1、§向量法求二面角例1（2010江西卷20）如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面所成的角的大小； （2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.練習(xí)：1.若二面角的兩個半平面的法向量分別為和，則這個二面角的余弦值是（ ） A.0 B. C. D. 2.（2011年全國新課標(biāo)）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD； ()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。課后作業(yè)：1. .如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD.底面ABCD為邊長是1的正方形，PA1，求平面

2、PCD與平面PAB夾角的大小為_2. 如圖，正方體的棱長為1，求：(1)與所成的角； (2)與平面所成角的正切值；(3)平面與平面所成的角4. (2011·遼寧)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ； (2)求二面角Q ­BP­C的余弦值5. (2012·天津改編)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45°，PAAD2，AC1.(1)證明：PCAD； (2)求二面角A-PC-D的正弦值 6.7. .正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的

3、高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如圖)在圖中求平面ABD與平面EFD所成二面角8. 如圖，三棱錐PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB.（1）求證：AB平面PCB；（2）求異面直線AP與BC所成角的大?。?（3）求二面角CPAB的大小.(2012·天津改編)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45°，PAAD2，AC1.(1)證明：PCAD；(2)求二面角A-PC-D的正弦值審題視點(diǎn) 建立空間坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解解如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直

4、角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，0，P(0,0,2)(1)證明：易得(0,1，2)，(2,0,0)于是·0，所以PCAD.(2)(0,1，2)，(2，1,0)設(shè)平面PCD的法向量n(x，y，z)，則即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n.從而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值為.23.如圖，四棱錐PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.點(diǎn)E在棱PA上，且PE2EA.(1)求證：PC平面EBD；(2)求平面PCD與平面PAB所

5、成的角的大小(用反三角函數(shù)表示)課后作業(yè):4.5. 6.(2010·安徽·理，18)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90°，BFFC，H為BC的中點(diǎn)(1)求證：FH平面EDB； (2)求證：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小7. 8. (2012·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60°，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF. (1)求證：BD平面AED；(2)求二面角F ­ BD­ C的余弦值例如圖，三棱錐PABC

6、中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB.（1）求證：AB平面PCB；（2）求異面直線AP與BC所成角的大??； （3）求二面角CPAB的大小.解解：（1）PC平面ABC，AB平面ABC， PCABCD平面PAB，AB平面PAB，OCAB又PCCD=C，AB平面PCB（2）由（1）AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.則A（0，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）。則異面直線AP與BC所成的角為（3）設(shè)平面PAB的法向量為則即解得令z=1，得設(shè)平面PAC的法向量為則解得令【防范措施】

7、正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補(bǔ)，一個指向內(nèi)另一個指向外則相等【示例】 (2011·遼寧)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角Q ­BP­C的余弦值實(shí)錄如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長度，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.(1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0，2,0)則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以·0，·0.即PQDQ，PQDC.又DQDCD，故PQ平面DCQ.又P

8、Q平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.錯因如圖平面BPC，與平面BPQ的法向量分別為n(0,1,2)，m(1,1,1)，設(shè)二面角Q ­BP­C的大小為，則m，n，m，n(2)依題意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即令y1，則n(0,1,2)同理，設(shè)m是平面PBQ的法向量，則可取m(1,1,1)，所以cosm，n.故二面角Q ­BP­C的余弦值為.正解(1)見實(shí)錄(2)依題意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即因此可取n(0，1，2)設(shè)m

9、是平面PBQ的法向量，則可取m(1,1,1)，所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值為.18（本小題滿分12分）如圖，（I）求證：（II）21（2013年高考湖南卷（理）如圖5,在直棱柱,.(I)證明:; (II)求直線所成角的正弦值.【答案】解: () . (證畢) () . 考試?yán)?如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，且 ,側(cè)面底面，且三角形為等腰直角三角形，,是的中點(diǎn).（）求證; PDMBCA（）求異面直線與所成角的余弦值;（）求二面角的余弦值.,5.已知是圓的直徑，且，垂直圓所在的平面，且，是圓上一點(diǎn)，且.求二面角的大小。24、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分

10、別是棱BC,CC1上的點(diǎn)，CF=AB=2CE，AB:AD:AA=1:2:4.（1）求異面直線EF與A1D1所成角的余弦值；（2）證明AF平面A1ED；（3）求二面角A1-ED-F的正弦值。例3（2010江西卷20）如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面所成的角的大小；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.例3解：怎樣用坐標(biāo)法求直線和平面所成的角？例3的第（1）問如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成的角的大小為，平面是平面BCD的一個法向量故點(diǎn)A坐標(biāo)：（0，0，）點(diǎn)B坐標(biāo)：（0，0，0）點(diǎn)M坐標(biāo)：（，）（注明：先作MOCD于O，過點(diǎn)C作CEBD于E，CGy軸于G，

11、過點(diǎn)O作OFBD于F，OHy軸于H，再利用坐標(biāo)定義求出點(diǎn)M坐標(biāo)）于是，（0，0，） 5.（2011年全國新課標(biāo)）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。2.如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD.底面ABCD為邊長是1的正方形，PA1，求平面PCD與平面PAB夾角的大小3.在底面是一直角梯形的四棱錐SABCD中，ADBC，ABC90°，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求面SCD與面SBA所成的角4.如圖，四棱錐PABCD中，PB底面A

12、BCD，CDPD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.點(diǎn)E在棱PA上，且PE2EA.(1)求證：PC平面EBD；(2)求平面PCD與平面PAB所成的角的大小(用反三角函數(shù)表示)5.正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如圖)在圖中求平面ABD與平面EFD所成二面角6.如圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC。已知， ，。求二面角的大小。 7.(2009·山東)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2

13、，AA12，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)(1)證明：直線EE1平面FCC1；(2)求二面角BFC1C的余弦值3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E、F分別是AD，PC的中點(diǎn)。（1）證明：PC平面BEF；（2）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。4. 如圖，在直三接柱中， （1）證明：； （2）求二面角的大小。(2012·全國理)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC.(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90°，求PD

14、與平面PBC所成角的大小(1)由可得FCEPCA，則FEC90°，易得PCEF、PCBD. (2)作AGPB于G，由二面角APBC為90°，易得底面ABCD為正方形，可得AD面PBC，則點(diǎn)D到平面PCB的距離dAG，找出線面角求解即可也可利用法向量求解，思路更簡單，但計(jì)算量比較大法一(1)證明因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.設(shè)ACBDF，連接EF.因?yàn)锳C2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，F(xiàn)C，從而，.因?yàn)?，F(xiàn)CEPCA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90°，由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂

15、直，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AGPB，G為垂足因?yàn)槎娼茿PBC為90°，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，則sin .所以PD與平面PBC所成的角為30°.法二(1)證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立

16、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.C(2，0,0)，設(shè)D(，b,0)，其中b0，則P(0,0,2)，E，0，B(，b,0)于是(2，0，2)，b，b，從而·0，·0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)解(0,0,2)，(，b,0)設(shè)m(x，y，z)為平面PAB的法向量，則m·0，m·0，即2z0且xby0，令xb，則m(b，0)設(shè)n(p，q，r)為平面PBC的法向量，則n·0，n·0，即2p2r0且bqr0，令p1，則r，q，n1，.因?yàn)槊鍼AB面PBC，故m·n0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)cosn，n，60°.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和n，互余，故PD與平面PBC所成的角為30°.(2012·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60°，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：BD平面AED；(2)求二面角F ­ BD­ C的余弦值(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，ABCD，DAB60°，所以ADCBCD120°.又CBCD，所以CDB30°，因此ADB90°，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE