(shù)電=p,則原方程變?yōu)閐xy=f(x,p),兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到p的關(guān)系式。注意要全面考察這個關(guān)系式，有的已經(jīng)是p的直接表示式，對應(yīng)方程的奇解；而有的還須求解關(guān)于p的微分方程，對應(yīng)方程的通解。例 2-92-9 求解方程(y)2COS2y+ysinxC0sxeOSySinyCOS2x=0。解這是隱式方程的求解問題。令siny=u,sinx=v,則du=(cosy)dy,dv=(cosx)dx,y代入原方程，

16、得/2du、22、du.2(cosx)()(sinxcosx)sinycosdvdv整理得方程,du、2du-()+vu=0,dvdv,du、2duu二()vdvdv2這是關(guān)于u,v的克萊洛方程，其通解為u=c2+vc,奇解為u=-L。2.22Sinxsiny=c+csinx,siny=-。2評注：運用適當?shù)淖儞Q將方程轉(zhuǎn)化為可積類型或一些特殊方程，從而即可求解原方程,這就需要熟悉常見的可積方程，例如迫努利方程，黎卡提方程，雅可比方程等。例 2-102-10 求滿足下列關(guān)系式的函數(shù)y(x)。2x_cosxducosydv從而可得原方程的通解和奇解分別為1)y(x)=x20y(t)dtxx2)y(

17、t)dt(x-t)2ty(t)ty2(t)dt=x003)給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)得y(x)=2x+2y(x),則求解積分方程2xy(x)=x20y(t)dt就等價于求解初值問題V=2y+2x:y(0)=0解上面微分方程得其通解為y=e2xC+2jxLxdx,即2x1y=Ce-x-211滿足初始條件的解為y=1e2x-x-1222)給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)得x2y(x)+&2ty(t)+ty2(t)dt=1,對上方程兩端關(guān)于x再求導(dǎo)得y(x)+2xy(x)+xy2(x)=0。這樣，求解原積分方程xx0y(t)dt0(x-t)2ty(t)ty2(t)dt=x就等價于求解初值問題y，=-2xy-xy2、y

18、(0)=1方程y=-2xy-xy2是迫努利方程，兩端同除以-y2,變形為1c1-2y=2x十x,yy：(x)d0f(t)dtdx=f(x)d(x)dx和含參變量積分的求導(dǎo)公式ddx.3(x)和x)Ff(x,t)L(x)f(xdt=L(X)dt+f(x,B(x)B(x)-f(x,a(x)a(x)。例 2-112-11 設(shè)函數(shù)f(t)在0,+望)上連續(xù)，且滿足方程f(t);e4t，Ilf(-x2y2)dxdyx2y2?t22求f(t)。解顯然有f(0)=1。由于1：222二.2tr11f(1.Jxy)dxdy=d-f()rdr,尸2022tr二2二0f(5)rd，于是-4-t22trf(t)=e2二0f(/drJr2即y2o2Cex-12y二3ex-1評注：本題是一類積分方程的求解問題，通常是通過對方程關(guān)于x求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題。需要熟悉變上限函數(shù)的求導(dǎo)公式g(1)dxy2xxy2斛之得萬程y=-2xy