1、數(shù)學(理科)試題第I卷(選擇題共 50分)一、選擇題：本大題共 10小題，每題 5分，共50分。在每題給出的四個選題中，只 有一項為哪一項符合題目要求的.(5)在極坐標系中，點(2,?到圓2cos的圓心的距離為(A) 2(6 ) 一個空間幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為正(主視EI弟g題圖側左視圖(A)48(B) 328.17(C) 488 17(D)80(7 )命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)的否認(1 )設i是虛數(shù)單位，復數(shù)1 ai為純虛數(shù)，那么實數(shù) a為2 i(A)2(2)雙曲線2x2y2(B) -28的實軸長是(C)121(D)-2(A)2(B) 2 2(C) 4(D)

2、4.2(3 )設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0 時，f(x)2x2 x,那么 f(1)(A)-3(B)-1(C) 1(D)3(4)設變量x,y滿足|x|+|y| 1,y 1,證明 x yxy ;xy x y(n)設 10,知2ax 2ax 10在R上恒成立，因此4a2 4a 4aa 1 0，由此并結合a0,知0 a 1.17此題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算等根本知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力。I綜合法證明：設G是線段DA與線段EB延長線的交點，由于 0AB與厶0DE都是正三角形，所11以 0B/ 丄 DE

3、,OB=丄 DE ,OG=OD=222同理，設G是線段DA與線段FC延長線的交點，有 OG =OD=2又由于G和G都在線段DA的延長線上，所以 G與G重合。1 111在厶 GEDA GFD中，由OB/DE ,OB= DE 和 OC/ DF , OC= DF ,可知 B,C 分別是2 222GE和 GF的中點，所以BC是 GEF的中位線，故 BC/ EF.向量法過點F作FQL AD,交AD于點Q 連QE由平面 ABEDL平面ADFC知FQ丄平面ABED以Q為坐標原點，QE為x軸正向，QD為y軸正向，QF為z軸正向，建立如下圖空間直角坐標系。_;333:3由條件知 E( J3 , 0,0) , F

4、 ( 0,0 , J3 ), B (，-上,0), C( 0,-上,匸)。2 2 2 2那么有，BC (3,0,三),EF ( .3,0,3)。2 2所以 EF 2BC，即得 BC/ EF.(H)解：由OB=1 , OE=2 , / EOB=60 ,知Seob=山，而 OED是邊長為2的正三角形,2故Soed= -.3,所以3爲Sobed=Seob+Soed=。2過點F作FQ! AD交AD于點Q,由平面ABED丄平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐 F-OBEDAQ的高，且 FQ= 3，所以 Vf-obed = FQ Sobed=。3 2(18) 此題考查等比和等差數(shù)列，對數(shù)和指數(shù)的運算，兩角差的正

5、切公式等根本知識，考查靈活運用根本知識解決問題的能力，創(chuàng)新思維能力和運算求解能力。102(n 2)解：(I)設t,t2, ,tn 2構成等比數(shù)列，其中t 1,tn 2 100，那么Tnt1t 2tn 1 tn 2Tntn 2 t n 1t2 tiX并利用titn 3 i2t tn 210，(1 in 2)，得2nan IgTn n 2, n 1.(H)由題意和(I)中計算結果，知bntan(n 2) tan(n 3), n 1另一方面，利用tanl tan(k 1) k)tan(k 1) tan k1 tan(k 1) tank得tan(k 1) tank所以tan(k 1) tankta n

6、1nn 2Snbtan(k 1) tanki 1i 3n 2/tan(k 1) tank .( 1)i 3 tan1tan(n 3) tan3ta n1(19) 此題考查不等式的性質，對數(shù)函數(shù)的性質和對數(shù)換底公式等根本知識，考查代數(shù)式的xy(x y) 1 y x (xy)恒等變形和推理論證能力。證明：111(I)由于 x 1,y 1,所以 x y 一 - xyxy x y2將上式中的右式減左式，得2(y x (xy) ) (xy(x y) 1)(xy)1)(xy(xy) (xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy 1)(x 1)(y 1)既然 x 1,y 1,

7、所以(xy 1)(x1)(y 1)0,從而所要證明的不等式成立。(n)設logab x,logbc y，由對數(shù)的換底公式得logca,logb a xy-,logcbx,log a C xy y于是，所要證明的不等式即為1x yxy1 1xyx y其中 x logab 1,y logbc 1故由(i)立知所要證明的不等式成立。(20) 此題考查相互獨立事件的概率計算， 考查離散型隨機變量及其分布列、 均值等根本知 識，考查在復雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、 合情推理與演繹推理， 分類討論 思想，應用意識與創(chuàng)新意識。解: ( I)無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是 (1

8、 pj(1 p2)(1 p3),所以任務能被完成的概率與三個人被派出的先后順序無關，并等于1(1P1)(1P2)(1 P3)P1P2P3P1P2P1P3P2P3P1P2P3(n)當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為時，隨機變量 X的分布列Xi23Pqi(iqi )q?(iqi)(iq?)所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學期望)EX是EX=qi+(1 qjq2+(1 qi)(1 q?)=3 2qi q? qq(川)(方法一)由(n)的結論知，當甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時,EX= 3 2qi q?屁根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值。下面證明：對于 山卩

9、心的任意排列qi, q?,qa，都有3 2qiq?qiq?32pip? Pi p?(*)事實上,(3?qq?qiq?)(3? PiP?Pi P?)?(piqi)(p?q?)PiP?qiq?(piqi)(p?q?)(Piq)p? q(p? q?)(?p?)( piqj(iqi)( p2q?)(i q)(Pip?)(qq?)0即(*)成立。(方法二)(i)可將(n)中所求的 EX改寫為3 (qi q?) qq qi，假設交換前兩人的 派出順序，貝U變?yōu)?(qiq?)qq?q?。由此可見，當q?qi時，交換前兩人的派出順序可減少均值。(ii)也可將(n)中所求的 EX改寫為3 ?qi (i qi)q

10、?，假設交換后兩人的派出順序， 那么變?yōu)? ?qi (i qi)qi。由此可見，假設保持第一個派出的人選不變，當q? qi時，交換后兩人的派出順序也可減少均值。綜合(i) (ii)可知，當(pi, p?, P3)= (qi,q?,q3)時，EX到達最小。即完成任務概率大的 人優(yōu)先派出，可減少所需派出人員數(shù)目的均值，這一結論是符合常理的。(2i)此題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質與運算，動點的軌跡方程等基本知識，考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學素養(yǎng)。解：由QM MP知 Q,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設2 2P(x,y),Q(x,y o),M(x,x 2),那么 xy。(y x ),即yo(i)x2y再設B(xi, yi),由BQQA ,即xxi,yyi)(i x,iyo)，解得Xi(