1、傅氏變換與拉氏變換的關系2.1 兩種積分變換在求解廣義積分中的應用傅氏變換與拉氏變換都可以用來求解一些用普通方法難以求解的廣義積分，下面舉例說明：例1 求函數(shù)的傅里葉積分表達式。解：由（1-1）式有當時，傅里葉積分收斂于，根據(jù)以上的結(jié)果可以寫成即由此可以看出，用傅里葉積分表達式可以推證一些廣義積分的結(jié)果。本題中，取則有，這個就是著名的狄利克雷積分。同樣，拉普拉斯變換也可以用來求解狄利克雷積分。例2 求狄利克雷積分解：引進參變量，設，對其求拉普拉斯變換并交換積分次序，得由附錄的積分表可知，則即，取，則有這與（例1）中的結(jié)果是完全相同的。例3 求歐拉-泊松積分分析：該積分的積分區(qū)間是，用拉普拉斯積

2、分變換求解會更加便利解：由達朗貝爾判別法可知歐拉-泊松積分收斂。引進參變量，使其成為的函數(shù)，設。對取拉氏變換并交換積分次序的，得因為，所以取，則有:由以上幾個例子可以看出，兩種變換都可以用來求解廣義積分，和普通方法相比該方法簡單明了，具有很大的優(yōu)越性。2.2 兩種積分變換在求解積分、微分方程中的應用例4 求解積分方程其中都是已知的函數(shù)，且、和的傅里葉變換都存在。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是，故首先應考慮用傅里葉積分變換法求解。積分項內(nèi)是函數(shù)與的卷積，對方程兩邊取傅氏變換，利用卷積性質(zhì)便可以很方便的求解該問題。解：設由卷積定義可知。因此對原積分方程兩邊取傅里葉變換，可得因此有:由傅里葉逆變換求

3、得原積分方程的解為:同樣，應用拉普拉斯變換的卷積性質(zhì)也可以用來求解積分方程。例5 求積分方程:的解。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是，考慮到拉氏變換卷積性質(zhì)中函數(shù)的積分區(qū)間是，故對原方程兩邊取拉普拉斯變換，應用相應的卷積性質(zhì)便可求出該積分方程的解。解：設，則有，。對原方程兩邊取拉普拉斯變換，由卷積定理得:整理得:取其逆變換可得:，此即原積分方程的解。2.3 兩種積分變換在求解偏微分方程中的應用利用傅里葉變換和拉普拉斯變換可以用來求解偏微分方程，下面以數(shù)學物理方法課程中常常碰到的幾種方程進行舉例說明。例6 求解無界弦的自由振動分析：對于無界區(qū)域的定解問題，傅里葉變換是一種普遍使用的求解方法。本題中

4、由于弦的區(qū)域是，可以用分離變量發(fā)進行求解，也可以用傅里葉變換發(fā)進行求解。解：對于將時間t看作參數(shù)，對進行積分，求其傅氏變換并應用傅里葉變換的性質(zhì)得到另設，對原定解問題作傅里葉變換得到方程的通解為:，將初始條件代入可求得:即再對作傅里葉逆變換，應用傅里葉變換的性質(zhì)可得方程的解為這正是數(shù)學物理方法課程用行波法求解無界弦運動的達朗貝爾公式。對于半無界弦的振動，一般來說用拉普拉斯變換法求解往往比較方便，下面舉例說明：例6利用傅里葉變換求解上半平面無源靜電場內(nèi)電勢的定解問題分析：本題中的偏微分方程稱為二維拉普拉斯方程，它是用來描述穩(wěn)恒過程的，函數(shù)與時間無關。由于的變化范圍是，故應該考慮用傅氏變換進行求解

5、。解：對方程和邊界條件關于取傅氏變換，記這樣就把求解原定解問題轉(zhuǎn)化為求解含有參數(shù)的常微分方程的邊值問題此二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解為代入邊界條件有，由得，因此。故邊值問題的解為再對上式兩端取傅里葉逆變換，借助于傅里葉積分公式，可知。再利用傅里葉變換的卷積性質(zhì)，可得原定解問題的解為由以上幾個例題可以看出，傅里葉變換與拉普拉斯變換都可以用來求解偏微分方程，由于在求解偏微分方程時兩者都可以將方程化為某個變量的代數(shù)方程，使得問題得以簡化，故兩種積分變換法在求解偏微分方程時有著重大的意義。3 總結(jié)本文以上內(nèi)容舉例分析了傅里葉變換與拉普拉斯變換在解決問題中的應用，兩種變換存在許多相似的地方，也存在一些

6、不同的地方。從（1.2）中我們可以看出，用傅里葉變換在求解問題時，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在內(nèi)滿足絕對可積（）這個條件。該條件的限制是非常強的，以致于常見的函數(shù)，如常數(shù)、多項式以及三角函數(shù)等，都不能滿足這個條件。我們按如下方式對傅氏變換進行改造：對于任何函數(shù)，我們假定在時，聯(lián)想到指數(shù)衰減函數(shù)所具有的特點，那么，只要足夠的大，函數(shù)的傅氏變換就有可能存在，即根據(jù)傅氏逆變換得到記 并注意到 于是便可得到以上兩式便是（2.2）中的拉普拉斯變換及其逆變換。由此可以看出，拉氏變換可以看成是一種特殊的傅里葉變換。傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，如文中所述，都能夠在解決廣義積分、微分積分方程、偏微分方程、電路

7、理論等問題中得到應用。但是兩者之間也存在著差異。 從另一個角度講，傅氏變換與拉氏變換相對于兩種不同的積分變換。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)，乘上一個確定的二元函數(shù)，然后計算積分，即這樣，便變成了另一個函數(shù)類B中的函數(shù)，其中的積分域是確定的。稱為的像函數(shù)，稱為的像原函數(shù)；是和的已知函數(shù)，稱為積分變換的核，的不同形式?jīng)Q定著變換的不同名稱。下面我們列表說明兩者的不同：積分變換名稱積分域積分核定義公式逆變換公式傅里葉變換拉普拉斯變換兩者之間的差異首先表現(xiàn)在積分域上，積分域的不同限制了拉氏變換在某些問題中的應用，在處理問題時首先應考慮到這一點。兩者之間的差異在信號處理中的表現(xiàn)得尤為顯著：傅里葉變換將時域函數(shù)變換為頻域函數(shù)，時域中的變量和頻域中的變量都是實數(shù)且有明確的物理意義；而拉普拉斯變換則是將時域函數(shù)變換為復頻域函數(shù)。這時，時域變量雖是實數(shù)，但卻是復數(shù)；與相