1、2022-2-121/23有限元法基礎(chǔ)及有限差分法有限差分法基礎(chǔ)有限元法有限差分法有限差分法2022-2-122/162有限元法基礎(chǔ)n有限元發(fā)展過(guò)程n有限元應(yīng)用n有限元發(fā)展方向;2022-2-123/162有限元法的基本思想n基本思想 1）將連續(xù)的求解系統(tǒng)離散為一組由節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)在一起的單元組合體 2）在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來(lái)分片表示系統(tǒng)的求解場(chǎng)函數(shù) ;2022-2-124/162有限元法的基本思想;2022-2-125/162有限元法的基本思想;2022-2-126/162有限元法的基本思想;2022-2-127/162有限元法的基本思想;2022-2-128/162有限元法的基本思想n離散

2、為單元網(wǎng)格的沖壓件仍然要保證是一個(gè)連續(xù)體，單元與單元之間沒(méi)有裂縫、不能重疊，所有單元通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)著n板料無(wú)論產(chǎn)生多大的塑性變形，單元與單元之間依然不會(huì)產(chǎn)生裂縫、交叉和重疊，關(guān)聯(lián)單元的節(jié)點(diǎn)也不能脫開(kāi);2022-2-129/162有限元法的基本思想n不合格單元 單元裂縫單元裂縫單元重疊單元重疊;2022-2-1210/162有限元法的基本思想n變形前后單元之間都是連續(xù)的變形前的網(wǎng)格變形前的網(wǎng)格變形后的網(wǎng)格變形后的網(wǎng)格;2022-2-1211/162有限元法的基本思想n基本思想n通過(guò)在單元內(nèi)假設(shè)不同的插值函數(shù)，建立不同的單元模型，適應(yīng)各種各樣的變形模式和受力模式XFXF;2022-2-121

3、2/162有限元法的基本思想n有限元法分類 1）位移法：基于最小勢(shì)能原理或虛功原理 2）力法： 基于最小余能原理 3）雜交法：基于修正余能原理 4）混合法：基于Reissner變分原理 ;2022-2-1213/162有限元法的基本思想n位移法基本過(guò)程 1）離散化過(guò)程 3）約束處理過(guò)程 2）單元平衡方程組裝過(guò)程 5）應(yīng)變、應(yīng)力回代過(guò)程 4）方程組求解過(guò)程 ;2022-2-1214/162離散化過(guò)程n最小勢(shì)能原理 P V A G 彈性體 彈性體的勢(shì)能peipWW 為彈性體變形后所具有的內(nèi)能 iW為彈性體所受的外力功 eWdVVT21VAdVdAGuPuTT;2022-2-1215/162離散化過(guò)

4、程 為彈性體的應(yīng)變 為彈性體的應(yīng)力 u為彈性體的可容位移 彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，其勢(shì)能應(yīng)為最小 P0TTTVAVdVdAdVGuPu0;2022-2-1216/162離散化過(guò)程n單元插值關(guān)系 eNuu n單元幾何關(guān)系 n單元本構(gòu)關(guān)系 Lu DeN為單元形函數(shù)矩陣 L為單元幾何微分算子 為單元彈性矩陣 eD0TTTvavPdvdadvGuPu0)()()(TTTTTTvevaeeeedvdadvGNuPNuuBDBu0TTTvvaeedvdadvGNPNuBDBeu單元節(jié)點(diǎn)自由度向量;2022-2-1217/162離散化過(guò)程0)()()(TTTTTTvevaeeeedvdadvGNuPNuuBD

5、Bu0TTTvvaeedvdadvGNPNuBDB0TTTvavPdvdadvGuPuB 稱為應(yīng)變矩陣 LNB fku e單元平衡方程或單元?jiǎng)偠确匠?k 稱為單元?jiǎng)偠染仃?vedvBDBkT f 稱為單元載荷向量 vadvdaGNPNfTT;2022-2-1218/162單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦?n對(duì)稱性 n奇異性 n主元恒正且對(duì)角占優(yōu) 離散化過(guò)程;2022-2-1219/162線彈性問(wèn)題幾何方程三維問(wèn)題 Luwvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000三維問(wèn)題Lu ;2022-2-1220/162Luwvuxzyzxyzyxzuxwywzv

6、xvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000線彈性問(wèn)題幾何方程二維問(wèn)題 Luvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx00二維問(wèn)題平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài) ;2022-2-1221/162線彈性問(wèn)題幾何方程二維問(wèn)題 二維問(wèn)題軸對(duì)稱狀態(tài) Luwurzzrrrwzuzwrururzzzrr0010Luwvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000;2022-2-1222/162線彈性問(wèn)題幾何方程一維問(wèn)題 一維問(wèn)題 LuuxxuxxLuvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx00;2022-2-1223/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程三

7、維問(wèn)題 三維問(wèn)題De221000000221000000221000000100010001)21)(1 (EeDE為彈性模量；為泊松比 ;2022-2-1224/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程平面應(yīng)力 二維問(wèn)題平面應(yīng)力狀態(tài) 00yzxz000yzxzzzzxyzxyzzyyxx000 xyyyxxxyyyxxzxyzxyzzyyxxxyzzyyxx;2022-2-1225/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程平面應(yīng)力 zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxxD2100010112EeDxyyyxxxyyyxxE2100010112平面應(yīng)力狀態(tài) 00000 xyzzyyxxexyyyxxD;2022-

8、2-1226/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程平面應(yīng)變 二維問(wèn)題平面應(yīng)變狀態(tài) 000yzxzzz00yzxzzxyzxyzzyyxx00 xyzzyyxxxyzzyyxxzxyzxyzzyyxxxyyyxx;2022-2-1227/16200000 xyyyxxexyzzyyxxD線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程平面應(yīng)變 zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxxDxyyyxxxyyyxxE221000101)21)(1 (平面應(yīng)變狀態(tài) 221000101)21)(1 (EeD;2022-2-1228/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程軸對(duì)稱 二維問(wèn)題軸對(duì)稱狀態(tài) 00yzxz00yzxzzxyzxyzzyyxx00

9、xyzzyyxxxyzzyyxxzxyzxyzzyyxxxyzzyyxx;2022-2-1229/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程軸對(duì)稱 二維問(wèn)題軸對(duì)稱狀態(tài) 00zr00zrzrzrzzrrzrzzrr00zrzzrrzrzrzzrrzrzzrr;2022-2-1230/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程軸對(duì)稱 軸對(duì)稱狀態(tài) zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxxDzrzrzzrrezrzrzzrrDzrzzrrezrzzrr0000D221000010101)21)(1 (EeDzrzzrrzrzzrrE221000010101)21)(1 (;2022-2-1231/162線彈性問(wèn)題本構(gòu)方程一維問(wèn)

10、題 一維問(wèn)題xxxxEEeD;2022-2-1232/162常用單元模型 n單元模型插值關(guān)系一一對(duì)應(yīng)n單元類型一維單元、二維單元、三維單元等參單元、超參單元、次參單元;2022-2-1233/162常用單元模型n一維單元 2節(jié)點(diǎn)線單元 1 2 1 2 3 1 2 3節(jié)點(diǎn)線單元梁?jiǎn)卧?2022-2-1234/162常用單元模型n二維單元3節(jié)點(diǎn)三角形線性單元 1 2 3 6節(jié)點(diǎn)三角形二次單元 1 2 3 5 6 4 ;2022-2-1235/162常用單元模型n二維單元10節(jié)點(diǎn)三角形三次單元 10 1 2 3 6 9 4 5 7 8 4節(jié)點(diǎn)四邊形雙線性單元 1 2 3 4 ;2022-2-1236

11、/162常用單元模型n二維單元8節(jié)點(diǎn)四邊形二次單元12節(jié)點(diǎn)四邊形三次單元 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 1 2 3 4 11 9 5 6 10 12 ;2022-2-1237/162常用單元模型n三維單元4節(jié)點(diǎn)四面體線性單元10節(jié)點(diǎn)四面體二次單元 1 2 3 4 1 10 9 8 4 7 2 3 6 5 ;2022-2-1238/162常用單元模型n三維單元8節(jié)點(diǎn)六面體線性單元20節(jié)點(diǎn)六面體二次單元 8 6 1 2 3 4 5 7 8 16 17 10 3 20 19 18 15 14 6 13 12 11 9 2 4 1 5 7 ;2022-2-1239/162常用單元模型n準(zhǔn)三維

12、空間單元桁架單元一維2節(jié)點(diǎn)線單元+單元局部隨體坐標(biāo)系 為什么要建立單元局部隨體坐標(biāo)系 ？簡(jiǎn)化分析問(wèn)題的復(fù)雜程度。在局部坐標(biāo)系中，空間桁架的每根桿每變成了一維2節(jié)點(diǎn)線單元;2022-2-1240/162常用單元模型n準(zhǔn)三維空間單元框架單元三維梁?jiǎn)卧?一維2節(jié)點(diǎn)線單元+單元局部隨體坐標(biāo)系 兩端都是剛性聯(lián)結(jié) 可以要承受拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)3種變形模式 框架單元的特點(diǎn);2022-2-1241/162常用單元模型n準(zhǔn)三維空間單元板單元薄板單元中厚板單元彎曲和橫向剪切2種變形模式抵抗板的變形如果板很薄，忽略橫向剪切抗力，認(rèn)為抵抗載荷的主要因素是彎矩;2022-2-1242/162常用單元模型n準(zhǔn)三維空間單元?dú)?/p>

13、單元 抵抗拉壓變形的二維單元+板單元+單元局部隨體坐標(biāo)系。適合于薄殼單元和中厚殼單元從幾何上分為薄殼單元和中厚殼單元 組合單元;2022-2-1243/162常用單元模型n準(zhǔn)三維空間單元 殼理論單元 由空間殼理論嚴(yán)格構(gòu)造的殼單元。適合于薄殼單元和中厚殼單元 退化單元 由三維實(shí)體單元退化成的殼單元。只適合于中厚殼單元 ;2022-2-1244/162單元模型構(gòu)造 n有限元法的基本思想 通過(guò)單元分片近似，在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來(lái)分片表示系統(tǒng)的場(chǎng)函數(shù) n選擇近似函數(shù)簡(jiǎn)單、實(shí)用的原則在有限元法中，近似函數(shù)稱為插值函數(shù) ;2022-2-1245/162單元模型構(gòu)造n插值函數(shù) 一般都采用多項(xiàng)式函數(shù)，主要

14、原因是: 采用多項(xiàng)式插值函數(shù)比較容易推導(dǎo)單元平衡方程，特別是易于進(jìn)行微分和積分運(yùn)算。隨著多項(xiàng)式函數(shù)階次的增加，可以提高有限元法的計(jì)算精度。從理論上說(shuō)，無(wú)限提高多項(xiàng)式的階數(shù)，可以求得系統(tǒng)的精確解。;2022-2-1246/162單元模型構(gòu)造方法 n整體坐標(biāo)系法n局部坐標(biāo)系法 nLagrange插值方法nHermite插值方法;2022-2-1247/162單元模型構(gòu)造方法n2節(jié)點(diǎn)線單元12 oxu1u2x1x2ux1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式xaaxu10)(2. 利用節(jié)點(diǎn)值求 a0 和 a1 21021101xaauxaau12121xxuua1212210 xxxuxua;2022-2-1248/1

15、62單元模型構(gòu)造方法3. 代入a0 和 a1，得插值多項(xiàng)式 u(x)xxxuuxxxuxuxu1212121221)(4. 按u1 和 u2合并同類項(xiàng)，設(shè) l = x2- x1212121122112)(uuNNuulxxlxxulxxulxxxu;2022-2-1249/162單元模型構(gòu)造方法n關(guān)鍵 如何構(gòu)造插值多項(xiàng)式 u ?二維問(wèn)題三維問(wèn)題，如何構(gòu)造插值多項(xiàng)式?;2022-2-1250/162n收斂性條件 在單元內(nèi)，場(chǎng)函數(shù)必須是連續(xù)的； 完備性：插值多項(xiàng)式的階次必須由低到高依次增加，不能出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象； 協(xié)調(diào)性：各單元邊界必須連續(xù)，單元邊界不能出現(xiàn)開(kāi)裂現(xiàn)象。 插值多項(xiàng)式收斂性條件 n收斂：當(dāng)

16、單元逐漸縮小時(shí)，如果插值多項(xiàng)式滿足收斂性條件，則數(shù)值解將收斂于精確解 ;2022-2-1251/162插值多項(xiàng)式收斂性條件n協(xié)調(diào)單元 滿足插值多項(xiàng)式收斂性條件和的單元 n完備單元 滿足插值多項(xiàng)式收斂性條件的單元ncr 階連續(xù)性 插值多項(xiàng)式的第r階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的 ;2022-2-1252/162插值多項(xiàng)式收斂性條件n非協(xié)調(diào)單元與部分協(xié)調(diào)單元 對(duì)于一般固體力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，協(xié)調(diào)性要求單元在變形時(shí)，相鄰單元之間不應(yīng)引起開(kāi)裂、重疊或其它不連續(xù)現(xiàn)象。例如，梁、板、殼等單元，在單元邊界不但要求位移是連續(xù)的，而且其一階導(dǎo)數(shù)也必須是連續(xù)的。板、殼單元位移函數(shù)沿單元邊界的法向?qū)?shù)（轉(zhuǎn)角）的連續(xù)性一般比較難實(shí)現(xiàn)，因此出

17、現(xiàn)了許多不完全滿足協(xié)調(diào)性要求的“非協(xié)調(diào)單元”或“部分協(xié)調(diào)單元”，有時(shí)它們的精度也很好。 ;2022-2-1253/162插值多項(xiàng)式選擇條件 n插值多項(xiàng)式應(yīng)該盡可能滿足其收斂性條件（收斂性）n由插值多項(xiàng)式所確定的場(chǎng)函數(shù)變化應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)（各向同性） n假設(shè)的插值多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)量應(yīng)該等于單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)（解的唯一性） 選擇條件;2022-2-1254/162插值多項(xiàng)式選擇條件n深入分析由收斂性條件可知，插值多項(xiàng)式中必須含有常數(shù)項(xiàng)（剛體位移項(xiàng)），高階項(xiàng)的次數(shù)必須依次增加，不允許有跳躍332210)(xxxxu3310)(xxxu;2022-2-1255/162插值多項(xiàng)式選擇條件由選擇條件可知

18、，插值多項(xiàng)式函數(shù)在所有自由度方向上要滿足各向同性性，這樣就不會(huì)隨局部坐標(biāo)系變化而改變了 n深入分析xyyxy, xu3210)(23210)(xyxy, xu;2022-2-1256/162插值多項(xiàng)式選擇條件n深入分析選擇條件是為了能由單元節(jié)點(diǎn)值唯一確定插值多項(xiàng)式 4節(jié)點(diǎn)四邊形的插值多項(xiàng)式應(yīng)該是 xyyxy, xu3210)(插值多項(xiàng)式系數(shù)i (i = 0,1,2,3) 也是4個(gè) ;2022-2-1257/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法n基本思想 針對(duì)彈性體有限元網(wǎng)格建立一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系，每個(gè)單元的插值多項(xiàng)式都在這個(gè)坐標(biāo)系上建立 y x o 彈性體 ;2022-2-1258/162單元模型構(gòu)造

19、整體坐標(biāo)系法n2節(jié)點(diǎn)線單元12 oxu1u2x1x2ux1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式xaaxu10)(2. 利用節(jié)點(diǎn)值求 a0 和 a1 21021101xaauxaau12121xxuua1212210 xxxuxua;2022-2-1259/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法3. 代入a0 和 a1，得插值多項(xiàng)式 u(x)xxxuuxxxuxuxu1212121221)(4. 按u1 和 u2合并同類項(xiàng)，設(shè) l = x2- x1212121122112)(uuNNuulxxlxxulxxulxxxu;2022-2-1260/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法lxxN2111 122122( )euu xN

20、 uN uNNuNulxxN12N1 和 N2 稱為單元的形函數(shù)；N 稱為單元的形函數(shù)矩陣；ue 稱為單元節(jié)點(diǎn)位移向量。 n2節(jié)點(diǎn)線的單元形函數(shù);2022-2-1261/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法n二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元 (x1 , y1) (u1 , v1) 1 y x o v 3 2 (x2 , y2) (x3 , y3) u (u3 , v3) (u2 , v2) (u , v) (x , y) 建立整體坐標(biāo)系oxy ;2022-2-1262/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式y(tǒng)xyxu210),(2. 首先，利用節(jié)點(diǎn)值求 0 、 1 和 2 n二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元 3

21、23103222102121101yxuyxuyxuyxyxv210),(;2022-2-1263/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法)(21)(21)(21332211233221113322110ucucucAubububAuauauaA33221111121yxyxyxA A為單元面積;2022-2-1264/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法23132113311xxcyybyxyxa31213221122xxcyybyxyxa12321332233xxcyybyxyxa3. 將 0 、 1 和 2 代入插值多項(xiàng)式，按u1、u2、u3合并同類項(xiàng)332211),(uNuNuNyxu;2022-2

22、-1265/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN4. 同理可得332211),(vNvNvNyxv;2022-2-1266/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法5. 單元插值多項(xiàng)式為332211332211),(),(vNvNvNyxvuNuNuNyxu)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN;2022-2-1267/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法332211321321000000vuvuvuNNNNNNvu6. 單元插值多項(xiàng)式寫(xiě)成矩陣形式（常用）;2022-2-1

23、268/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法321321321321000000vvvuuuNNNNNNvu7. 單元插值多項(xiàng)式的另一種矩陣形式（不常用）;2022-2-1269/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法n4節(jié)點(diǎn)四面體單元 2 1 (u1 , v1 , w1) x y z 4 3 (x1 , y1 , z1) (x3 , y3 , z3) (x4 , y4 , z4) (u3 , v3 , w3) (u2 , v2 , w2) (x2 , y2 , z2) (u4 , v4 , w4) (x , y , z) (u , v , w) ;2022-2-1270/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法zy

24、xzyxwzyxzyxvzyxzyxu421042104210),(),(),(1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式443322114433221144332211),(),(),(wNwNwNwNzyxwvNvNvNvNzyxvuNuNuNuNzyxu2. 插值多項(xiàng)式為;2022-2-1271/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法)(61zdycxbaVNiiiii（i=1,2,3,4） 4443332221zyxzyxzyxa 4433221111zyzyzyb4433221111zxzxzxc1114433221yxyxyxd 444333222111111161zyxzyxzyxzyxV 循環(huán)輪換腳標(biāo)1、2

25、、3、4，相應(yīng)可以得到a2，b2 ， c2 ， d2 、 a3 ， b3 ， c3 ， d3 、 a4 ， b4 ， c4 ， d4 ;2022-2-1272/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法444333222111432143214321000000000000000000000000wvuwvuwvuwvuNNNNNNNNNNNNwvu3. 單元插值多項(xiàng)式寫(xiě)成矩陣形式（常用）;2022-2-1273/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法4. 單元插值多項(xiàng)式另一種矩陣形式（不常用）432143214321432143214321000000000000000000000000wwwwvvvvuuuu

26、NNNNNNNNNNNNwvu;2022-2-1274/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法n從理論上講，整體坐標(biāo)系法可以求任意單元的形函數(shù)，但計(jì)算過(guò)程太復(fù)雜n只能求一維2節(jié)點(diǎn)線單元、二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元和三維4節(jié)點(diǎn)四面體單元3種簡(jiǎn)單單元的形函數(shù)n復(fù)雜的或二次以上的單元必須采用局部坐標(biāo)系法求n位移場(chǎng) u 是形函數(shù) Ni 的線性組合，因此形函數(shù)Ni同樣具有插值多項(xiàng)式的特性;2022-2-1275/162單元?jiǎng)偠染仃?節(jié)點(diǎn)線單元n一維2節(jié)點(diǎn)線單元n單元插值關(guān)系 eNuu n單元幾何關(guān)系 n單元本構(gòu)關(guān)系 Lu DeN=N1 N2 De=E21uueuxLlxxNlxxN/ )(/ )(1221;2022-

27、2-1276/162單元?jiǎng)偠染仃?節(jié)點(diǎn)線單元n單元?jiǎng)偠染仃噕edvBDBkTvedvBDBkT x yzedxdydzBDBTxedxABDBTA為單元截面積；l為單元長(zhǎng)度n矩陣BLNB LNB /21xNxN/1/1llBDBeAlT1111lAE/1/1/1/1llEllAl;2022-2-1277/162單元?jiǎng)偠染仃嚾切螁卧猲二維3角形單元n單元插值關(guān)系 eNuu T332211vuvuvueu321321000000NNNNNNN)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN;2022-2-1278/162單元?jiǎng)偠染仃嚾切螁卧猲單元幾何關(guān)

28、系 Lu Luvuxyyxxyyyxx00;2022-2-1279/162單元?jiǎng)偠染仃嚾切螁卧猲單元本構(gòu)關(guān)系 DexyyyxxxyyyxxE2100010112平面應(yīng)力問(wèn)題;2022-2-1280/162單元?jiǎng)偠染仃嚾切螁卧猲矩陣BLNB LNB xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxN33221132132100000033221132132100000021bcbcbccccbbbA;2022-2-1281/162單元?jiǎng)偠染仃嚾切螁卧猲單元?jiǎng)偠染仃噕edvBDBkTvedvBDBkT x yzedxdydzBDBTx yedxdyhBDBTh為單元厚度BDBehATk為對(duì)稱的

29、6*6常數(shù)矩陣A為單元面積;2022-2-1282/162作業(yè)n求4節(jié)點(diǎn)四面體單元的單元?jiǎng)偠染仃?2 1 (u1 , v1 , w1) x y z 4 3 (x1 , y1 , z1) (x3 , y3 , z3) (x4 , y4 , z4) (u3 , v3 , w3) (u2 , v2 , w2) (x2 , y2 , z2) (u4 , v4 , w4) (x , y , z) (u , v , w) ;2022-2-1283/162單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法n單元形函數(shù)的特性正規(guī)性：?jiǎn)卧魏瘮?shù)之和等于1。 正交性：形函數(shù)在本節(jié)點(diǎn)的值等于1，在其它節(jié)點(diǎn)的值等于0。 lxxN21lxxN1

30、2例如: 2節(jié)點(diǎn)線單元形函數(shù);2022-2-1284/162單元模型等參單元n等參單元 單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移u與單元節(jié)點(diǎn)位移ue之間的關(guān)系為 eNuu 一般單元坐標(biāo)的插值關(guān)系也采用與位移插值關(guān)系相同的變換關(guān)系即單元內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xe之間的關(guān)系為 eNxx ;2022-2-1285/162單元模型等參單元n等參單元凡是幾何形狀和位移場(chǎng)采用同階同參數(shù)插值關(guān)系來(lái)描述的單元，稱為等參單元 前面介紹的所有單元都屬于等參單元 在描述單元的幾何形狀和位移場(chǎng)時(shí)，并不一定非采用同階插值關(guān)系 ;2022-2-1286/162單元模型等參單元332211321321000000vuvuvuNNNN

31、NNvu332211321321000000yxyxyxNNNNNNyxn等參單元3節(jié)點(diǎn)三角形等參單元 ;2022-2-1287/162單元模型等參單元n超參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)高于位移場(chǎng)插值函數(shù)的階數(shù)，稱為超參單元 n次參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)低于位移場(chǎng)插值函數(shù)的階數(shù)，稱為次參單元 ;2022-2-1288/162單元平衡方程組裝過(guò)程 n為什么要組裝 ? 2 F 1 3 消除內(nèi)力n組裝的原則是什么 ? 單元自由度與結(jié)構(gòu)自由度對(duì)應(yīng);2022-2-1289/162單元平衡方程組裝過(guò)程 2 F 1 3 U3U4U2U1U5U6654321UUUUUUU結(jié)構(gòu)自由度向量U;2022-

32、2-1290/162單元平衡方程組裝過(guò)程 2 1 U3U4U2U11u1u2u3u4 3 U611 U2U12u1u2U5u3u443214321UUUUuuuueu65214321UUUUuuuueu2;2022-2-1291/162單元平衡方程組裝過(guò)程14131211432114414314214113413313213112412312212111411311211143214321ffffuuuukkkkkkkkkkkkkkkk2 1 U3U4U2U11u1u2u3u42;2022-2-1292/162單元平衡方程組裝過(guò)程00000000000000000000006543216543

33、2114131211654321144143142141134133132131124123122121114113112111ffffUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkk組裝單元;2022-2-1293/162單元平衡方程組裝過(guò)程 3 U611 U2U12u1u2U5u3u424232221432124424324224123423323223122422322222121421321221165216521ffffuuuukkkkkkkkkkkkkkkk;2022-2-1294/162單元平衡方程組裝過(guò)程242314132212211165432124424324224123423

34、323223114414314214113413313213122422312412322212222112121421311411321211221111100000000654321654321ffffffffUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk再組裝單元FKU 總體剛度方程 K 稱為總體剛度矩陣 U 稱為位移向量 F 稱為載荷向量 ;2022-2-1295/162總體剛度矩陣K的特性 n對(duì)稱性 n奇異性 n稀疏性 n非零元素帶狀分布 ;2022-2-1296/162約束處理過(guò)程 n為什么要約束處理 ?總體平衡方程組是奇異的消除無(wú)限制的剛體運(yùn)動(dòng) 使總

35、體平衡方程組存在唯一一組解;2022-2-1297/162約束處理過(guò)程邊界條件n 邊界條件分類 力(載荷)邊界條件位移邊界條件 集中載荷力 表面分布力 自重力熱交換引起的溫度載荷 固定位移約束 強(qiáng)制位移約束 關(guān)聯(lián)位移約束 002.U 005.U 011.U 514.U CkUU78;2022-2-1298/162約束處理過(guò)程模型簡(jiǎn)化xyU;2022-2-1299/162約束處理過(guò)程模型簡(jiǎn)化yxUxyU;2022-2-12100/162約束處理過(guò)程約束方程123456789101112yxU0 . 0321UUU0 . 012963VVVVUUUU121110;2022-2-12101/162約

36、束處理過(guò)程約束處理方法n位移約束處理方法 賦0賦1法 乘大數(shù)法 ;2022-2-12102/162約束處理過(guò)程賦0賦1法n強(qiáng)制位移約束條件處理 U4=CFKU 654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK;2022-2-12103/162約束處理過(guò)程賦0賦1法n強(qiáng)制位移約束條件處理 U4=C65432165432166656463626156555453525146454443

37、4241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUKKCKKKKKKCKKKKKKCKKKKKKCKKKKKKCKKKKKKCKKKKCKFCKFCKFCKFCKFCKFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK646545444343242141654321666563626156555352514645434241363533323126252322211615131211000000;2022-2-12104/162約束處理過(guò)程賦0賦1法n有6個(gè)方程，5個(gè)未知數(shù)，如果約束方程可以消除有限元平衡方程組的奇異

38、性，則取任意5個(gè)方程聯(lián)立求解，都會(huì)得到方程組的唯一一組解。 n系數(shù)矩陣由原來(lái)的對(duì)稱的變成了非對(duì)稱的，這對(duì)于大規(guī)模有限元方程組求解是十分不利的，采用相同的求解方法，在求解時(shí)間和矩陣存貯容量方面都增加了一倍。 ;2022-2-12105/162約束處理過(guò)程賦0賦1法CKFCKFCKFCKFCKFCKFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK646545444343242141654321666563626156555352514645434241363533323126252322211615131211000000CKFCKFCKFCKFCKFUUUUUUKKKK

39、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK64654534324214165432166656362615655535251363533323126252322211615131211000000000000為了保證系數(shù)矩陣的對(duì)稱性，去掉方程組第4行;2022-2-12106/162CKFCKFCKFCKFCKFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK64654534324214165432166656362615655535251363533323126252322211615131211000000000000約束處理過(guò)程賦0賦1法引入強(qiáng)制位移約束方程 U4=C，使方

40、程組求解時(shí)直接將自由度U4求出CKFCKFCCKFCKFCKFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK6465453432421416543216665636261565553525136353332312625232221161513121100001000000;2022-2-12107/162約束處理過(guò)程賦0賦1法n固定位移約束條件處理 U4=06532165432166656362615655535251363533323126252322211615131211000001000000FFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK;20

41、22-2-12108/162約束處理過(guò)程賦0賦1法n基本原理 利用初等變換對(duì)求解方程組進(jìn)行相同的行列變換，既保證方程組解不會(huì)改變，又可以保持方程組系數(shù)矩陣的對(duì)稱性。 在進(jìn)行初等變換時(shí)，只要保證對(duì)方程組系數(shù)矩陣做相同的行列變換，就可以保持方程組系數(shù)矩陣的對(duì)稱性。 ;2022-2-12109/162約束處理過(guò)程乘大數(shù)法n乘大數(shù)法n基本原理 利用矩陣的初等變換不改變方程組解的思想。 ;2022-2-12110/162654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUU

42、UUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK約束處理過(guò)程乘大數(shù)法n強(qiáng)制位移邊界條件 CU 4;2022-2-12111/162約束處理過(guò)程乘大數(shù)法CU 4強(qiáng)制約束方程 ACAU 4A是一個(gè)大數(shù)，是系數(shù)矩陣中對(duì)角線元素K44的1010倍量級(jí)以上 為什么要乘以大數(shù)A ？放大位移約束方程的優(yōu)勢(shì);2022-2-12112/162654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFACFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKAKKKKKKKKK

43、KKKKKKKKKKKKK約束處理過(guò)程乘大數(shù)法n強(qiáng)制位移邊界條件 CU 4;2022-2-12113/162約束處理過(guò)程乘大數(shù)法n固定位移邊界條件 C = 0 約束后的方程組簡(jiǎn)化為 654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKAKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK6543216543216665646362615655545352514645444342413635343332312625242322211615

44、14131211FFACFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKAKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK;2022-2-12114/162約束處理過(guò)程兩種方法比較n賦0賦1法在約束處理過(guò)程中是嚴(yán)格精確的，而乘大數(shù)法是一種近似約束處理方法，它的精度取決于所乘大數(shù)A值 兩種方法都可以消除有限元平衡方程的奇異性，得到符合實(shí)際邊界條件的唯一一組解。但兩種方法還是有很大的區(qū)別 ;2022-2-12115/162約束處理過(guò)程兩種方法比較n采用乘大數(shù)法約束處理后的有限元平衡方程在求解時(shí)可能造成解的失真，大數(shù)A值越大可能解的偏差會(huì)越大，而賦0賦1法就不會(huì)出現(xiàn)類似的問(wèn)題，它在約束過(guò)程和求解過(guò)程都是

45、精確的n乘大數(shù)法相對(duì)于賦0賦1法在約束處理過(guò)程上簡(jiǎn)單一些 ;2022-2-12116/162約束處理過(guò)程兩種方法比較n賦0賦1法實(shí)際上是將關(guān)聯(lián)位移約束方程代入到有限元平衡方程中的，是代入法。而乘大數(shù)是將占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的關(guān)聯(lián)位移約束方程合并到有限元平衡方程中的，是罰方法，計(jì)算誤差來(lái)自于合并過(guò)程，計(jì)算精度取決于關(guān)聯(lián)位移約束方程的優(yōu)勢(shì)大小n商業(yè)軟件中，位移邊界條件的約束處理都采用賦0賦1法，乘大數(shù)很少被采用主要原因是它是一種近似方法，而且大數(shù)的大小也不好確定，有時(shí)還會(huì)造成求解失敗 ;2022-2-12117/162約束處理過(guò)程彈簧單元假設(shè)柔性彈簧 kOXYU4f f = kU4k;2022-2-1211

46、8/162彈簧約束方程 f = kU4654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFfFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK6544321654321666

47、564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFkUFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUKKKKKKKKKKKKKKkKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK約束處理過(guò)程彈簧單元;2022-2-12119/162方程組求解過(guò)程特點(diǎn)n方程組求解有限元計(jì)算過(guò)

48、程中很重要的一部分，在有限元法的發(fā)展過(guò)程中，有限元方程的求解效率一直是其應(yīng)用的最大瓶頸之一 n有限元方程組的特點(diǎn)： 有限元方程組的系數(shù)矩陣具有對(duì)稱、稀疏、帶狀分布以及正定、主元占優(yōu)。有效地利用這些特點(diǎn)，以減少系數(shù)矩陣的存貯量，提高方程組求解效率 ;2022-2-12120/162方程組求解過(guò)程分類比較n線性方程組的解法主要分兩大類: 直接解法：以高斯消去法基礎(chǔ)，以等帶寬或變帶寬方式存貯系數(shù)矩陣內(nèi)元素，對(duì)于求解規(guī)模比較大的問(wèn)題，要存貯的元素非常巨大。 迭代解法：只需要存貯系數(shù)矩陣中非零元素，存貯量很小，一般是變帶寬存貯量的20%或更少，有些算法的求解效率也非常高，適合求解大規(guī)模線性方程組。但是這

49、種解法對(duì)接近病態(tài)的方程組很難保證收斂性。 ;2022-2-12121/162方程組求解過(guò)程帶寬定義n有限元方程組系數(shù)矩陣是稀疏的、非零元素呈帶狀分布，帶寬就是它的寬度，帶寬的大小是由系統(tǒng)有限元網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)號(hào)排序決定的，具體求法是 帶寬=(單元最大節(jié)點(diǎn)號(hào)之差+1)*節(jié)點(diǎn)自由度數(shù) n帶寬是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)注方法直接決定的，不同標(biāo)注方法帶寬可能相關(guān)很大 ;2022-2-12122/162方程組求解過(guò)程帶寬n帶寬是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)注方法直接決定的，不同標(biāo)注方法帶寬可能相關(guān)很大 1 2 3 4 5 6 9 10 7 8 11 12 14 13 16 15 20 19 18 17 21 22 23 24 28 26 2

50、7 25 1 2 3 4 5 6 9 10 7 8 11 12 14 13 16 15 20 19 18 17 21 22 23 24 28 26 27 25 1 2 3 4 5 6 9 10 7 8 11 12 14 13 16 15 20 19 18 17 21 22 23 24 28 26 27 25 ;2022-2-12123/162方程組求解過(guò)程帶寬n所示四邊形網(wǎng)格的三種節(jié)點(diǎn)號(hào)標(biāo)注方法，每個(gè)節(jié)點(diǎn)是2個(gè)自由度n結(jié)構(gòu)的帶寬分別是12，18，56，相差很大，其中12和56之間相差近5倍，這就意味著系數(shù)矩陣的存貯量也是相差5倍，因此，對(duì)于大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)號(hào)優(yōu)化是十分必要的 ;2022-2

51、-12124/162方程組求解過(guò)程系數(shù)矩陣存貯 n系數(shù)矩陣存貯 如果節(jié)點(diǎn)號(hào)排序優(yōu)化的比較好，系數(shù)矩陣的存貯量就會(huì)減少很多。根據(jù)系數(shù)矩陣的對(duì)稱性，一般都是按半帶寬存貯。n系數(shù)矩陣存貯的方法 二維等帶寬存貯 一維變帶寬存貯;2022-2-12125/162方程組求解過(guò)程二維等帶寬存貯 n二維等帶寬存貯 D D 0 0 K K n ;2022-2-12126/162方程組求解過(guò)程二維等帶寬存貯n二維等帶寬存貯消除了最大帶寬以外的全部零元素，節(jié)省了系數(shù)矩陣元素的存貯量。但是由于取最大帶寬為存貯范圍，因此不能排除在帶寬內(nèi)的大量零元素。當(dāng)系數(shù)矩陣的各行帶寬變化不大時(shí)，適合采用二維等帶寬存貯，方程組求解過(guò)程

52、中系數(shù)矩陣元素的尋址也比較方便，求解效率較高。n當(dāng)出現(xiàn)局部帶寬特別大的情況時(shí)，采用二維等帶寬存貯時(shí)，將由于局部帶寬過(guò)大而使整體系數(shù)矩陣的存貯大大增加。;2022-2-12127/162方程組求解過(guò)程一維變帶寬存貯 n一維變帶寬存貯 一維變帶寬存貯方法就是把變化的帶寬內(nèi)的元素按一定的順序存貯在一個(gè)一維數(shù)組中。由于它不按最大帶寬存貯，因此比二維等帶寬存貯更節(jié)省內(nèi)存。按照解法可分為按行一維變帶寬存貯和按列一維變帶寬存貯。 ;2022-2-12128/162n按行一維變帶寬存貯 對(duì)稱 20181296431M方程組求解過(guò)程一維變帶寬存貯 輔助的尋址數(shù)組M ;2022-2-12129/162n一維變帶寬

53、存貯是最節(jié)省內(nèi)存的一種方法，但是由于要借助于尋址數(shù)組尋找系數(shù)矩陣元素的位置，相對(duì)二維等帶寬存貯方法來(lái)說(shuō)要復(fù)雜一些，而且在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)也要復(fù)雜得多，方程組求解過(guò)程中也要消耗一些數(shù)組尋址時(shí)間。因此，在選用存貯方法時(shí)要權(quán)衡二者的利弊，統(tǒng)盤(pán)考慮。一般當(dāng)帶寬變化不大，計(jì)算機(jī)內(nèi)存允許時(shí)，采用二維等帶寬存貯方法是比較合適的。 方程組求解過(guò)程一維變帶寬存貯 ;2022-2-12130/162方程組求解過(guò)程求解方法n方程組求解方法 高斯消去法 三角分解法 雅可比（Jacobi）迭代法 高斯-賽德?tīng)枺℅auss-Seidel）迭代法 ;2022-2-12131/162應(yīng)變、應(yīng)力回代過(guò)程 n單元應(yīng)變和應(yīng)力回代求解 通

54、過(guò)求解有限元平衡方程得到有限元節(jié)點(diǎn)位移后，就可以進(jìn)行系統(tǒng)的剛度校核。如果所分析問(wèn)題要進(jìn)行強(qiáng)度校核，就要回代求解單元的應(yīng)變和應(yīng)力。n由插值關(guān)系和幾何關(guān)系可得單元應(yīng)變，再通過(guò)本構(gòu)關(guān)系得到單元應(yīng)力eeBuLNuDe;2022-2-12132/162有限差分法有限差分法;2022-2-12133/162 從彈性力學(xué)的基本方程建立以來(lái)，這些方程在各種問(wèn)題的邊界條件下如何求解，一直是很多數(shù)學(xué)工作者和力學(xué)工作者研究的內(nèi)容。即彈性力學(xué)的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當(dāng)彈性體的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點(diǎn)，往往無(wú)法求得偏微分方程的邊值問(wèn)題的解析解，許多工程重要問(wèn)題，不能夠得出函數(shù)式的解答。 因此，彈性力學(xué)問(wèn)題的各種數(shù)

55、值解法便具有重要的實(shí)際意義。;2022-2-12134/162 工程中常用的數(shù)值解法有有限單元法和差分法。 有限單元法 是以有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替連續(xù)體，屬于物理上的近似。 差分法 是把彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來(lái)表示，把求解微分方程的問(wèn)題改換成為求解代數(shù)方程的問(wèn)題，屬于數(shù)學(xué)上的近似。;2022-2-12135/162 第一節(jié) 差分方程 第二節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解 第三節(jié) 深梁應(yīng)力函數(shù)的差分解;2022-2-12136/162第一節(jié) 差分方程 差分法是沿用已久的一種數(shù)值解法。隨著計(jì)算機(jī)的普及和相應(yīng)的軟件發(fā)展，此法成為解彈性力學(xué)問(wèn)題的一種有效的

56、方法。;2022-2-12137/162 我們?cè)趶椥泽w上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，x=y=h，如圖。.)(! 31)(! 21)(3003320022000 xxxfxxxfxxxfff 設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個(gè)連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在-上,它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點(diǎn)處，函數(shù)f可展為泰勒級(jí)數(shù)如下：;2022-2-12138/162 我們將只考慮離開(kāi)結(jié)點(diǎn)充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即（x-x0）充分小。于是可不計(jì)（x-x0）的三次及更高次冪的各項(xiàng)，則上式簡(jiǎn)寫(xiě)為：在結(jié)點(diǎn)，x=x0-h, 在結(jié)點(diǎn)1, x=x0+h，代入(b) 得：)(

57、)(! 21)(20022000bxxxfxxxfff2230200( )2fhfffhcxx2210200( )2fhfffhdxx;聯(lián)立(c),(d),解得差分公式： )11(2310hffxf)21 (22031022hfffxf同理，在網(wǎng)線-上可得到差分公式2402240220(13)22(14)2fffyhffffyh; 差分公式(-)及(-)是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。 以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。 應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而

58、后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無(wú)法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。; 以上(-)(-)是基本差分公式,從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：2268570401391144040123456782240402410124401()()(1 5)4164()()(1 6)142()()(1 7)164()()(1 8)fffffx yhffffffxhffffffffffxyhffffffyh ;2022-2-12142/162第二節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)平面問(wèn)題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問(wèn)題。用差分法解平面問(wèn)題，就應(yīng)先將雙調(diào)

59、和方程變換為差分方程，而后求解之。;2240220021302200257682001()21()2(21)1()()4xyxyyhxhx yh 一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對(duì)節(jié)點(diǎn)0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。; 可見(jiàn)，用差分法解平面問(wèn)題，共有兩大任務(wù)：一、建立差分方程 將（1-68）代入雙調(diào)和方程0123456789101112208() 2() () 0(2 2) 對(duì)于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。024422444yyxx整理即得;2022-2-12145/162 二、聯(lián)立求解這些線性代數(shù)方程，就能求得各內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的值。 為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)

60、處的值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即： 一般建立和求解差分方程，在數(shù)學(xué)上不會(huì)遇到很大困難。但是，當(dāng)對(duì)于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的值。yyxyxxyxpllpll2121;代入上式，即得： yxxyxyyx22222,l1= c o s ( N , x ) = c o s = d y / d s , l2=cos(N,y)=sin=-dx/ds,yxpxsxyxsypyxsxysy222222dddddddd于是，式（a）可改寫(xiě)為：由右圖可見(jiàn)，2212222122axyllpyx yllpx yx ;關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處BA