1、.相似三角形一、 知識概述1. 平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2. 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。3. 相似三角形的定義對應邊成比例、對應角相等的兩個三角形叫做相似三角形4. 相似三角形的基本性質相似三角形的對應邊成比例、對應角相等相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。相似三角形的周長比等于相似比面積比等于相似比的平方溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例相似比具有

2、順序性例如 ABC ABC的對應邊的比，即相似比為k，則 ABC ABC的相似比，當且僅當它們全等時，才有k=k=1相似比是一個重要概念，后繼學習時出現(xiàn)的頻率較高，其實質它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點借助相似三角形可觀察得出5. 相似三角形的判定定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長線相交，所得的三角形與原三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似；兩角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。溫馨提示：（ 1）判定三角形相似的幾條思路：條件中若有平行，可采用判定定理1；條件中若有一對角相等( 包括隱含的公共角或對頂角) ，可再找一對角相等或找夾邊對應成

3、比例；條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；但是，在選擇利用判定定理2 時，一對對應角相等必;.須是成比例兩邊的夾角對應相等條件中若有等腰關系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對應成比例。（ 2）在綜合題中，注意相似知識的靈活運用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應用，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。（ 3）運用相似的知識解決一些實際問題，要能夠在理解題意的基礎上，把它轉化為純數(shù)學知識的問題，要注意培養(yǎng)當數(shù)學建模的思想。6. 位似定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比因此，位

4、似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比注意：（ 1）位似圖形是相似圖形的一個特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形（ 2）兩個位似圖形不僅相似而且對應點連線交于一點，對應邊平行或在同一直線上7. 三角形的重心三角形三條中線的交點叫做三角形的重心三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍二、 相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對應元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功通常有以下幾種方法：(1) 相似三角形有公共角或對頂角時，公共角或對頂角是最明顯的對應

5、角；相似三角形中最大的角( 或最小的角 ) 一定是對應角；相似三角形中，一對相等的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊，對應角的夾邊是對應邊；(2) 相似三角形中，一對最長的邊 ( 或最短的邊 ) 一定是對應邊；對應邊所對的角是對應角；對應邊所夾的角是對應角2、常見的相似三角形的基本圖形：;.學習三角形相似的判定， 要與三角形全等的判定相比較， 把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結，形成一整套完整的判定方法如：(1) “平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2) “相

6、交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個公共角或對頂角“見一對等角，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3) “旋轉型”相似三角形，如圖若圖中 1= 2， B= D(或 C= E) ，則 ADE ABC，該圖可看成把第一個圖中的 ADE繞點 A 旋轉某一角度而形成的溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上“平行線型”是常見的，這類相似三角形的對應元素有較明顯的順序，“相交線型”識圖較困難，解題時要注意從復雜圖形中分解或添加輔助線構造出基本圖形;.相似三角形專題分類練習講解題型一：線段的比、黃金分割1.在比例尺1：

7、 10000 的地圖上，相距2cm 的兩地的實際距離是（）A 200cmB 200dmC 200mD 200km2.若則下列各式中不正確的是（）ABCDxy23. 若y5 ，則x=_；已知 x2 ，則 xy =_；已知xyz ，且 3y2z 6 ，則yy3xy356x_, y_。4. 若 5x 4 y0 且 xy0 ，則 x y =_。5.2和 8 的比例中項是_；線段 2 與 8 的比例中項為 _。6. 已知 a ： b ： c2 ： 3 ：4，且 2a 3b 2c 10，求 a， b ， c 的值。題型二：相似的性質1. 如果兩個相似三角形的面積比為3 4，則它們的周長比為 _。2. 已知

8、 ABC DEF，且 AB： DE=1：2，則 ABC的面積與 DEF 的面積之比為3. 如圖 ,DE BC， AD BD=23，則ADE的面積四邊形DBCE的面積 =_。4. 如圖，已知等邊三角形 ABC的邊長為 2， DE是它的中位線，則下面四個結論： （ 1） DE=1，（ 2） CDE CAB，（ 3） CDE的面積與 CAB的面積之比為 1： 4. 其中正確的有： _個5. 如圖，在梯形 ABCD中，AD BC， ADE與 BCE面積之比為 4 ：9，那么 ADE與 ABE面積之比為 _6. 平行四邊形 ABCD中， AB=28， E、F 是對角線 AC上的兩點，且 AE=EF=FC

9、，DE交 AB于點 M，MF交 CD于點N，則 CN=_。AADDEEBCBC第 3 題第 4 題第 5 題第 6 題7. 如圖，已知平行四邊形ABCD中， E 是 AB邊的中點， DE交 AC于點 F， AC， DE把平行四邊形ABCD分成的;.四部分的面積分別為S1， S2， S3，S4下面結論：只有一對相似三角形；EF：ED=1：2； S1： S2： S3： S4=1： 2： 4 ： 5其中正確的結論是（）A BCD8.如圖，大正方形中有2 個小正方形，如果它們的面積分別是1、 S21、 S2 的大小關系是（）S，那么 SA S1 S2B.S1 =S2C.S1S2D.S1、 S2 的大小

10、關系不確定9.如圖，在正方形ABCD 中，點 E 在 AB邊上，且 AE EB 2 1，AF DE 于 G 交 BC 于 F，則 AEG的面積與四邊形BEGF 的面積之比為（）A.1 2B.1 4C.4 9D.2 310.如圖，已知 DE BC，CD 和 BE 相交于點 O， S DOE S COB 49，則 AE EC 為（）A.2 1B.2 3C.4 9D.5 411. 已知三個邊長為2， 3， 5 的正方形按圖4 排列，則圖中陰影部分的面積為_第7題第8題第9題第10題第11題12. 如圖在 ABC中，矩形DEFG， G、 F 在 BC上， D、 E 分別在 AB、AC上， AH BC交

11、 DE于 M， DG DE 1 2， BC 12 cm， AH 8 cm，求矩形的各邊長。ADMEBGHFC變式2圖13.已知如圖，正方形ABCD 中， AB 2， E 是 BC 的中點， DF AE ，F(xiàn) 為垂足，求 DFA 的面積 S1 和四邊形 CDFE 的面積 S2 。題型三：相似的有關證明;.1.已知：如圖，梯形ABCD 中， AB DC ，E 是 AB 的中點，直線ED 分別與對角線AC 和 BC 的延長線交于M、N點求證： MD ： ME ND ：NENDCMAEB2.如圖， D 在 AB 上，且 DE BC，交 AC 于 E，F(xiàn) 在 AD 上，且 AD 2AFAB ，求證： A

12、EF ACD 3.如圖，在平行四邊形ABCD 中，過點 A 作 AE BC ，垂足為 E，連接 DE，F(xiàn) 為線段 DE 上一點，且 AFE= B（ 1）求證： ADF DEC；（ 2）若 AB=8 ， AD=6， AF=4，求 AE 的長題型四：函數(shù)與相似1.如圖， 正方形 ABCD中，AB 1，G為 DC中點， E 為 BC上任一點， （ E 點與點 B、點 C不重合） 設 BE，過 E 作 GA平行線交AB于 F，設 AFEC面積為，寫出與的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍。2. 如圖， ABCD是矩形， AH 2，HD 4，DE2，EC 1，F(xiàn) 是 BC上任一點 （ F;.與點 B、點

13、 C 不重合），過F 作 EH的平行線交AB于 G，設 BF 為，四邊形 HGFE面積為，寫出與的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍。3. 如圖，有一塊直角梯形鐵皮ABCD， AD 3cm， BC 6cm， CD 4cm，現(xiàn)要截出矩形 EFCG，（ E 點在 AB上，與點 A、點 B 不重合） ，設 BE，矩形 EFCG周長為，（1）寫出與的函數(shù)關系式，并指出自變量取值范圍；（2）取何值，矩形EFCG面積等于直角梯形ABCD面積的。4. 如圖，已知拋物線21 與x軸交于 、兩點，與y軸交于點 （ 1）求、 、三點的坐標（ 2）y xA BCA B C過點 A 作 AP CB交拋物線于點P，求四

14、邊形 ACBP的面積（ 3）在 x 軸上方的拋物線上是否存在一點M，過 M作 MG x 軸于點 G，使以A、 M、G三點為頂點的三角形與PCA相似？若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由yPA OBx5. 如圖，已知 ABC 的三個頂點坐標分別為CA(-4 ， 0) 、B(1 ，0) 、 C(-2 ， 6) (1) 求經過 A、B、 C三點的拋;.物線解析式；(2) 設直線 BC交 y 軸于點 E，連接 AE，求證： AE=CE;(3) 設拋物線與y 軸交于點D，連接 AD交 BC于點 F，試問以 A、 B、F，為頂點的三角形與 ABC 相似嗎？請說明理由題型五、圓與相似1. （2013?

15、綏化）如圖，點 A，B， C， D為O 上的四個點， AC平分 BAD， AC交 BD于點 E， CE=4， CD=6，則 AE 的長為（）A.4B.5C.6D.72. 如圖， AB 為 O的直徑， D 是弧 BC的中點， DE AC交 AC的延長線于 E， O的切線 BF 交AD的延長線于點 F。(1) 求證： DE是 O的切線；(2) 若 DE3， O的半徑為 5，求 BF 的長。3. 如圖， Rt ABC中， C=90， O為直角邊 BC上一點，以 O 為圓心， OC為半徑的圓恰好與斜邊AB相切于點 D，與 BC交于另一點 E（ 1）求證： AOC AOD；BDE（ 2）若 BE=1，B

16、D=3,求 O的半徑及圖中陰影部分的面積SOAC4. 如圖 O是 ABC外接圓， AB是直徑， D是 AB 延長線上一點，AE DC的延長;.線于點 E，且 AC平分 EAB。（ 1）求證 :DE 是 O的切線； (2)若 AB=6, AE=4,求 BC和 BD的長5. （ 2012 遼寧）如圖， AB 是O 的直徑，點 C在O 上， CAB 的平分線交O 于點 D，過點 D 作 AC的垂線交 AC的延長線于點 E，連接 BC交 AD于點 F。（ 1）猜想 ED與O的位置關系，并證明你的猜想；（ 2）若 AB 6， AD 5，求 AF的長。6. （2013?十堰）如圖 1， ABC中， CA=

17、CB，點 O在高 CH上， ODCA 于點 D，OECB 于點 E，以 O為圓心，OD為半徑作 O（ 1）求證：O 與 CB相切于點 E；（ 2）如圖 2，若O 過點 H，且 AC=5，AB=6，連接 EH，求 BHE 的面積題型六、因動點產生的相似問題;.1 D 是 ABC的 AB邊上一點，過A、D 及三角形邊上的一點E 的三角形與 ABC相似，畫出示意圖。D 是 Rt ABC的 BC邊上一點，過C、 D 及三角形邊上的一點E 的三角形與 ABC相似，畫出示意圖。AADBCBCD2已知 Rt OAB在直角坐標系中的位置如圖，P（ 3， 4）為 OB的中點，點 C為折線 OAB上的動點，線段P

18、C把 Rt OAB分成兩部分，問點C 在什么位置時，分割得到的三角形與OAB相似？畫出所有符合要求的線段，寫出點C 的坐標。yy8B5AD74635BP24P1A3-1 o12-5-4-3-22345x-1BC1-2-1 o123456 Ax-3-1-4F第 2 題第 3 題第 4 題3在直角坐標系中有兩點A（4， 0）， B（ 0， 2），如果點 C 在 x 軸上（ C 與 A 不重合），當點 C的坐標為時，使得由點B、 O、 C 組成的三角形與AOB相似。4已知：如圖， P 是邊長為4 的正方形ABCD內一點，且 PB=3， BF BP，垂足為 B，請在射線 BF 上找一點M，使以 B、

19、M、 C 為頂點的三角形與ABP相似。5. 正方形 ABCD邊長為 4，M、N分別是 BC、CD上的兩個動點， 當 M點在 BC上運動時， 保持 AM和 MN垂直 .（ 1）證明： Rt ABMRt MCN；（ 2）設= ，梯形的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式；當點運動到什么位置時，四邊BMxABCNM形 ABCN面積最大，并求出最大面積；（ 3）當 M點運動到什么位置時Rt ABMRt AMN，求此時 x 的值 .ADNBMC6.如圖，在 ABC中， BAC=90， AD是 BC邊上的高， E 是 BC邊上的一個動點（不與B,C 重合），EFAB,EG AC，垂足分別為F,G;.（ 1）

20、求證：EGCG ；ADCD（ 2） FD與 DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；A（ 3）當 AB=AC時， FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由FGBCDE7. 矩形 OABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，A、 C兩點的坐標分別為 A（ 6， 0）， C（ 0， 3），直線 y 3 x 與 BC邊相交于 D點4（ 1）求點 D的坐標；（ 2）若拋物線 y ax 2 9 x 經過點 A，試確定此拋物線的表達式；4（ 3）設（ 2）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點 M，點 P 為對稱軸上一動點，以P、O、 M為頂點的三角形與 OCD相似，求符合條件的點P 的坐標yAO6x

21、- 3BCD3y x48如圖，拋物線y 1 x2 5 x 2 與 x 軸相交于點A、B，與 y 軸相交于點C2 2（ 1）求證： AOC COB；;.（ 2）過點 C作 CD x 軸交拋物線于點D若點 P在線段 AB上以每秒 1 個單位的速度由A 向 B 運動，同時點 Q在線段 CD上也以每秒1 個單位的速度由D向 C運動，則經過幾秒后，PQ ACyAPBOxCDQ9如圖，二次函數(shù)的圖象經過點D(0， 73 ) ，且頂點 C 的橫坐標為 4，該圖象在 x 軸上截得的線段 AB9的長為 6. 求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對稱軸上找一點P，使 PA+PD最小，求出點P 的坐標；在拋物線上是否存

22、在點Q，使 QAB與 ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由題型三：位似1. 如圖所示， 以點 O為位似中心， 將五邊形ABCDE放大后得到五邊形ABCDE. 已知OA 10 cm，OA 20 cm ，則五邊形ABCDE的周長與五邊形ABCDE的周長的比值是_2. 如圖，在68 的網格圖中，每個小正方形邊長均為1，點 O和 ABC的頂點均為小正方形的頂點.以 O為位似中心，在網格圖 中作 A BC，使 ABC 和 ABC位似，且位似比為 1： 2連接中的 AA，求四邊形AACC的周長 . （結果保留根號）3. 如圖，點 O是等邊三角形PQR的中心， P、 Q、R分別是OP、O