1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、選擇題(18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.)(1) 極限 ( )(A) 1. (B) . (C) . (D) .(2) 設函數(shù),由方程確定,其中為可微函數(shù),且,則( )(A) . (B) . (C) . (D) .(3) 設是正整數(shù),則反常積分的收斂性 ( )(A) 僅與的取值有關. (B)僅與的取值有關.(C) 與取值都有關. (D) 與取值都無關.(4) ( )(A) . (B) .(C) . (D) . (5) 設為矩陣,

2、為矩陣,為階單位矩陣,若,則 ( )(A) 秩,秩. (B) 秩,秩. (C) 秩,秩. (D) 秩,秩.(6) 設為4階實對稱矩陣,且,若的秩為3,則相似于 ( )(A) . (B) .(C) . (D) .(7) 設隨機變量的分布函數(shù),則= ( )(A) 0. (B) . (C) . (D) .(8) 設為標準正態(tài)分布的概率密度,為上均勻分布的概率密度,若,為概率密度,則應滿足 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .二、填空題(914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9) 設 求. (10) .(11) 已知曲線的方程為,起點是,終點是,則曲線積分

3、.(12) 設,則的形心的豎坐標.(13) 設,若由生成的向量空間的維數(shù)是2,則.(14) 設隨機變量的概率分布為,則= .三、解答題(1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求微分方程的通解(16)(本題滿分10分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.(17)(本題滿分10分) (I)比較與的大小,說明理由；(II)記,求極限.(18)(本題滿分10分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).(19)(本題滿分10分)設為橢球面上的動點,若在點處的切平面與面垂直,求點的軌跡,并計算曲面積分,其中是橢球面位于曲線上方的部分.(20)(本題

4、滿分11分)設,已知線性方程組存在兩個不同的解.( I ) 求,；( II ) 求方程組的通解.(21)(本題滿分11 分)已知二次型在正交變換下的標準形為,且的第三列為.( I ) 求矩陣；( II ) 證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.(22)(本題滿分11分)設二維隨機變量的概率密度為,求常數(shù)及條件概率密度(23) (本題滿分11分)設總體的概率分布為123其中參數(shù)未知,以表示來自總體的簡單隨機樣本(樣本容量為)中等于的個數(shù)().試求常數(shù),使為的無偏估計量,并求的方差.2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題參考答案一、選擇題(1)【答案】 (C).【解析】本題屬于未定式求極限,

5、極限為型,故可以用“的抬起法”求解,其中又因為故原式極限為,所以應該選擇(C).(2)【答案】 (B).【解析】,(3) 【答案】 (D).【解析】與都是瑕點.應分成,用比較判別法的極限形式,對于,由于.顯然,當,則該反常積分收斂.當,存在,此時實際上不是反常積分,故收斂.故不論是什么正整數(shù),總收斂.對于,取,不論是什么正整數(shù),所以收斂,故選(D).(4)【答案】 (D).【解析】.(5)【答案】 (A).【解析】由于,故.又由于,故 由于為矩陣,為矩陣,故 由、可得,故選A. (6)【答案】 (D).【解析】設為的特征值,由于,所以,即,這樣的特征值只能為-1或0. 由于為實對稱矩陣,故可相

6、似對角化,即,因此,即.(7) 【答案】 (C).【解析】離散型隨機變量的分布函數(shù)是跳躍的階梯形分段函數(shù),連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).觀察本題中的形式,得到隨機變量既不是離散型隨機變量,也不是連續(xù)型隨機變量,所以求隨機變量在一點處的概率,只能利用分布函數(shù)的定義.根據(jù)分布函數(shù)的定義,函數(shù)在某一點的概率可以寫成兩個區(qū)間內(nèi)概率的差,即,故本題選(C).(8)【答案】 (A).【解析】根據(jù)題意知,(),利用概率密度的性質(zhì):,故所以整理得到,故本題應選(A).二、填空題(9) 【答案】0.【解析】因為 ,所以.(10)【答案】 .【解析】令,利用分部積分法,原式.(11) 【答案】.【解析】 (

7、12) 【答案】.【解析】 .(13)【答案】.【解析】因為由生成的向量空間維數(shù)為2,所以. 對進行初等行變換：所以. (14) 【答案】.【解析】利用離散型隨機變量概率分布的性質(zhì),知,整理得到,即.故服從參數(shù)為的泊松分布,則,根據(jù)方差的計算公式有.三、解答題(15)【解析】對應齊次方程的特征方程為,解得特征根,所以對應齊次方程的通解為設原方程的一個特解為,則,代入原方程,解得,故特解為故方程的通解為(16)【解析】因為,所以,令,則.又,則,所以是極大值.而,所以為極小值.又因為當時,；時,；時,；時,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為.(17)【解析】 (I)當時,故,所以,則 .(I

8、I) ,故由,根據(jù)夾逼定理得,所以.(18)【解析】 (I) ,所以,當,即時,原級數(shù)絕對收斂.當時,原級數(shù)發(fā)散,因此冪級數(shù)的收斂半徑.當時,由萊布尼茲判別法知,此級數(shù)收斂,故原級數(shù)的收斂域為.(II) 設,其中令,所以有 ,從而有 ,故 ,.在上是連續(xù)的,所以在收斂域上是連續(xù)的.所以,.(19)【解析】 ( I )令,故動點的切平面的法向量為,由切平面垂直,故所求曲線的方程為.( II ) 由 消去,可得曲線在平面上的投影曲線所圍成的上的區(qū)域,由,由,故.(20)【解析】因為方程組有兩個不同的解,所以可以判斷方程組增廣矩陣的秩小于3,進而可以通過秩的關系求解方程組中未知參數(shù),有以下兩種方法.

9、方法1：( I )已知有2個不同的解,故,對增廣矩陣進行初等行變換,得當時,此時,故無解(舍去)當時,由于,所以,故 ,. 方法2：已知有2個不同的解,故,因此,即,知或-1. 當時,此時,無解,因此.由,得. ( II ) 對增廣矩陣做初等行變換可知原方程組等價為,寫成向量的形式,即.因此的通解為 ,其中為任意常數(shù). (21)【解析】 ( I )由于二次型在正交變換下的標準形為,所以的特征值為. 由于的第3列為,所以對應于的特征向量為,記為. 由于是實對稱矩陣,所以對應于不同特征值的特征向量是相互正交的,設屬于的特征向量為,則,即. 求得該方程組的基礎解系為,因此為屬于特征值的兩個線性無關的特征向量. 由于是相互正交的,所以只需單位化：. 取,則,且,故 . ( II )也是實對稱矩陣,的特征值為1,1,0,所以的特征值為2,2,1,由于的特征值全大于零,故是正定矩陣. (22)【解析】當給出二維