1、設(shè)非齊次線性方程組為非齊次線性方程組有解的充分必要條件（*）mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111其中 至少有一個不為零mbbb,21分別稱為方程組（*）的系數(shù)矩陣及增廣矩陣記), 2 , 1(,212121njaaabbbbxxxxmjjjjmnmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211矩陣mmnmmnnbaaabaaabaaaB21222221111211則（*）可表示為 Ax=b（*）（*）（*）或用向量表示為并且我們稱方程 Ax=0為非齊次線性方程組（*）所對應(yīng)的齊次線性方程組（或稱為（*）的導(dǎo)出組）bxxx

2、nn2211 如果方程組 (*) 有解，故方程 (*)成立向量b為向量組n ,21的線性組合,于是向量組b,n ,21與向量組n ,21等價向量組b,n ,21與向量組n,2的秩相等由列向量n ,21組成的矩陣A與由列向量b,n ,21所組成的矩陣B 的秩相等, 即r(A)=r(B).,1反之, 如果r(A)=r(B)向量b為向量組n的線方程組 (*) 有解 向量組與向量組等價由此說明：下面四個命題是等價的（1）方程組(*) 有解 ;（2）向量b能由向量組n ,21線性表示；，則向量組與向量組的秩相等 ,21nb,21nb,21n,21n,21性組合（3）向量組n ,21與向量組,21 bn,

3、 等價；（4） r(A)=r(B).定理10 非齊次線性方程組 (*) 有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B的秩相等. 當(dāng)當(dāng)r(A)=r(B)= n（未知量個數(shù)）時有唯一解（未知量個數(shù)）時有唯一解.當(dāng)當(dāng)r(A)=r(B) n 時有無窮多組解時有無窮多組解.此時通解的結(jié)構(gòu)為此時通解的結(jié)構(gòu)為:非齊次方程組的一個特解非齊次方程組的一個特解+導(dǎo)出組的通解導(dǎo)出組的通解.0,1)( 2121的解的解為對應(yīng)的齊次方程為對應(yīng)的齊次方程則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè) AxxbAxxx 證明證明 . 021 bbA . 021 Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA 21, 非齊次線性方程組解的性質(zhì)，由此可

4、得到非齊次線性方程組解的性質(zhì)，由此可得到解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)證明證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢證畢.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程則則的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程設(shè)設(shè)bAxxAxxbAxx 證明證明:解的存在性已說明解的存在性已說明.現(xiàn)在分兩步證明解的結(jié)構(gòu)現(xiàn)在分兩步證明解的結(jié)構(gòu).（1）當(dāng)）當(dāng)r(A)=r(B)= n（未知量個數(shù)）時（未知量個數(shù)）時,首先首先方程組的解已經(jīng)存在方程組的解已經(jīng)存在,設(shè)為設(shè)為X0 （特解）（特解）此時導(dǎo)出組此時導(dǎo)出組AX=0只有零解只有零解.如果（如果（*）還有其他解）還有其他解X1.由解的性質(zhì)（由解的性質(zhì)（1）知

5、）知X1-X0是導(dǎo)出組（是導(dǎo)出組（*）的解。矛盾）的解。矛盾（2）當(dāng)）當(dāng)r(A)=r(B) n（未知量個數(shù)）時（未知量個數(shù)）時,方程組方程組(*)的解也已經(jīng)存在的解也已經(jīng)存在,設(shè)為設(shè)為X0 （特解）（特解）設(shè)設(shè)是方程組的任一解是方程組的任一解.由解的性質(zhì)由解的性質(zhì)(2)知知 -X0是是(*)的解的解,故可以寫成故可以寫成:rnrnXkXkX110）的基礎(chǔ)解系。是（其中*,1rnXX011XXkXkrnrn齊通解齊通解特解特解例例 1: 求解非齊次方程組求解非齊次方程組1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)38

6、11119377A b 15111072440000000000 31 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 令令3142,xcxc則則112212314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）法法1：法法2： 令令, 043 xx得得 0074713 又原方程組對應(yīng)的齊次方程組的通解是又原方程組對應(yīng)的齊次方程組的通解是 432431747271373xxxxxx令令 10,0143xx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 1074713,01727321 所以原方程組的通解是所以原

7、方程組的通解是2211 kk 12(,k k為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）例例2：k取何值時有唯一解取何值時有唯一解,無窮多解或無解，無窮多解或無解，有無窮多解時求出通解有無窮多解時求出通解.1231232353218522kxxxxxkxkxx 解：解： 115,321850122kA bkk321851150122kkk 法法1： 23218542001251852 133330122kkkkkkk 22321 8501224151 400133333kkkkkk 時時，有有唯唯一一解解且且即即時時3, ,31,013134 12 nbArArkkkk .,3 )3(, 32,1 2無解無解時時

8、有無窮多解有無窮多解時時bArArkbArArk 法法2：系數(shù)矩陣是方陣時可以使用系數(shù)矩陣是方陣時可以使用.1132(1)(3)012kDkkk 2210131235111),(bA 000022103101有無窮多解，有無窮多解， 3231223xxxx 121023321cxxx即即當(dāng)當(dāng) 時，時，1k 當(dāng)當(dāng) 時，即時，即 且且 時，方程組有唯一解。時，方程組有唯一解。0D 1k 3k 時，時，當(dāng)當(dāng)3 k 221033235113),(bA 400022105113所以方程組無解。所以方程組無解。),()(bArAr 例3 問a、b為何值時，線性方程組 1232)3(122043214324

9、324321axxxxbxxaxxxxxxxx有唯一解、無解、有無窮多個解？并求出其唯一解和通解.解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換 112323101221001111abaB 010010100122101111aba這時原方程組有時當(dāng) , 4)()( ,1 ) 1 (BrAra唯一解為011132124321 xabxabaxaabx. 2)(1 )2(Ara時，當(dāng). ),(3)(, 1這時原方程組無解若ArBrb這時原方程有無窮若),(2)(, 1ArBrb組為且原方程組的同解方程多個解, 1221432431xxxxxx即 4324312211xxxxxx得原方程組通解為 4321xxxx

10、 0011 01211k 10212k),(21Rkk 特解，為非齊次線性方程組的其中T)0 , 0 , 1 , 1(*,01211 10212 為其對應(yīng)的齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系.為任意常數(shù)。，為通解，其中212211*kkkk思考題1 設(shè)s ,21為線性方程組Ax = 0的一一個基礎(chǔ)解系,3221222111 tttt 121 ttss ,其中21,tt為實常數(shù).試問21,tt滿足什么關(guān)系時, s ,21也為Ax = 0的一個一個基礎(chǔ)解系. 滿足的三個解向量方程組如果非齊次線性且矩陣是設(shè)321,.1,3 bAxArmA,32121 ,11032 10113 .的的通通解解求求bAx 思考題2解答 設(shè)s ,21為線性方程組Ax = 0的一一個基礎(chǔ)解系,3221222111 tttt 121 ttss ,其中21,tt為實常數(shù).試問21,tt滿足什么關(guān)系時, s ,21也為Ax = 0的一個一個基礎(chǔ)解系.解 由于), 2 , 1(sii 為s ,21的線性組合, 所以), 2 , 1(sii 均為Ax = 0的解. 設(shè)0 sskkk 2211即1211)( sktkt 22112)( ktkt 0 sssktkt )(112由于s ,21線性無關(guān), 因此有 000212211