1、淺談初中數學建模教學20世紀下半葉以來，數學最大的變化和發(fā)展是應用，數學幾乎滲透到了所有學科領域。為了適應數學發(fā)展的潮流和未來社會人才培養(yǎng)的需要，美國、德國、日本等發(fā)達國家都十分重視數學建模教學。增加數學和其他科學，以及日常生活的聯系是世界數學教育的總趨勢。我們在開展數學建模教學活動中很重視選用與物理、化學、生物、美學等知識相結合的跨學科問題以及大量與日常生活相聯系(如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運動等方面)的數學問題，參加數學建模小組的學生都認為用數學知識解決實際問題比做純數學題更有興趣，他們認為學科之間是不分界的，數學就是生活，生活離不開數學，數學也不能和生活分離?！皶r時有數學，事事有

2、數學”。一、 什么是數學建模？ 所謂數學建模就是把所要研究的實驗問題，通過數學抽象構造出相應的數學模型，再通過數學模型的研究，使原問題獲得解決的過程。其基本思路是：抽象(轉化) 求解(運用數學知識、方法)返回解釋(檢驗) 實際問題 數學模型 數學問題的解新世紀數學課程改革中加強應用性、創(chuàng)新性，重視聯系學生生活實際和社會實踐的要求，我們開展了中學數學建模教學與應用的研究和實踐，目的是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力和應用能力，把學生從純理論解題的題海中解放出來，把學生應用數學的意識的培養(yǎng)貫穿于教學的始終，讓學生學得生動活潑，使數學素質教育躍上一個新的高度。二、初中數學建模教學的基本理念和教學環(huán)節(jié)1、初中數學建

3、模教學的基本理念 使學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，體會數學的應用價值，培養(yǎng)數學的應用意識，增進對數學的理解和應用數學的信心。 學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神。 以數學建模為手段，激發(fā)學生學習數學的積極性，學會團結協(xié)作，建立良好人際關系、相互合作的工作能力。 以數學建模方法為載體，使學生獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數學事實（包括數學知識、數學活動經驗）以及基本的思想方法和必要的應用技能。2、貫徹應用意識的課堂數學環(huán)節(jié)    數學素質教育的主戰(zhàn)場是課堂，如何圍繞課堂教學

4、選取典型素材激發(fā)學生興趣，以潤物細無聲的形式滲透數學建模思想，提高建模能力呢？根據我們的實踐，采用知識的發(fā)生、形成過程與應用相滲透的教學模式可以實現這個目標，以“問題情景-建立模型-解釋、應用與拓展”的基本敘述方式，使學生在樸素的問題情景中，通過觀察、操作、思考、交流和運用中，掌握重要的現代數學觀念和數學的思想方法，逐步形成良好的數學思維習慣，強化運用意識。這種教學模式要求教師以建模的視角來對待和處理教學內容，把基礎數學知識學習與應用結合起來，使之符合“具體-抽象-具體”的認識規(guī)律。其五個基本環(huán)節(jié)是： 創(chuàng)設問題情景，激發(fā)求知欲    根據具體的教學內容，從學生的生

5、活經驗和已有的知識背景出發(fā)，選編合適的實際應用題，讓學生帶著問題在迫切要求下學習，為知識的形成做好情感上的準備，并提供給學生充分進行數學實踐活動和交流的機會。 抽象概括，建立模型，導入學習課題    通過學生的實踐、交流，發(fā)表見解，搜集、整理、描述，抽象其本質，概括為我們需要學習的課題，滲透建模意識，介紹建模方法，學生應是這一過程的主體，教師適時啟發(fā)，介紹觀察、實驗、猜測、矯正與調控等合情推理模式，成為學生學習數學的組織者、引導者、合作者與共同研究者。 研究模型，形成數學知識    對所建立的模型，靈活運用啟發(fā)式、嘗試指導法等教學方法

6、，以教師為主導，學生為主體完成課題學習，形成數學知識、思想和方法，并獲得新的數學活動經驗。 解決實際應用問題，享受成功喜悅    用課題學習中形成的數學知識解答開始提出的實際應用題。問題得以解決，學生能體會到數學在解決問題時的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，成功的喜悅油然而生。 歸納總結，深化目標根據教學目標，指導學生歸納總結，拓展知識的一般結論，指出這些知識和技能在整體中的相互關系和結構上的統(tǒng)一性，使學生認識新問題，同化新知識，并構建自己的智力系統(tǒng)。同時體會和掌握構建數學模型的方法，深化教學目標。此外，通過解決我國當前亟待解決的緊迫問題，引導學生關心社

7、會發(fā)展，有利于培養(yǎng)學生的主體意識與參與意識，發(fā)揮數學的社會化功能。、三、選擇適當的數學問題，滲透數學建模思想教師要建立以人為本的學生主體觀，要為學生提供一個學數學、做數學、用數學的環(huán)境和表達自己想法的機會，在教學中注意對原始問題進行數學加工。教師要為學生提供充足的自學時間，使學生在親歷的過程中展開思維，收集、處理各種信息，不斷追求新知，發(fā)現、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。數學建模學習應該成為再發(fā)現、再創(chuàng)造的過程，教學過程必須由以教為主轉變?yōu)橐詫W為主，要支持學生大膽提出各種打破常規(guī)的想法，充分肯定學生正確的、獨特的見解，珍惜學生的創(chuàng)新成果和失敗教訓，使他們保持嘗試的熱情。 1.從課本中

8、的數學出發(fā)，注重對課本原題的改變對課本中出現的應用問題，可以改變設問方式、變換題設條件，互換條件結論，形成新的數學建模應用問題；對課本中的純數學問題，可以依照科學性、現實性、新穎性、趣味性、可行性等原則，編擬出有實際背景或有一定應用價值的建模應用問題。按照這種方式開展教學活動，可使學生接受將實際問題抽象為數學問題的訓練。例1：如圖，三個相同的正方形，求證：12390°。 此問題多次出現在課本上（初中幾何第二冊P.67的復習參考題21），其重要性可見一斑。以此問題為原型，可編擬如下一道應用問題：在距電視塔底部100米，200米，300米的三處，觀察電視塔頂，測得的仰角之和為90

9、6;，那么電視塔高為多少？只要有課本題的基礎，就一定得出電視塔高為100米，否則三個仰角之和要么大于90°，要么小于90°。只要教師做有心人，精心設計，課本中的數學問題大都可挖掘出生活模型，選擇緊貼社會實際的典型問題深入分析，逐漸滲透這方面的訓練，使學生養(yǎng)成自覺地把數學作為工具來用的意識。例2：幾何模型：條件：如圖7，A、B是直線同旁的兩個定點。問題：在直線上確定一點P，使PA+PB的值最小。方法是：作點A關于直線的對稱點A，連結AB交于點P，則PA+PB=AB的值最小（不必證明）。模型應用：（1）如圖8，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點。連結BD

10、，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱。連結ED交AC于P，則PB+PE的最小值是 。（2）如圖9，O的半徑為2，點A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；（3）如圖10，AOB=45°，P是AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值。 考法評析：從知識上來看，本題是考查“利用軸對稱的性質和三角形三邊關系”求一定條件下的兩條線段和的最小值。從過程來看，本題卻是考查在掌握一種模型或模式之后能否善于在變形中應用，而這種將變式或變形劃歸為已有模型或模式的做法和能力，正是數學學習最為需要的能力。綜

11、合這兩方面看，本題有較好的效度、可推廣性和教育性。變式：某課題組在探究“泵站問題“時抽象出數學模型：直線同旁有兩個定點A、B，則在直線上存在點P，使PA+PB的值最小。解法：作點A關于直線的對稱點A，連續(xù)AB，則AB與直線的交點即為P，且PA+PB的最小值為AB。請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是邊AC上的一動點，則PB+PE的最小值為 ；（2）幾何拓展：如圖2，ABC中，AB=2，BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值 ；（3）代數應用：求代數式（04）的最小值。

12、解：（1）（2）作點B關于直線AC的對稱點B作BNAB于N，交AC于M，連結BM，則BM+MN=BM+MN=BN的值最小B、B關于AC對稱且CAB=30°ABB是等邊三角形則BN=1，BB=2BN=BM+MN= BM+MN=BN= （3）如圖作AB=4，ACAB，DBAB且CA=1，DB=2作C關于AB的對稱點C，連結CD交于AB于P點，設AP=則CP= DP=作CEDB于E則CE=AB=4，BE=AC=AC=1DE=3CD=代數式的最小值為5數學建模中的實際問題背景更加復雜，解答具有更大的綜合性和多樣性，而結論還需要進行檢驗和優(yōu)化，帶有更大的挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性。數學建模的教學使學生走出

13、課本，走出傳統(tǒng)的習題演練；使他們進入生活、生產的實際中，進入一個更加開放的天地；使學生體會到數學的由來、數學的應用，體驗到一個充滿生命活力的教學，這對于培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)造精神顯然是一個很好的途徑。2.從生活中的數學問題出發(fā)，強化應用意識日常生活是應用問題的源泉之一，現實生活中有許多問題可通過建立數學教學模型加以解決，如合理負擔出租車資、家庭日用電量的計算、紅綠燈管制的設計、登樓方案、住房問題、投擲問題等，都可用基礎數學知識建立初等教學模型，加以解決。學生很喜歡解決這樣的實際問題，只要結合數學課程內容，適時引導學生考慮生活中的數學，就會加深學生對數學知識的理解，增強應用數學的信心，獲得必要的

14、應用技能。 例3：某汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動汽車，計劃一年生產安裝240輛。由于抽調不出足夠的熟練工來完成新式電動車的安裝，工廠決定招聘一些新工廠，他們經過培訓后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，他們經過培訓后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝。生產開始后，調研部門發(fā)現：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車。（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）如果工廠招聘(0<<10)名新工人，使得招聘的新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？（3）在

15、（2）的條件下，工廠給安裝電動汽車的每名熟練工每月發(fā)2000元的工資，給每名新工人每月發(fā)1200元的工資，那么工廠招聘多少名新工人，使新工人的數量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能的少？分析：本題以新式電動汽車的安裝為背景，以招聘新工人為素材，以人員的搭配組合使用為條件的載體，以完成一定任務為確定招聘方案的標準，自然和諧地設計了前兩問。整題的問題模型為：結果=（招聘方案的情景，新工人，條件，決策性要求）。本題的設置意在考查學生建立方程組、一次函數模型來分析解決問題的能力，以及求解方程組等技能的掌握狀況，使用解答題形式逐問呈現，較好地發(fā)掘了問題模型所蘊含的考試價值，有利于達到試

16、卷預設的考查目標。例4、分油的問題在山西民間，有一個人們常提的問題，說的是：3斤的葫7斤的罐,10斤的油簍分一半。實際上是：有一個能裝10斤油的油簍裝滿了油，另外只有兩個容器,即:能裝3斤油的葫蘆和能裝7斤油的罐?，F在要把兩個容器即能裝3斤油的葫蘆和能裝7斤的罐.現在要把10斤油分出一半來。問：該怎么分? 解:要把10斤油分出一半來, 必須把7斤的罐的油倒出2斤到3斤的葫中，而3斤的葫中油的另外一斤油可由7-3×2=1得來例5、真和假很久以前，在很遠的地方，住著兩個種族的人：阿納尼阿斯人他們都是積習很深的說謊者；迪昂根尼斯人他們無例外地都是誠實者。一次，一個外來者來訪這塊土地，遇見三

17、個居民，問他們各屬于什么種族。第一個人回答聲音很低，外來者沒聽清楚他說了什么。第二個人指著第一個人說：他說他是阿納尼阿斯人”。第三個人指著第二個人說：“你說謊”。請你想一想：他們各是什么種族的人。解:每一個居民必定說自己是迪昂根尼斯人.迪昂根尼斯人這么說,因為他們說真話,阿納尼阿斯人這么說,因為他們說慌話.因此,第二個人說的話必定是假的,因而,第三個人說的話是真的,他是迪昂根尼斯人.于是,可以判斷第二個人和第三個人屬于什么種族.第一個人屬于什么種族,尚難確定例6：（日用電量的計算） 我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內日平均風速不小于3米/秒的時間共約160天，其中日平均風速不小于6米/秒的

18、時間約占60天。為了充分利用“風能”這種“綠色能源”，該地擬建一個小型風力發(fā)電廠，決定選用A、B兩種型號的風力發(fā)電機。根據產品說明，這兩種風力發(fā)電機在各種風速下的日發(fā)電量（即一天的發(fā)電量）如下表：日平均風均v（米/秒）v<33v <6v6日發(fā)電量（千瓦·時）A型發(fā)電機036150B型發(fā)電機02490根據上面數據回答：（1）若這個發(fā)電廠購x臺A型風力發(fā)電機，則預計這些A型風力發(fā)電機一年的發(fā)電量至少為 千瓦·時。（2）已知A型風力發(fā)電機每臺0.3萬元，B型風力發(fā)電機每臺0.2萬元，該發(fā)電廠擬購置風力發(fā)電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的發(fā)電廠每年發(fā)

19、電總量不少于102000千瓦·時，請你提供符合條件的購機方案。解：（1）12600x。（2）設購A型發(fā)電機x臺，則購B型發(fā)電機（10x）臺，由題意： 解得5x6可購A型發(fā)電機5臺，B型發(fā)電機5臺；或購A型發(fā)電機6臺，B型發(fā)電機4臺。本題的基本思想是已知常量之間的不等關系，建立不等式模型。例7：（住房問題） 某房屋開發(fā)公司用100萬元購得一塊土地，該地可以建造每層1000平方米的樓房，樓房的總建筑面積（即各層面積之和）的每平方米平均建筑費用與建筑高度有關。樓房每升高一層，整幢樓房每平方米建筑費用提高5%，已知建筑5層樓房時，每平方米的建筑費用為400元，為了使該樓每平方米的平均綜合費用

20、最省（綜合費用是建筑費用與購地費用之和），公司應把樓建成幾層？分析 本題是屬于綜合費用最省的優(yōu)化問題，問題解決的關鍵是尋找樓層的層數與綜合費用的函數關系式，將問題轉化為求函數的最值問題。解 設樓房應建成x層，則每平方米的購地費用為=（元）。每平方米建筑費用為400+400（x5）×5%（元），每平方米的綜合費用為 = =當即該樓房每平方米的平均綜合費用最少，此時解得x7，因此應把樓建成7層?？傊瑢τ谀承嶋H問題，可以通過建立合理的數學模型作為橋梁來解決，對于相同類型的問題，采用相同的數學模型，使學生的思維過程形象化、公式化。這樣，學生學起來不感到抽象、難懂，并能增強記憶和理解，容易

21、被學生所接受。一個學生是否具有數學的創(chuàng)造能力的一個重要標志是他是否有建立并應用數學模型的能力。因此在數學教學中應充分重視培養(yǎng)這種能力，鼓勵他們獨立思考、勇于探索，發(fā)現前人尚未發(fā)現問題的新結論、新方法。3.以社會熱點問題出發(fā)，介紹建模方法國家大事、社會熱點、市場經濟等，是初中數學建模教學的好素材，適當地選取，融入教學活動中，使學生掌握相關類型的建模方法，不但可以使學生樹立正確的商品經濟觀念，而且還為日后能主動以數學的意識、方法、手段處理問題提供了條件。例8：為了防范“甲流”病毒入侵校園，根據上級疾病控制中心的要求：每平方米的教室地面，需用質量分數為0.2%的過氧乙酸溶液200克在進行噴灑消毒。（

22、1）請估算：你所在班級的教師地面面積約為 平方米（精確到1平方米）；（2）請計算：需要用質量分數為20%的過氧乙酸溶液多少克加水稀釋，才能按疾病控制中心的要求，對你所在班級的教師地面消毒一次？分析：設教室面積為a平方米，需用x克的水將質量分數為20%的過氧乙酸溶液進行稀釋稀釋前溶質質量 = 稀釋后溶質質量(200a-x)20% = 200a0.2% X = 198a學生通過閱讀本題，自然而然地想到2003年上半年那場可歌可泣的、沒有硝煙的抗“非典”戰(zhàn)爭。這是一個列方程類的應用題。第一小題考查了學生應初步具有的估算能力，第二小題把濃度問題巧妙地融合于其中，既解決實際問題，又簡單易解。不僅使學生從

23、中學到數學建模的方法，也讓學生受到德育教育，體現了數學的社會化功能。例9、2008年國際金融危機使我國的電子產品出口受到嚴重影響，在這種情況下有兩個電子儀器廠仍然保持著良好的增長勢頭。（1）下面的兩幅統(tǒng)計圖（圖5）反映了一廠、二廠各類人員數量及工業(yè)值情況，根據統(tǒng)計圖（圖5）填空：一廠、二廠的技術員占廠內總人數的百分比分別是 和 （結果精確到1%）一廠、二廠2008年的產量比2007年的產值分別增長了 萬元和 萬元。（2）僅從以上情況分析，你認為哪個廠生產經營得好？為什么？分析：本題由兩幅統(tǒng)計圖和一張統(tǒng)計表，分層展現了不同方面的問題，或由統(tǒng)計圖直接得出結論，或通過簡單計算得出結論，或由表到圖，或

24、基于以上分析，得出判斷，問題緊密相連，設計合理，它的問題模型可分別表述為：百分比=（統(tǒng)計情景，人數，產值，兩幅統(tǒng)計圖），一廠銷售情況扇形統(tǒng)計圖=（一廠、二廠銷售情況統(tǒng)計表），判斷結果=（百分比，扇形統(tǒng)計圖，判斷要求）。這里，第（1）問重在考查識圖、簡單的列方程計算技能，簡單易于求解，設計成了填空題；第（2）問既要判斷又要說量，使用解答題。這樣的設計是恰當的。例10、隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加。據統(tǒng)計，某小區(qū)2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100輛。（1）若該小區(qū)2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率相同，求該小區(qū)到2

25、009年底家庭轎車將達到多少輛？（2）為了緩解停車矛盾，該小區(qū)決定投資15萬元再建造若干個停車位。據測算，建造費用分別為室內車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，求該小區(qū)最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案。分析：本題的基本對象是車位，條件有“露天車位的數量不少于室內車位的2倍”等，方案由設定的條件自然確定，從數學上說，這里的設計其實是兩種不同車位數量的確定。其問題模型可簡略地表述為：方案=（車位，數值條件，關系條件）。其中，第（1）問是增長率問題，第（2）問涉及到的數據較多，為考查學生建立不等

26、式模型解決實際問題的應用能力，兩問相連，使用解答題型，是適當的選擇。例11：荊門火車貨運站現有甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸，安排用一列貨車將這批貨物運往某市。這列貨車可掛A、B兩種不同規(guī)格的貨廂共50節(jié)。已知用一節(jié)A型貨廂的運費是0.5萬元，用一節(jié)B型資廂的運費是0.8萬元。  （1）設運輸這批貨物的總運費為（萬元），用A型貨廂的節(jié)數為（節(jié)），試寫出與的函數關系式；  （2）如果甲種貨物35噸和乙種貨物15噸可裝滿一節(jié)A型貨廂，甲種貨物25噸和乙種貨物35噸可裝滿一節(jié)B型貨廂。按此要求安排A、B兩種貨廂的節(jié)數，有哪幾種運輸方案？請你設計出來。  （3）利

27、用函數的性質說明，在這些方案中，哪種方案總運費最少？最少運費是多少萬元？縱觀近年來全國各地中考試題中考查學生解決實際問題能力的試題，需經抽象、轉化建模的可謂五彩繽紛，爭奇斗艷。在市場經濟大潮中，人們更加注重對普遍存在的諸如造價成本最低，產出、利潤最大，風險決策、股市、期貨、開源節(jié)流，扭虧增盈、最優(yōu)化等問題的研究，可透過實際問題的背景，抓住本質，挖掘隱含的數量關系，抽象成函數的（區(qū)間）極值（目標）模型等。 學生通過建模求解，體會到了科學、正確決策的意義和作用，也體會到了正確的決策離不開數學。雖然數學建模的目的是為了解決實際問題，但對于中學生來說，進行數學建模教學的主要目的并不是要他們去解決生產、

28、生活中的實際問題，而是要培養(yǎng)他們的數學應用意識，掌握數學建模的方法，為將來的工作打下堅實的基礎.因此，在教學時，授之以漁，尤其注重培養(yǎng)學生從初看起來雜亂無章的現象中抽象出恰當的數學問題的能力，即培養(yǎng)學生把客觀事物的原型與抽象的數學模型聯系起的能力。4.以活動為手段，培養(yǎng)建模能力利用課外活動時間開展綜合實踐活動課，把它作為建模教學不可分割的部分。為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主的傳統(tǒng)教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去解決實際問題的全過程，提高他們學習數學的興趣和應用數學的能力

29、，使他們在以后的工作中能經常性地想到用數學去解決問題。比如為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主的傳統(tǒng)教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去解決實際問題的全過程，提高他們學習數學的興趣和應用數學的能力，使他們在以后的工作中能經常性地想到用數學去解決問題。例12、一頭大象和一只蚊子一頭大象的重量和一只蚊子的重量相等嗎? 設為一頭大象的重量，為一只蚊子的重量。兩者重量的和為，則。由此方程，我們能進一步得： ; 兩式等號左右分別相乘，得： 加上： 或取平方根： 這么一來，這頭大象的重量()

30、等于這只蚊子的重量()。錯在何處?例13：我曾以一道開放題-“王老吉易拉罐的尺寸為什么是這樣的”為例進行教學：先讓學生測量出聽裝345ml王老吉易拉罐的高和底面直徑（高約為12.3cm，底面直徑為6.6cm）.然后圍繞廠家為什么采用這樣的尺寸，同學們展開了熱烈的討論.有的同學從審美角度去考慮（是否滿足“黃金分割率”）；有的同學從經濟效益的角度去考慮（是否用料最省，工時最?。挥械耐瑢W從生理學的角度去考慮（是否手感最好，飲用最方便）雖然最后沒有得到一個一致的、十分完美的結論，但這節(jié)課對于培養(yǎng)學生的數學應用能力和發(fā)散性思維能力起著十分重要的作用.引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建

31、模練習，從而讓學生嘗到數學建模成功的“甜”和難于解決的“苦”，能拓寬視野、增長知識、積累經驗.這亦符合玻利亞的“主動學習原則”，也正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”。.比起學習抽象的數學理論，學習與實際緊密相連的數學建模對學生更有吸引力，能夠引起學生興趣并且能用他們熟悉的數學解決的問題還有很多，在教學中改編的有： 20世紀是世界人口增長率最快的一段時期，聯合國人口基金組織把1999年10月12日定為世界60億人口日并預測到2013年將達到70億，2028年將達到80億，2054年將達到90億.請對未來約半個世紀的世界人口增長率做出分析，并制出圖表說明，等等。學生對這些問題的研究，無

32、疑會激發(fā)其學習數學的主動性，且能開拓學生創(chuàng)造性思維能力，養(yǎng)成善于發(fā)現問題，獨立思考的習慣.。例14、題目1 問題解決如圖11，將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C、D重合），壓平后得到折痕MN。當時，求的值。方法指導：為了求得的值，可先求BN、AM的長，不妨設：AB=2.圖12類比歸納在圖11中，若，則的值等于 ；若，則的值等于 ；若（為整數），則的值等于 。（用含的式子表示）聯系拓廣如圖12，將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C、D重合），壓平后得到折痕MN，設，則的值等于_。（用含，的式子表示）考法評析：題目1的問題是首先解決正方形一種特殊折疊

33、形成的線段比，進而通過類比與歸納，推廣到較為一般的情形，最后再拓展推廣到矩形相應的情形。題目2的問題是將特殊擺放的5個同樣大小的正方形通過“中心對稱”剪拼成一個新正方形，進而將這種方法推廣應用到矩形的情況，最后又將這種方法以相反的過程應用于平行四邊形。這樣的考法使得題目問題展開的方式和過程有助于考查學生數學學習經驗的積累，而且對于改進、引導教法和學法也有積極的意義。例15：要測量人民公園的荷花池AB的距離 ，由于條件限制無法直接測量，請你用所學過的數學知識設計出一種測量AB的方案？ 建模一：構造直角三角形，運用勾股定理解決問題，求出AB。建模二：構造等腰三角形或等邊三角形，求出AB。建模三：構

34、造三角形及其中位線，利用中位線的性質求出AB。建模四：構造兩個三角形，利用全等或相似性質來求出AB點評：設計開放性試題的評分標準是中考的難點問題，如何處理好試題開放所導致的解法多樣及不同解法之間評分的等價性問題，直接影響試題的效度。例16、問題背景 在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對較園中一些物體進行了測量。下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖4，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm.乙組：如圖5，測得學校旗桿的影長為900cm。丙組：如圖6，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm.任務要

35、求（1） 請根據甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度； 圖4 圖5 圖6（2）如圖6，設太陽光線NH與O相切于點M。請根據甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑。（友情提示：如圖6，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）考法評析：本題的第（1）問考查利用平行線構造相似三角形，第（2）問通過利用圓的切線構造相似三角形及相似三角形較為典型的兩種形式的判斷和應用，較為全面地考查了相似三角形的判定與性質。特別地，對于第（2）問而言，它通過要求學生兩次使用相似知識解決問題的過程，較好地考查了學生綜合運用數學知識的能力，具有較好的區(qū)分度?？偠灾瑧脭祵W知識去解決各類實際問題時，建立數學