1、幾何變換平移變換定義設(shè)PQ是一條給定的有向線段,T是平面上的一個變換,它把平面圖形F上任一點X變到X ；使得 j：=- ，貝U T叫做沿有向線段 PQ的平移變換。記為 X 丫旳了 X ；圖形T(PQ)2.主要性質(zhì) 在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等，直線變?yōu)橹本€，三角形變?yōu)槿切?，圓變?yōu)閳A。兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等。二、軸對稱變換1 . 定義 設(shè)I是一條給定的直線，S是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X'；使得X與X關(guān)于直線I對稱，則S叫做以I為對稱軸的軸對稱變換。記為X 一 X'；圖2 .主要性質(zhì)在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）

2、或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分。三、旋轉(zhuǎn)變換1 . 定義設(shè)a是一個定角，0是一個定點，R是平面上的一個變換，它把點 0仍變到0 （不 動點）；而把平面圖形F上任一點X變到X'；使得OX' =0X ；且/ XOX =%,貝卩R叫做繞中心0； 旋轉(zhuǎn)角為a的旋轉(zhuǎn)變換。記為 X " ' X ；圖形F亠匕F'。其中a <0時，表示/ XOX'的始邊0X到終邊0X的旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向；a >0時，為逆時針方向。2 .主要性質(zhì) 在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。四、位似變換1 . 定義設(shè)0是一個定點

3、，H是平面上的一個變換，它把平面圖形 F上任一點X變到X ； 使得=k_-'-，則H叫做以0為位似中心，k為位似比的位似變換。記為 X 1:X'； 圖形FF'。其中k>0時，X'在射線0X上，此時的位似變換叫做外位似；k<0時，X在射線0X的反向延長線上，此時的位似變換叫做內(nèi)位似。2 .主要性質(zhì) 在位似變換下，一對位似對應(yīng)點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的

4、平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點；兩對應(yīng)圓 相切時切點為位似中心。例1 P是平行四邊形 ABCD內(nèi)一點，且/ PAB= / PCB。求證：/ PBA= / PDA。風(fēng)平三角形”中，AA =BB ' =CC =2 / AOB'= / BOC =60°。求證:SA AOB' + SA BOC + SA COA'v 、3。例3在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。例4 P是O O的弦AB的中點，過P點引O O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M ,連結(jié)CF 交AB于N。求證：MP=NP。（蝴蝶定理）例5 O

5、O是給定銳角/ ACB內(nèi)一個定圓，試在O 得厶PQR的周長為最小。例6 ABC 中，/ A>90° AD丄BC 于 D , PQR是它的任一內(nèi)接三角形。求證:PQ+QR+RP>2AD。例7 以厶ABC的邊AB、AC為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB、AQC , M是BC的中點。求證：MP=MQ , MP 丄 MQ。例8 已知0是厶ABC內(nèi)一點，/ AOB= / BOC= / COA=120 ; P是厶ABC內(nèi)任一點，求證:PA+PB+PO OA+OB+OC。（0 為費馬點）例9 O 0與厶ABC的三邊 BC、CA、AB分別交于點 A1、A2、B1、B2、C1、C2，過上述六 點分別作所在邊的垂線al、a2、bl、b2、，設(shè)al、b2、cl三線相交于一點D。求證：a2、bl