1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則一、高階導(dǎo)數(shù)的概念 2.3 高階導(dǎo)數(shù)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：變速直線運動引例：變速直線運動山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂定義定義.若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二

2、階導(dǎo)數(shù) , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂證明 因為22212222xxxxxxy所以y 3y10 y(y) f (x)f (x) )(22dxdydxddxyd 22222222)1 (2xxxxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 證明證明 例例1 22212222xxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 證明 函數(shù)22xxy滿足關(guān)系

3、式013 yy 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂設(shè)( )fx存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22.d ydx解解:（1）dydx例例2.（1）();xyf e（2）( ).f xye()xxf e e()()xxf ee22d ydx()()()xxxxf eef ee()()()xxxxxfeeef e e2()()xxxxfe ef e e（2）dydx( )( )f xefx22d ydx( )2( )( )( )f xf xefxefx山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(

4、nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例3.考慮考慮: 設(shè)設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂nx)1 ( ,3xaeay 例例4. 設(shè)設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例5. 設(shè)設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例6. 設(shè)設(shè),sinxy 求.)(ny解解: x

5、ycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例7. 設(shè)設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0

6、 x,12x階數(shù)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 那么)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立 .山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高

7、等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例8. ,22xexy 求.)20(y解解: 設(shè)設(shè),22xveux那么xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例9. 如何求下列函數(shù)的如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 2312xxy(3)1121xx1(2)(1)xx解:(1)(2)(2)(1)xxxx( )1111(