1、專題五專題五 立體幾何立體幾何 第第1 1講講 平面的基本性質(zhì)及線、面的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)及線、面的位置關(guān)系1.1.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 （1 1）公理公理1 1 A A ，B B ，ABAB . . （2 2）公理）公理22P P , ,且且P P ， = =l l，且，且P Pl l. . （3 3）公理公理3 3 AA，B B，C C三點(diǎn)不共線，三點(diǎn)不共線，AA，B B，C C 確定確定 一個平面一個平面. . 三個推論：三個推論：過兩條相交直線有且只有一個平面過兩條相交直線有且只有一個平面. . 過兩條平行直線有且只有一個平面過兩條平行直線有且只有一個平面. .

2、 過一條直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面過一條直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面. .（4 4）公理公理4 4ac,bc,ab.ac,bc,ab. (5) (5)等角定理等角定理OAOOAO1 1A A1 1，OBOOBO1 1B B1 1， AOB=AAOB=A1 1O O1 1B B1 1或或AOB+AAOB+A1 1O O1 1B B1 1= =180180. .2 2. .直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)(1)線面平行的判定定理線面平行的判定定理aa ,b ,b ,ab, ,ab, a . a . (2) (2)線面平行的性質(zhì)定理線面平行的性質(zhì)定理a ,a

3、a ,a , =b, =b, ab. ab. (3) (3)面面平行的判定定理面面平行的判定定理aa ,b ,b ,ab=P,ab=P, a ,b , . a ,b , . (4) (4)面面平行的性質(zhì)定理面面平行的性質(zhì)定理 , =a, =b,ab. , =a, =b,ab. 3 3. .直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) （1 1）線面垂直的判定定理線面垂直的判定定理mm ,n ,n ,mn=P,mn=P, lm,ln,l . lm,ln,l . （2 2）線面垂直的性質(zhì)定理線面垂直的性質(zhì)定理a ,b ,ab.a ,b ,ab. （3 3）面面垂直的判定定理面面垂直的判

4、定定理aa ,a , .,a , . （4 4）面面垂直的性質(zhì)定理面面垂直的性質(zhì)定理 , =l, , =l, a a , al,a ., al,a .4.4.異面直線所成的角異面直線所成的角 （1 1）定義定義. . （2 2）范圍：范圍： ( (0 0, , . . （3 3）求法：先通過取中點(diǎn)或作平行線找到兩異面求法：先通過取中點(diǎn)或作平行線找到兩異面 直線所成的角，然后解含有這個角的三角形直線所成的角，然后解含有這個角的三角形. .若求若求 得的角為鈍角，則這個角的補(bǔ)角才為所求得的角為鈍角，則這個角的補(bǔ)角才為所求. .2 5.5.直線與平面所成的角直線與平面所成的角 （1 1）定義定義.

5、（2 2）范圍：范圍： 0 0, . （3 3）求法：先找到（或作出）過斜線上一點(diǎn)垂直求法：先找到（或作出）過斜線上一點(diǎn)垂直 于平面的直線，斜足與垂足的連線就是斜線在平于平面的直線，斜足與垂足的連線就是斜線在平 面內(nèi)的射影，該斜線與射影的夾角就是所求的線面內(nèi)的射影，該斜線與射影的夾角就是所求的線 面角，解這個角所在的直角三角形可得面角，解這個角所在的直角三角形可得.6.6.二面角二面角 （1 1）定義定義. （2 2）找二面角平面角的方法找二面角平面角的方法 定義法定義法.垂面法垂面法.垂線法垂線法.特殊圖形法特殊圖形法. 垂線法是最重要的方法，具體步驟如下：垂線法是最重要的方法，具體步驟如下

6、： a a.弄清該二面角及它的棱弄清該二面角及它的棱.2 b. b.考慮找一條過一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于另一個平考慮找一條過一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于另一個平 面的直線（往往先找垂面再找垂線）面的直線（往往先找垂面再找垂線）. . c. c.過這條垂線的兩個端點(diǎn)中的一個作二面角棱的垂過這條垂線的兩個端點(diǎn)中的一個作二面角棱的垂 線，連結(jié)垂足與另一個端點(diǎn)，所得到的角（或其補(bǔ)線，連結(jié)垂足與另一個端點(diǎn)，所得到的角（或其補(bǔ) 角）就是該二面角的平面角角）就是該二面角的平面角. . d. d.解這個角所在的直角三角形，可得到二面角的大解這個角所在的直角三角形，可得到二面角的大 小小. .7.7.唯一性定理唯一性定

7、理 （1 1）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線. . （2 2）過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面平行于已知平面）過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面平行于已知平面. . （3 3）過空間一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面）過空間一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面. . （4 4）過空間一點(diǎn)有且只有一個平面垂直于已知直線）過空間一點(diǎn)有且只有一個平面垂直于已知直線. .一、線線、線面的平行與垂直一、線線、線面的平行與垂直例例1 1 正三棱柱正三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)D D是是BCBC的中的中 點(diǎn)，點(diǎn)，BC= BBB

8、C= BB1 1，設(shè)，設(shè)B B1 1DBCDBC1 1=F.=F.求證：求證：（1 1）A A1 1CC平面平面ABAB1 1D D；（2 2）BCBC1 1平面平面ABAB1 1D.D. 思維啟迪思維啟迪 本題可先挖掘正三棱柱中本題可先挖掘正三棱柱中 有關(guān)的線面平行及垂直關(guān)系，第（有關(guān)的線面平行及垂直關(guān)系，第（1 1）問）問 可利用可利用“線線平行線線平行”或或“面面平行面面平行”， 第第（2 2）問可利用問可利用“線線垂直線線垂直”來證來證 “線面垂直線面垂直”. .2證明證明 （1 1）連結(jié)連結(jié)A A1 1B B，設(shè)，設(shè)A A1 1B B與與ABAB1 1交于交于E E，連結(jié)，連結(jié)DE.

9、DE.點(diǎn)點(diǎn)D D是是BCBC中點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)，點(diǎn)E E是是A A1 1B B中點(diǎn)，中點(diǎn)，DEADEA1 1C CAA1 1C C 平面平面ABAB1 1D D，DEDE平面平面ABAB1 1D D，AA1 1CC平面平面ABAB1 1D. D. (2)(2)ABCABC是正三角形，點(diǎn)是正三角形，點(diǎn)D D是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ADBC.ADBC.平面平面ABCABC平面平面B B1 1BCCBCC1 1，平面平面ABCABC平面平面B B1 1BCCBCC1 1=BC=BC，ADAD平面平面ABCABC，ADAD平面平面B B1 1BCCBCC1 1，BCBC1 1平面平面B B1 1BCCB

10、CC1 1，ADBCADBC1 1. .點(diǎn)點(diǎn)D D是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BC= BBBC= BB1 1，BD= BBBD= BB1 1. . ，RtRtB B1 1BDBDRtRtBCCBCC1 1. .BDBBDB1 1=BC=BC1 1C.C.FBD+BDF=CFBD+BDF=C1 1BC+BCBC+BC1 1C=C=9090. .BCBC1 1BB1 1D.BD.B1 1DAD=DDAD=D，BCBC1 1平面平面ABAB1 1D.D.探究提高探究提高 解決此類問題要注意線線平行（垂直）解決此類問題要注意線線平行（垂直）, ,線面平行（垂直）與面面平行（垂直）的相互轉(zhuǎn)化線面平行（垂

11、直）與面面平行（垂直）的相互轉(zhuǎn)化. .在解決線線平行、線面平行問題時，若題目中已出在解決線線平行、線面平行問題時，若題目中已出現(xiàn)了中點(diǎn)，可考慮在圖形中再取中點(diǎn)，構(gòu)造中位線現(xiàn)了中點(diǎn)，可考慮在圖形中再取中點(diǎn)，構(gòu)造中位線進(jìn)行證明進(jìn)行證明. .2222211BCCCBBBD 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 如圖所示，在直四棱柱如圖所示，在直四棱柱 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，已知中，已知DC=DDDC=DD1 1= = 2 2AD=AD=2 2ABAB，ADDCADDC，ABDC.ABDC.（1 1）求證：求證：D D1 1CACCAC1 1；（2 2）設(shè)設(shè)E E是是

12、DCDC上一點(diǎn)，試確定上一點(diǎn)，試確定E E的位置，的位置， 使使D D1 1EE平面平面A A1 1BDBD，并說明理由，并說明理由. .（1 1）證明證明 在直四棱柱在直四棱柱ABCDABCD- - A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，連結(jié)中，連結(jié)C C1 1D D， DCDC= =DDDD1 1， 四邊形四邊形DCCDCC1 1D D1 1是正方形是正方形. . DCDC1 1D D1 1C C. .又又ADDCADDC，ADDDADDD1 1，DCDDDCDD1 1=D=D，ADAD平面平面DCCDCC1 1D D1 1，D D1 1C C平面平面DCCDCC1 1D D

13、1 1，ADDADD1 1C.C.ADAD、DCDC1 1平面平面ADCADC1 1，且且ADDCADDC1 1=D,=D,DD1 1CC平面平面ADCADC1 1，又又ACAC1 1平面平面ADCADC1 1, ,DD1 1CACCAC1 1. .（2 2）解解 連結(jié)連結(jié)ADAD1 1，AEAE，設(shè)設(shè)ADAD1 1AA1 1D=MD=M，BDAE=NBDAE=N，連結(jié)連結(jié)MNMN，平面平面ADAD1 1EE平面平面A A1 1BD=MNBD=MN，要使要使D D1 1EE平面平面A A1 1BDBD，須使須使MNDMND1 1E E，又又MM是是ADAD1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，NN是是AEAE

14、的中點(diǎn)的中點(diǎn). .又易知又易知ABNABNEDNEDN，AB=DE.AB=DE.即即E E是是DCDC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .綜上所述，綜上所述，當(dāng)當(dāng)E E是是DCDC的中點(diǎn)時，可使的中點(diǎn)時，可使D D1 1EE平面平面A A1 1BD.BD. 二、二、面面平行與垂直面面平行與垂直 例例2 2 如圖所示，在正三棱柱如圖所示，在正三棱柱 ABC ABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，AAAA1 1=AB=AB， F F、F F1 1分別是分別是ACAC、A A1 1C C1 1的的 中點(diǎn)中點(diǎn). .求證：求證：（1 1）平面平面ABAB1 1F F1 1平面平面C C1 1BFBF；（2 2

15、）平面平面ABAB1 1F F1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1. . 思維啟迪思維啟迪 本題可以根據(jù)面面平行和垂直的判定定本題可以根據(jù)面面平行和垂直的判定定 理和性質(zhì)定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件理和性質(zhì)定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件. . 證明證明（1 1）在正三棱柱）在正三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中， F F、F F1 1分別是分別是ACAC、A A1 1C C1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， B B1 1F F1 1BFBF，AFAF1 1C C1 1F F. . 又又B B1 1F F1 1AFAF1 1=F=F1 1，BFCBFC1 1F=FF=F，

16、 B B1 1F F1 1、AFAF1 1面面ABAB1 1F F1 1，BFBF、C C1 1F F面面C C1 1BFBF， 平面平面ABAB1 1F F1 1平面平面C C1 1BF.BF.（2 2）在正三棱柱在正三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中， AAAA1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，F(xiàn) F1 1是是A A1 1C C1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). . B B1 1F F1 1AAAA1 1，B B1 1F F1 1AA1 1C C1.1.又又AA1 1C C1 1AAAA1 1=A=A1 1， BB1 1F F1 1平面平面ACCACC1 1A

17、 A1 1，而，而B B1 1F F1 1平面平面ABAB1 1F F1 1， 平面平面ABAB1 1F F1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1. . 探究提高探究提高 （1 1）要證兩平面平行，常根據(jù)：）要證兩平面平行，常根據(jù)：“如如 果一個平面內(nèi)有兩相交直線分別和另一平面平行，果一個平面內(nèi)有兩相交直線分別和另一平面平行， 那么這兩個平面平行那么這兩個平面平行”或或“一個平面內(nèi)兩相交直線一個平面內(nèi)兩相交直線 分別與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，那么這兩個平分別與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，那么這兩個平 面平行面平行”，還可以利用線面垂直的性質(zhì)，即，還可以利用線面垂直的性質(zhì)，即“垂直垂直 于

18、同一條直線的兩個平面平行于同一條直線的兩個平面平行”. .（2 2）要證明兩平面垂直，常根據(jù)）要證明兩平面垂直，常根據(jù)“如果一個平面經(jīng)如果一個平面經(jīng) 過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直”. .從從 解題方法上說，由于線線垂直、線面垂直、面面垂解題方法上說，由于線線垂直、線面垂直、面面垂 直之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個解題過程始終沿著直之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個解題過程始終沿著 線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化途徑進(jìn)行線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化途徑進(jìn)行. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 （20092009江蘇，江蘇，1616）如圖，）如圖， 在直三棱

19、柱在直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中E E、F F分別是分別是 A A1 1B B、A A1 1C C的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)D D在在B B1 1C C1 1上，上，A A1 1D D B B1 1C C. .求證：（求證：（1 1）EFEF平面平面ABCABC； （2 2）平面）平面A A1 1FDFD平面平面BBBB1 1C C1 1C C. . 證明證明 （1 1）由由E E、F F分別是分別是A A1 1B B、A A1 1C C的的 中點(diǎn)知中點(diǎn)知EFBC.EFBC. 因?yàn)橐驗(yàn)镋FEF平面平面ABC,BCABC,BC平面平面ABC.ABC. 所以所以EFEF平

20、面平面ABC.ABC.（2 2）由三棱柱由三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1為直三棱柱為直三棱柱 知知CCCC1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1. . 又又A A1 1D D平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，故，故CCCC1 1AA1 1D.D. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳 A1 1DBDB1 1C C，CCCC1 1BB1 1C=C,CCC=C,CC1 1、B B1 1C C平面平面 BBBB1 1C C1 1C C，故，故A A1 1DD平面平面BBBB1 1C C1 1C C，又，又A A1 1D D平面平面 A A1 1FDFD，所以平面，所以平面A

21、 A1 1FDFD平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.三、三、平面圖形的折疊問題平面圖形的折疊問題例例3 3 （20092009茂名模擬）已知四邊形茂名模擬）已知四邊形ABCDABCD是等是等 腰梯形，腰梯形，AB=AB=3 3，DC=DC=1 1，BAD=BAD=4545，DEAB DEAB （如圖（如圖1 1）. .現(xiàn)將現(xiàn)將ADEADE沿沿DEDE折起，使得折起，使得AEEB AEEB （如圖（如圖2 2）, ,連結(jié)連結(jié)ACAC，ABAB，設(shè)，設(shè)MM是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn). . （1 1）求證：求證：BCBC平面平面AECAEC； （2 2）判斷直線判斷直線EMEM是否平行平面是否

22、平行平面ACDACD，并說明，并說明 理由理由. . 思維啟迪思維啟迪 （1 1）在梯形在梯形DEBCDEBC中，用數(shù)量關(guān)系證明中，用數(shù)量關(guān)系證明 BCEC.BCEC.（2 2）可用反證法，假設(shè)可用反證法，假設(shè)EMEM平面平面ACDACD，可推出矛，可推出矛 盾盾. .證明證明 （1 1）在圖在圖1 1中，過中，過C C作作CFEBCFEB垂足為垂足為F F，DEEBDEEB，四邊形四邊形CDEFCDEF是矩形是矩形. . CD=CD=1 1，EF=EF=1 1. .四邊形四邊形ABCDABCD是等腰梯形，是等腰梯形，AB=AB=3 3，AE=BF=AE=BF=1 1. .BAD=BAD=45

23、45， DE=CF= DE=CF=1 1. . 連結(jié)連結(jié)CECE，則，則CE=CB= .CE=CB= . EB= EB=2 2，BCE=BCE=9090. . 即即BCCE.BCCE. 在圖在圖2 2中，中，AEEBAEEB，AEEDAEED，EBED=EEBED=E， AEAE平面平面BCDE.BCDE. BC BC平面平面BCDEBCDE， AEBC.AEBC. AECE=E AECE=E， BCBC平面平面AEC.AEC. （2 2）用反證法）用反證法. . 假設(shè)假設(shè)EMEM平面平面ACD.ACD.2 EBCD EBCD，CDCD平面平面ACDACD，EBEB平面平面ACD,ACD, E

24、B EB平面平面ACD.ACD. EBEM=E EBEM=E， 平面平面AEBAEB平面平面ACD.ACD. 而而AA平面平面AEBAEB且且AA平面平面ACDACD，與平面，與平面AEBAEB平面平面 ACD ACD 矛盾矛盾. . 假設(shè)不成立假設(shè)不成立.EM.EM與平面與平面ACDACD不平行不平行. . 探究提高探究提高 （1 1）解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是）解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是 搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線 段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化， 抓住不變量是解決問題

25、的突破口抓住不變量是解決問題的突破口. .（2 2）在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，）在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形， 既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 如圖如圖，長方形，長方形ABCDABCD中，中，BC= BC= ，ABAB = =6 6，把它折成正三棱柱的側(cè)面（如圖，把它折成正三棱柱的側(cè)面（如圖），使），使AD AD 與與BCBC重合，長方形的對角線重合，長方形的對角線ACAC與折痕線與折痕線EFEF、GHGH分分 別交于別交于MM、N N，連接，連接AN.AN.（1 1）求多面體求多面體A

26、MNDAMND的體積；的體積；（2 2）求證：平面求證：平面DMNDMN側(cè)面?zhèn)让鍭DFE.ADFE.3 （1 1）解解 由題知，長方形被折成正三棱柱，由題知，長方形被折成正三棱柱， 故故AE=EG=GA=AE=EG=GA=2 2，AD=AD=3 3. . 如圖，由于如圖，由于AEG-DFHAEG-DFH是正三棱柱，是正三棱柱， EFEF平面平面AGHD.AGHD. M M與與E E到平面到平面AGHDAGHD的距離相等的距離相等. . 取取AGAG的中點(diǎn)的中點(diǎn)Q Q，連接，連接EQEQ，則，則EQEQ平面平面AGHD.AGHD. 正三角形正三角形AEGAEG的邊長為的邊長為2 2.EQ= .E

27、Q= . 又又S SANDAND= = 2 2 = . = . V VM-ANDM-AND= = = =1 1. . 所以多面體所以多面體AMNDAMND的體積為的體積為1 1. .（2 2）證明證明 如圖，取如圖，取AEAE、DFDF的中點(diǎn)的中點(diǎn)K K、L L，連接，連接KL KL 交交DM DM 于于O O，連接，連接NONO，過，過N N作作NPHFNPHF交交EFEF于于P.P.213331333在在RtRtDHNDHN與與RtRtNPMNPM中，中，DH=NP=2DH=NP=2，NH=MP= NH=MP= . .RtRtDHNDHNRtRtNPMNPM，DN=NM.DN=NM.又又K

28、 K、L L分別為分別為AEAE、DFDF的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OLMFOLMF，OO為為DMDM的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，NODM.NODM.而而OL MF NHOL MF NH，且，且NHHLNHHL，四邊形四邊形NHLONHLO是矩形是矩形.NOKL.NOKL.又又DMKL=ODMKL=O，NONO平面平面ADFE.ADFE.而而NO NO 平面平面DNM,DNM,平面平面DMNDMN側(cè)面?zhèn)让鍭DFE.ADFE.3321規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)1.1.線線、線面、面面的平行與垂直的關(guān)系可以通過線線、線面、面面的平行與垂直的關(guān)系可以通過下列形式轉(zhuǎn)化下列形式轉(zhuǎn)化. .在證明平行或垂直的問題中，認(rèn)真體會在證明

29、平行或垂直的問題中，認(rèn)真體會“轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化”這這一數(shù)學(xué)思想方法一數(shù)學(xué)思想方法. .不僅要領(lǐng)悟不僅要領(lǐng)悟“平行平行”“”“垂直垂直”內(nèi)部內(nèi)部間的轉(zhuǎn)化，還要注意平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系間的轉(zhuǎn)化，還要注意平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系. .2.2.弄清各類問題的關(guān)鍵點(diǎn)，把握問題的層次，重視弄清各類問題的關(guān)鍵點(diǎn)，把握問題的層次，重視容易忽視的問題，如證平行時，由于過分強(qiáng)調(diào)線線、容易忽視的問題，如證平行時，由于過分強(qiáng)調(diào)線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化，而忽視由垂直關(guān)系證平行線面、面面平行的轉(zhuǎn)化，而忽視由垂直關(guān)系證平行關(guān)系；證垂直時，同樣忽視由平行關(guān)系來證明和利關(guān)系；證垂直時，同樣忽視由平行關(guān)系來證明和利用勾股定理計算證

30、明用勾股定理計算證明. .3.3.圖形的展開、折疊、切割在考查空間想象能力方圖形的展開、折疊、切割在考查空間想象能力方面有著不可比擬的優(yōu)勢，解決此類問題的關(guān)鍵是弄面有著不可比擬的優(yōu)勢，解決此類問題的關(guān)鍵是弄清圖形變化前后的點(diǎn)、線、面的對應(yīng)關(guān)系，并分析清圖形變化前后的點(diǎn)、線、面的對應(yīng)關(guān)系，并分析清楚變化前后點(diǎn)、線、面的位置變化清楚變化前后點(diǎn)、線、面的位置變化. .一、選擇題一、選擇題1.1.（20092009江西文，江西文，9 9）如圖，在四面體）如圖，在四面體ABCDABCD中，中，若截面若截面PQMNPQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的是正方形，則在下列命題中，錯誤的為為 （ ） A.A

31、.ACACBDBD B. B.ACAC截面截面PQMNPQMN C. C.ACAC= =BDBD D. D.異面直線異面直線PMPM與與BDBD所成的角為所成的角為4545 解析解析 截面截面PQMNPQMN為正方形，為正方形，PQPQMNMN，PQPQ平面平面DACDAC. .又又面面ABCABC面面ADCADC= =ACAC， PQPQ面面ABC ABC PQPQA AC C， 同理可證同理可證QMQMBDBD. .故有選項(xiàng)故有選項(xiàng)A A、B B、D D正確正確,C,C錯誤錯誤. .C2.2.設(shè)設(shè)m m、n n是不同的直線，是不同的直線， 、 、 是不同的平是不同的平 面，有以下四個命題：

32、面，有以下四個命題： m m m m m mn n m m n n 其中，真命題是其中，真命題是 （ ） A.A. B. B. C. C. D. D. m mm m解析解析 正確，平行于同一個平面的兩個平面平行；正確，平行于同一個平面的兩個平面平行；錯誤，由線面平行、垂直定理知：錯誤，由線面平行、垂直定理知：m m不一定不一定垂直于垂直于 ；正確，由線面平行，垂直關(guān)系判斷正正確，由線面平行，垂直關(guān)系判斷正確；確；錯誤，錯誤，m m也可能在也可能在 內(nèi)內(nèi). .綜上所述，正確的綜上所述，正確的命題是命題是，故選，故選C.C.答案答案 C C3.3.（20092009山東理，山東理，5 5）已知）已

33、知 ， 表示兩個不同的表示兩個不同的 平面，平面，m m為平面為平面 內(nèi)的一條直線，則內(nèi)的一條直線，則“ “ ” ” 是是“m m ” ”的的 （ ） A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件 C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 由平面與平面垂直的判定定理知如果由平面與平面垂直的判定定理知如果m m為為 平面平面 內(nèi)的一條直線，內(nèi)的一條直線，m m , ,則則 , ,反過來反過來 則不一定則不一定. .所以所以“ “ ” ”是是“m m ” ”的必要的必要 不充分條件不充分條件. .B4.4.已知直線已知直線l

34、 l、m m，平面，平面 、 ，且，且l l ，m m ， 給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)為（給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)為（ ） 若若 ，則，則l lm m 若若l lm m，則，則 若若 ，則，則l lm m 若若l lm m，則，則 A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 l l , , , , l l . . l lm m. . l l , ,l lm m,m m . . 又又m m , ., . 可知可知正確，正確，錯誤錯誤. .故選故選B.B.B5.5.已知平面已知平面 平面平面 , =, =l l，點(diǎn)，點(diǎn)A A ， A A l l，

35、直線，直線ABABl l，直線，直線ACACl l，直線，直線m m ， m m ，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立 的是的是 （ ） A.A.ABABm m B. B.ACACm m C. C.ABAB D. D.ACAC 解析解析 如圖所示的正方體中如圖所示的正方體中, ,平面平面OCMNOCMN為平面為平面 . . 平面平面AOBAOB為平面為平面 . .此時此時ACAC與平面與平面 不垂直不垂直. .D二、填空題二、填空題6 6. .如圖所示，在直三棱柱如圖所示，在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1 中，底面為直角三角形，中，底

36、面為直角三角形，ACB=ACB=9090， AC=AC=6 6，BC=CCBC=CC1 1= = ，P P是是BCBC1 1上一動點(diǎn)，上一動點(diǎn)， 則則CP+PACP+PA1 1的最小值是的最小值是 . . 解析解析 將將BCCBCC1 1沿沿BCBC1 1線折到面線折到面A A1 1C C1 1B B上，如圖上，如圖. . 連結(jié)連結(jié)A A1 1C C即為即為CP+PACP+PA1 1的最小值，過點(diǎn)的最小值，過點(diǎn)C C作作CDCCDC1 1D D 于于D D點(diǎn)，點(diǎn)，BCCBCC1 1為等腰直角三角形，為等腰直角三角形， CD=CD=1 1，C C1 1D=D=1 1，A A1 1D=AD=A1

37、1C C1 1+C+C1 1D=D=7 7. . A A1 1C= = .C= = .22525149221CDDA7.7.（20092009浙江理，浙江理，1717）如圖，在長方形）如圖，在長方形ABCDABCD中，中， AB=AB=2 2，BC=BC=1 1，E E為為DCDC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，F(xiàn) F為線段為線段ECEC（端（端 點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)，現(xiàn)將AFDAFD沿沿AFAF折起，使平折起，使平 面面ABDABD平面平面ABCABC，在平面，在平面ABDABD內(nèi)過點(diǎn)內(nèi)過點(diǎn)D D作作DKDK AB AB，K K為垂足，設(shè)為垂足，設(shè)AK=t,AK=t,則則t t的取值范圍是

38、的取值范圍是 . . 解析解析 如圖，在平面如圖，在平面ADFADF內(nèi)過內(nèi)過D D作作DHAFDHAF，垂足為，垂足為H H，連結(jié)，連結(jié)HKHK，過，過F F點(diǎn)作點(diǎn)作PFBCPFBC交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)P.P.設(shè)設(shè)FAB= FAB= ，則，則coscos . .設(shè)設(shè)DF=xDF=x，則，則1 1xx2 2.DK.DK平面平面ABCABC，DHAFDHAF，則，則AHHK.AHHK.在在RtRtADFADF中，中，AF= ,DH= .AF= ,DH= .ADFADF和和APFAPF都是直角三角形，都是直角三角形，PF=ADPF=ADRtRtADFADFRtRtAPFAPF，AHAH= ,= ,A

39、PAP= =DF=xDF=x. .在在RtRtAHKAHK中，中，coscos552,2221x221xx211x,AKAHAFAPAPFcos,Rt中在.1,111cos22txxxtx. 12121121t，t，x，ttttx552122,5521122222即. 121, 2145.54112122ttt即答案1 ,218.(20098.(2009江西文，江西文，14)14)體積為體積為8 8的一個正方體，其全的一個正方體，其全面積與球面積與球O O的表面積相等，則球的表面積相等，則球O O的體積等的體積等于于 . . 解析解析 設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為a a，球半徑為，球半徑為r

40、r. . a a3 3=8,=8,a a=2,4=2,4r r2 2=6=6a a2 2, ,6868)6(34,63球Vr三、解答題三、解答題9.9.（20092009廣東理，廣東理，1818）如圖，已知正方體）如圖，已知正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為2 2，點(diǎn)，點(diǎn)E E是正方形是正方形BCCBCC1 1B B1 1的中心，的中心，點(diǎn)點(diǎn)F F、G G分別是棱分別是棱C C1 1D D1 1、AAAA1 1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E E1 1、G G1 1分別是點(diǎn)分別是點(diǎn)E E、G G在平面在平面DCCDCC1 1D D1 1內(nèi)的正投影內(nèi)

41、的正投影. . (1) (1)求以求以E E為頂點(diǎn)，以四邊形為頂點(diǎn)，以四邊形FGAEFGAE在平面在平面DCCDCC1 1D D1 1內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積； （2 2）證明：直線）證明：直線FGFG1 1平面平面FEEFEE1 1； （3 3）求異面直線）求異面直線E E1 1G G1 1與與EAEA所成角所成角 的正弦值的正弦值. . (1) (1)解解 點(diǎn)點(diǎn)A A、E E、G G、F F在平面在平面DCCDCC1 1D D1 1的投影分別的投影分別為點(diǎn)為點(diǎn)D D、E E1 1、G G1 1、F F，連結(jié)，連結(jié)EFEF、EEEE1 1、EGEG1 1、EDED. .則則 (2)(2)證明證明 點(diǎn)點(diǎn)E E在