1、向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用基本知識(shí)：1. 向量加法的定義及向量加法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；2. 向量減法的定義及向量減法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；3. 實(shí)數(shù)與向量的積入a .向量共線的充要條件：向量b與非零向量a共線的充要條件 是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得b =Xa 。4.向量a和b的數(shù)量積：a b =| a | | b |cos ，其中 為a和b的夾角。向量b在a上的投影：|b |cos，其中為a和b的夾角a 丄 b a b =05.向量的坐標(biāo)表示：0A xi若向量a x, y，則 la |若 P1 ( Xi , yi )、P2 ( X2 , y2)，則Pi P2X2Xi,討2

2、yi1 Pi P2 F %( X22xi)(y22yi)a bXiX2,yiy2rabXiX2, yiyaXi, yia? bXi X2yiya/bXi y2 X2 yi0aF bxi X2 + yi y2=0cos =XiX2目胡2(為向量的夾角）右 a = ( Xi,yi)；'222,Xi yi . X2 y26.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及重要結(jié)論:b = ( X2, y2)7點(diǎn)P分有向線段PP2所成的比的RPPF2，或RPPP2P內(nèi)分線段RP2時(shí),0; P外分線段RP2時(shí),0.8.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:xix2ii ，中點(diǎn)坐標(biāo)公式:X-Ix22yi y2i9. 三角形重心公式及推導(dǎo)（見課本例

3、2）:10. 圖形平移：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形,將F上所有的點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長(zhǎng)度（即按向量a平移），得到圖形F',我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式：X' X h 或 X X' hy' y ky y' k平移向量a = PP'= （h， k）應(yīng)用:1.禾U用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直冋題例1已知向量OR,OF2,OF3滿足條件OR OP2 OF3OROF2OF31，求三角形重心公式：(X1X2X3 y1 y2y3)( , 丿33證：RBE是正三角形解：令 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè) R cos 1,sin 1

4、, R> cos 2,sin 2 , F3 cos 3,sin 3由 OR OR2OF3，即 cos 1,sin 1 cos 2,sin 2cos 3 sin 3cos 1 cos 2 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3 、 1兩式平方和為1 2cos 12 1 1 , cos 12，由此可知2為1200，即OR與OP；的夾角為1200，同理可得OR與OF3的夾角為 1200, OR7與OR的夾角為1200，這說明RnR三點(diǎn)均勻分部在 一個(gè)單位圓上，所以RR.R為等腰三角形例2求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y

5、12的最小正角軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) A 2a,0 , B 0,2a，則D a,0 ,C 0,a ,從而可求：AC2a, a , BDa, 2a ,cos -AC BD2a,a a, 2aACBDT5a J5a4a24arccos4=5a25 .5 .22.禾U用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決有關(guān)線段的長(zhǎng)度問題2122 BC例3已知 ABC , AD為中線，求證 AD2 - AB2 AC22 2證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在的直線為x軸建立如圖2直角坐標(biāo)系，設(shè)A a,b ,C c,0 ,|,0 2，則ADb2acb2, 2AB 2AC從而b2A"2 ab2ac2 c4>12BC11AD2

6、-AB2 AC22222.2 Cc a b4BC3.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用已知向量表示未知向量 例4已知點(diǎn)O是ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，AOB 1500,BOC 900,設(shè) OA a,OBb,OC c,且 a2,b1, c3,試用a,和b表示g解：以O(shè)為原點(diǎn),由 OA=2 ，B 0,-1，C 3,0x軸和y軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.5,所以1 0,-1OA 1OB 2OC,即-1, 3OC, OB所在的直線為AOx 1200a<3b !c.解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A 1,0 ,005 3 5所以 C5cos30 ,5sin 30，即 C ，-,2

7、2由 COA 300,同理可求BOC lOA2OB,即53 52 210 335.335 3 二 OB.310 3 -OA34.利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題例6求證：三角形的三條高交于同一點(diǎn)分析如圖，已知 ABC中，由ADOCBC, BE AC，AD BE H ,要證明CH AB,利用向量法證明CH AB，只要證得CH AB 0即 可；證明中，要充分利用好 AH BC 0 , BH CA 0這兩個(gè)條件.證明： AD BC,H 在 AD 上， AH BC 0 而 AH(CH CA) BC 0, 即卩 CH BCCABC0又 BH AC,BH CHCB,BHAC0 即(CHCB) AC 0C

8、H AC CB AC 0-得：CH BC CHAC0,即CHBC AC0從而 CH BA 0 , CHAB ,CH1 AB.5.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題，距離問題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)的線的距離,點(diǎn)到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離例7求平面內(nèi)兩點(diǎn) A(x1,y1), B(x2, y2)間的距離公式分析已知點(diǎn)A(xi,yd B(X2,y2)求代B兩點(diǎn)間的距離|AB|,這時(shí)，我們就可以構(gòu)造出向量 AB，那么 AB (x2 x1,y2 y1),而 | AB | | AB |，根據(jù)向量模的公式得|AB| . (x2 x1)2 (y2 y1)2，從而求得平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

9、 為 |AB| .區(qū)X1)2yj2 .解：設(shè)點(diǎn) A(xi, yi), B(x2, y2)， AB (x?yj| AB| . (X2 Xi)2 (y2 yi)2，而 | AB| | AB|點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為：|AB| .(X2%)2 (y2 yj26利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題 例 8 證明：cos( ) cos cos sin sin則 向 量分析如圖，在單位圓上任取兩點(diǎn) 代B,以 Ox為始 邊，OA,OB為終邊的角分別為 ，設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐 標(biāo)，即得到 OA,OB的坐標(biāo)，貝U為向量OA,OB的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證 .證明：在單位圓 O上任取兩點(diǎn) 代B

10、,以O(shè)x為始邊， 以O(shè)A, OB為終邊的角分別為，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(cos,sin),B占坐八、.T ；標(biāo)為(cos , sin )；OA(cos,sin ), OB(cos,sin)，它們的夾角為，|OA|OB|1, OA OBcos cossin sin，由向量夾角公式得cos()OA OBcoscossin sin，從而得證|OA|OB|注：用同樣的方法可證明cos()cos cos sin sin7利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題2例9證明柯西不等式(2 2yi ) (X22y2 ) (xiX2yiy2)2證明：令 a (Xi，yi),b(X2, y?)(1)當(dāng)a 0或b0時(shí)，abXiX2y20,結(jié)論顯然成立;(2)當(dāng)a 0且b0時(shí)，令為a,b的夾角，則0,a bx1x2 y1y2 |a |b | cos .又 |cos | 1|a b| |a|b| (當(dāng)且僅當(dāng)a/b時(shí)等號(hào)成立)|xiX2 yiy21 .x； y：x 最(/ %2)化2