1、xyAa0BCby=f (x) 第三章 1. 理解羅爾定理,拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論,了解柯西中值定理.2. 熟練掌握洛必塔法則,理解洛必塔法則應(yīng)用的條件,并能熟練地用洛必塔法則求各種未定型極限.3. 掌握用導(dǎo)數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)增 (減) 區(qū)間的方法.4. 理解函數(shù)極值的概念,能熟練地求出函數(shù)的極值點和極值.5. 能用導(dǎo)數(shù)研究曲線的凹向區(qū)間和拐點.6. 了解函數(shù)作圖的方法和步驟,會描繪簡單函數(shù)的圖形.7. 理解函數(shù)最大值和最小值的概念,會求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值.一、羅爾（一、羅爾（ Rolle定理定理.羅爾定理: 若函數(shù) f (x) 滿足:(1) f (x) 在 a, b上

2、連續(xù);(2) f (x)在( a, b )內(nèi)可導(dǎo);(3) f (a)=f (b)則在( a, b )內(nèi)至少有一點 , 使得 f .第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理圖3-1-1bACBax0y幾何意義:若在兩端點高度相同的連續(xù)曲線弧上,除端點外處處具有不垂直于 x 軸的切線,那么在這曲線弧內(nèi)部至少有一點, 在該點處具有水平切線. 由 f (x) 在 a, b上連續(xù),那么 f (x) 在 a, b 上必取得最大值 M 和最小值 m(顯然 m M).(1) 假設(shè) mM ,由 f (a)=f (b) ,那么 M 與 m 中至少有一個不是端點的函數(shù)值,不妨設(shè) M f (a),所以, ( a, b ) ,

3、使 f ( )=M,下面證明, f .證明：證明：由 f (x) 在 ( a, b )內(nèi)可導(dǎo)知 f 存在.而 f xfxfx) ()(lim0 0f + xfxfx lim0 0由于 f 存在,所以, f ( f + 0即 f .(2) 特別 m=M, 這時 f (x)=M對于x a, b ,都有 f x因而,可以取 a, b 內(nèi)任意一點作為有 f .在區(qū)間例例1. 驗證羅爾定理驗證羅爾定理對對xxfsinln)(上的正確性.65,6解解: 因為因為xxfsinln)(在65,6上連續(xù),)65,6(在內(nèi)可導(dǎo),21)65( 6 ln)(ff且由羅爾定理知,至少存在一點,65,6)(使得 f xx

4、xsincos0cot事實上,65,6 2)( 確有 . 0cot f使注：羅爾定理可作為注：羅爾定理可作為 f 的根的存在性的根的存在性定理定理.例例2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) = (x1)(x2)(x3),不求導(dǎo)數(shù)不求導(dǎo)數(shù),試判試判 斷方程斷方程 f x 有幾有幾個實根個實根,它們分別在何區(qū)間它們分別在何區(qū)間?解解: f (x)在在1, 2上連續(xù)上連續(xù), 在(1, 2)上可導(dǎo),且 f (1)= f (2);由羅爾定理: 1 , 使 f (1;同理, 2, ,注意到 f (x)=0為二次方程,使 f (2;它至多有兩個實根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部實根.f (x)滿足條件(2

5、), (3),但不滿足條件(1),在(0, 1)內(nèi),21)( xf例如例如: (i) y=f (x)=121x1 , x = 1, x0, 1)圖3-1-2 xy011231 , 1 |)(xxxfyf (x)在-1, 1上,滿足條件(1),(3),但不滿足條件(2),當(dāng) x 時,f (x)= 1.x 時,f (x)= 1.x=0時,f (0)不存在.(ii)0 xy111圖3-1-3y = |x|(iii) y=f (x)=x, x1, 2,f (x)在1, 2上滿足條件(1), (2),但不滿足條件(3),在(1, 2)內(nèi), f (x)=1.02112xy圖3-1-4y=x二二. 拉格朗日

6、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理中值定理.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函數(shù) f (x)滿足(1) f (x) 在 a, b 上連續(xù);(2) f (x) 在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo).則在 (a, b) 內(nèi)至少有一點 ,使等式 f (b)f (a)=f ( )(ba). (1)成立.圖3-1-5xyAa0BCbabafbff)()()(幾何意義:若連續(xù)曲線弧 AB上,平行于弦 AB.除端點外,處處具有不垂直于 x 軸的切線,那末在這曲線弧內(nèi)至少有一點,在該點處的切線證證: 令令 (x)= f (x)L(x)( )()()()(axabafbfafxf顯然: (x)在 a, b 上連續(xù),

7、在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo),且 a b,由羅爾定理, a, b,使 ( ) .而 (x),)()()(abafbfxf所以 ( )abafbff)()() (=0由此得 f ( ).)()(abafbf即 f (b)f (a)=f ( )(ba).注注:(1)式也可寫成:abafbff)()() (2)或 f (a)f (b)= f ( ) (ab). (3)假設(shè) f (x)在 a, b上滿足拉格朗日中值定理條件,對于 a, b 上任意兩點 x, x+x,在 x, x+x (或 x+x, x ) 上, 公式(1) 也成立.y=f (x+x) f (x) =f ( ) x . 其中 (x, x+x)

8、 或 (x+x, x) 記 =x+ x (其中0 1) 有限增量公式:y= f ( x+ x ) x (4)比較比較 :f (x)在 x 處于可微：ydy=f (x)x要求:| x |很小，且f (x)0f (x)在 a, b 上滿足拉格朗日定理條件：y= f ( x+ x )x要求: x有限.如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上導(dǎo)數(shù)恒為零,那末 f (x)在區(qū)間 I 上是一個常數(shù).定理定理:(即 f (x)C, xIf (x) xI.)證明證明: 在區(qū)間在區(qū)間 I 上任取兩點上任取兩點 x1, x2, 不妨設(shè) x1 x2,那么 f (x)在x1, x2上滿足拉格朗日定理條件.有 f (x2)

9、 f (x1)=f ( )( x2x1). ( x1 b0 n1.證明證明:令 f (x)= x n顯然 f (x) 在 b, a上滿足拉格朗日定理條件, 證明: nbn1(ab) an bn nan1(a b)有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a)即 an bn = n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b) 即 nbn1(ab) an bn 0 時時,)1ln(1xxx1ln x證明證明: 令令 f (x)=ln(1+x)顯然 f (x) 在 0, x 上滿足拉格朗日定理條件,xxf11)(

10、且有 f (x)f (0)= f ( )(x0) (0 x)xx111ln)1ln( 即又 11+ 1+ x11111x所以xxxx11xxxx)1ln(1即三三. 柯西柯西 ( Cauchy) 中值定理中值定理.若圖 中的曲線弧 AB 由參數(shù)方程)( )()(btatfytFx表示,其中 t 為參數(shù),那末,曲線上點( x , y )處的切線的斜率為)()(tFtfdxdy弦 AB 的斜率為)()()()(aFbFafbf圖3-1-5xyAF(a)0BCF(b)所以),( ) () ()()()()(baFfaFbFafbf柯西中值定理柯西中值定理:若函數(shù) f (x) 及 F (x)滿足:(1

11、) f (x) 及 F (x) 在 a, b上連續(xù); (2) f (x) 及 F (x) 在 (a, b) 可導(dǎo); (3) F (x) 0 x(a, b).則在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點 ,使等式) () ()()()()(FfaFbFafbf(5)成立.證證: F (b) F (a) = F (1) (b a) 0 (a 1 X時, f (x)與F (x)都存在,且F (x)0 .0)(lim)(limxFxfxx)()(limxFxfx那末)()(limxFxfx)()(limxFxfx例例4: 求求=1解解: xxx1arctan2limxxx1arctan2lim22111limx

12、xx221limxxx二二.型型 未定型未定型.定理定理3：(洛必塔法則洛必塔法則) 假如假如(1) (2) 在x0的某一去心鄰域內(nèi) (或|x|X時) , f (x)與F (x)都存在,且F (x)0 )(lim)(lim)()(00 xFxfxxxxxx(3) 存在, (或為)()(lim)(0 xFxfxxx)()(lim)()(lim)()(00 xFxfxFxfxxxxxx那么例例5: 求求. 0) ,( lim 為正整數(shù)nexxnx lim xnxex lim 1xnxexn ) 1(lim 22xnxexnn= 2 ) 1(lim 1 -nxxexnn !lim nxxen= 0解

13、解: 三、其它未定型三、其它未定型 .1. 0 . 型, 型.例例6: 求求 . )0( lnlim0nxnxx101limnxx-nx01lim0nxxn lnlim0 xnxx lnlim0nxxx)(0型).(型解解: 例例7: 求求 . )tan(seclim2xx-x)tan(seclim2xx-x cossin1lim2xx-x).00( 型)-(型 sincoslim2xxx0 10解解: 2. 00型, 1 型, 0型 未定型. 將冪指函數(shù)f (x)g(x) 取對數(shù), 化成乘積形式:ln f (x)g(x)=g(x)ln f (x)例例8: 求求xxxlim0(00型)設(shè)y=x

14、x 那么 lny=xlnx .xxyxxlnlimlnlim00(0型)xxx1lnlim0).(型2011limxxx)(lim0 xx= 0解法一解法一:又 y=eln y所以 .yxlim0yxeln0limyxelnlim0=e0=1解法二解法二. xxxxxexln00limlimxxxelnlim0 xxxe1ln lim02011 limxxxe= e0 = 1例例9: 求求210)(coslimxxx(1型)解法一解法一: 21)(cosxxxxecosln12xxxcosln1lim 20( 0型)20coslnlimxxx).00( 型xxxx2)sin(cos1lim0

15、xxxxsincos21lim021所以: 210)(coslimxxxxxxecosln1lim2021 e解法二解法二: 210)(coslimxxx(1型)21cos1cos10) 1(cos1limxxxxx211coslim 20 xxx而21210)(coslim exxx故例例10: 求求xxx)1(lnlim0( 0型)1ln(ln)1(lnxxxex)1ln(lnlim0 xxxxxx1)1ln(lnlim0(0型).(型解解: 2201)1(111ln1limxxxxxxxx10)1(lnlim= 0 xxx)1(lnlim0 )1ln(ln0limxxxe)1ln(lnl

16、im0 xxxe=e0 = 1所以例例11: 求求xxxx30sinarcsinlim).00( 型解解: 當(dāng)當(dāng) x0時時. x-arcsinxx-arcsinxsin3x x3xxxx30sinarcsinlim30arcsinlimxxxx).00( 型2203111limxxx222011131limxxxx2202011lim131limxxxxx).00( 型xxxx2)2()1 (21lim31212020121lim31xx61例例12: 求求xxxxsinlimxxxxsinlim )sin1 (limxxxxxxsin1lim1= 1解解: )sin(lim .xxxx但是1

17、cos1limxx不存在(且不為)sin( limsinlim .xxxxxxxx這時注: 當(dāng)不存在且不為時,不能用洛必塔法則. )( )( limxFxfx例例13: 求求)( lim 型xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeee11lim )11 ()11 (lim22xxxxxeeeexxxee221111lim111解解: 但是 )()(limxxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeeelim).(型第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式1. 若f (x)在x0可微,則在x0附近.)()()()(1000 xPxxxfxfxf(1)且 (1)()(001xfx

18、P)()()2(001xfxP)(o )()(011xxxPxfR誤差0 xyy=p2(x) y=f (x)y=p1(x)x0M2. 考慮2020102)()()()(xxaxxaaxPxf).()()2(002xfxP).()()3(002xfxP 220212! 2)(),(2)(axPxxaaxP 而!2)(),(),(020100 xfaxfaxfa 得2000002)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxP 故：(2)(o)()()(2022xxxPxfxR誤差).()() 1 (002xfxP且nnnxxaxxaxxaaxPxf)(.)()()()(0202010且：)()

19、(00 xfxPn.)()(0)(0)(xfxPnnn)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn .!)(,.,! 2)( ),( ),( 0)(020100nxfaxfaxfaxfann 解得nnnxxnxfxxxfxxxfxfP)(!)(. )(! 2)()()(00)(200000 (3)(o)( 0nnxxxR誤差泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù)f (x)在含有在含有x0的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具內(nèi)具有直到有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù),則當(dāng)則當(dāng)x在在(a,b)內(nèi)時內(nèi)時,f(x)可以表可以表示成示成(xx0)的一個的一個n次多項式與一個余項

20、次多項式與一個余項Rn(x)之之和和.200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(.00)(xRxxnxfnnn10)1()()!1()()(nnnxxnfxR這里在x0與x之間.其中(4)證明：證明：)()(xPxfRnn記10)1()()!1()()(nnnxxnfxR只需證(在x0與x之間)由假設(shè)Rn(x)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù),0)(.)()(0)(00 xRxRxRnnnn且10010010)()()()()()(nnnnnnxxxxxRxRxxxR)( )() 1()(01011之間與在xxxnRnn)()(1()()(000101nnnnxxx

21、nxRR)( )() 1()(0121022之間與在xxnnRnn = )()(2) 1()()(0000)()(xxxnnxRRnnnnnn)( )!1()(0)1(之間與在xxnRnn10)1()()!1()()( nnnnxxnRxR所以)()( )()()( )1()1(xfxRxPxfxRnnnnn注意到10)1()()!1()()( nnnxxnfxR故注注1：公式：公式200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxPn nnxxnxf）00)(!)(.稱為f (x)按xx0的冪展開的n次近似多項式.200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )(

22、)(!)(.00)(xRxxnxfnnn稱為f (x)按xx0的冪展開的n階泰勒公式.其中:若對于某個固定的n,當(dāng)x在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)變動時，;| )(|1Mxfn那么，101)()!1()(|)(|nnnxxnfxR10|)!1(nxxnM0)()(lim00nnxxxxxR及)(o)(0nnxxxR稱為皮亞諾型余項. )()!1()()(10)1(nnnxxnfxR) 10( )()!1()(1000)1(nnxxnxxxf稱為拉格朗日型余項.)( 0之間與在xx注2:注注3：當(dāng)：當(dāng)n=0時時,泰勒公式即為拉格朗日中值定理泰勒公式即為拉格朗日中值定理.)( )()()(000之間與

23、在xxxxfxfxf泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.注注4：當(dāng)：當(dāng)x0=0時時) 10( x麥克勞林(Maclaurin)公式:1)1()(2)!1()(!)0(. !2)0()0()0()( nnnnxnxfxnfxfxffxf)(!)0(.! 2)0()0()0(0)(2nnnxxnfxfxff 例例1. 寫出寫出f (x)=ex的的n階麥克勞林公式階麥克勞林公式.解：解：xnexfxfxfxf )(.)()()()1(由1)0(.)0()0()0(0)( effffn得所以1 2)!1(!1.! 21! 111nxnxxnexnxxe!.! 212nxxxenx) 10( |)!1

24、()!1()(1|1 nxnxnxnexnexR誤差當(dāng) x=1時!1.!2111ne)!1(3)!1(|nneRn誤差當(dāng)n=10時,7182181.2e61010!113|R誤差例例2. 求求f (x)=sinx展開到展開到n階的麥克勞林公階的麥克勞林公式式解：因為解：因為).2sin()0();2sin()()()(nfnxxfnn, 0)0( , 1)0( , 0)0(fff所以,.,0)0(, 1)0( )4(ffmmmRmxxxxxx212)1(753)!12() 1(.! 7! 5! 3sinxx sin|! 3)sin(|3232xxR誤差所以m=1,) 10(! 3|3x! 3sin3xxx|!5)25sin(|54xxR誤差) 10(! 5|5x!5!3sin53xxxx|!7)27sin(|76xxR誤差) 10(! 7|7xm=2m=3oyxy = x! 5! 353xxxyy =sin x!33xxy常用函數(shù)的麥克勞林展式常用函數(shù)的麥克勞林展式1. f (x)=cosx)2cos()()(nxxfn由)2cos()0()(nfn則kkxkxxxx2642)!2() 1(.! 6! 4!