1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上8-5操作與策略教學目標1. 通過實際操作尋找題目中蘊含的數(shù)學規(guī)律2. 在操作過程中，體會數(shù)學規(guī)律的并且設(shè)計最優(yōu)的策略和方案3. 熟練掌握通過簡單操作、染色、數(shù)論等綜合知識解決策略問題知識點撥實際操作與策略問題這類題目能夠很好的提高學生思考問題的能力，激發(fā)學生探索數(shù)學規(guī)律的興趣，并通過尋找最佳策略過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，這也是各類考試命題者青睞的這類題目的原因。例題精講模塊一、探索與操作【例 1】 (全國華羅庚杯少年數(shù)學邀請賽)如圖，將正方形紙片由下往上對折，再由左向右對折，稱為完成一次操作按上述規(guī)則完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角問：當展開這張正方

2、形紙片后，一共有多少個小洞孔？【解析】 一次操作后，層數(shù)由1變?yōu)?，若剪去所得小正方形左下角，展開后只有1個小洞孔，恰是大正方形的中心連續(xù)兩次操作后，折紙層數(shù)為，剪去所得小正方形左下角，展開后在大正方形上留有(個)小洞孔連續(xù)三次操作后，折紙層數(shù)為，剪去所得小正方形左下角，展開后大正方形留有(個)小洞孔按上述規(guī)律不難斷定：連續(xù)五次操作后，折紙層數(shù)為，剪去所得小正方形左下角，展開后大正方形紙片上共留有(個)小洞孔【例 2】 向電腦輸入漢字，每個頁面最多可輸入1677個五號字現(xiàn)在頁面中有1個五號字，將它復(fù)制后粘貼到該面上，就得到2個字；再將這2個字復(fù)制后粘貼到該頁面，就得到4個字每次復(fù)制和粘貼為1次

3、操作，要使整個頁面都排滿五號字，至少需要操作 次【解析】 每次操作頁面上的字數(shù)就增加一倍，第一次操作后頁面上有2個字，第2次操作后頁面上有(個)字，第3次操作后頁面上有(個)字，則第10次操作后頁面上有個字，由于，因此使整個頁面排滿，至少需要操作11次【鞏固】 (2002年小學生數(shù)學報邀請賽)一個特別的計算器，只有藍、紅、黃三個鍵藍鍵為“輸入/刪除”鍵(按它一下可輸入一個數(shù)，再按它一下則將顯示屏上的數(shù)刪除)每按一個紅鍵，則顯示屏上的數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍；每按一下黃鍵，則顯示屏上的數(shù)的末位自動消失現(xiàn)在先按藍鍵輸入21請你設(shè)計一個操作過程，要求：操作過程中只能按紅鍵和黃鍵；按鍵次數(shù)不超過6次；最后輸出

4、的數(shù)是3【解析】 需按4次紅鍵2次黃鍵，有如下操作方式：【例 3】 (2005年武漢“明星奧數(shù)挑戰(zhàn)賽”)有依次排列的3個數(shù)：2，0，5，對任意相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，0，5，5，這稱為第一次操作，第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2，2，0，5，5，0，5繼續(xù)依次操作下去問：從新數(shù)串2，0，5開始操作，第100次后產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？【解析】 觀察操作次數(shù)： 開始 第一次 第二次 第三次 總 和： 7101316 易發(fā)現(xiàn)每操作一次總和增加3因此操作100次后產(chǎn)生的新數(shù)串所有數(shù)之和為【鞏固】 (武漢“明星奧數(shù)挑戰(zhàn)

5、賽”)將兩個不同的自然數(shù)中較大數(shù)換成這兩個數(shù)之差，稱為一次操作如對18和42可連續(xù)進行這樣的操作，則有：18，4218，2418，612，66，直到兩數(shù)相同為止試給出和最小的兩個四位數(shù)，按照以上操作，最后得到的相同的數(shù)是15這兩個四位數(shù)是 與 【解析】 由題意，我們可以多給幾組數(shù)按題目所給操作方法進行操作，從中找出規(guī)律例如：136，631，1 36，279，9 84，3612，12考察操作后所得結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)每次所得的最終結(jié)果是開始兩數(shù)的最大公約數(shù)，因此我們只需找到兩個盡量小的四位數(shù)，他們都是15的倍數(shù)，可得1005和1020【鞏固】 (武漢“明星奧數(shù)挑戰(zhàn)賽”)對任意兩個不同的自然數(shù)，將其中較

6、大數(shù)換成這兩數(shù)之差，稱為一次變換如對18和42可作這樣的連續(xù)變換：18，4218,2418,612,66,6直到兩數(shù)相同為止問：對1234和4321作這樣的連續(xù)變換最后得到的兩個相同的數(shù)是 【解析】 操作如下：1234，43211234，30871234，18531234，619615，619615，43，43，12，11，1實際上按此法操作最后所得兩相同的數(shù)為開始兩數(shù)的最大公約數(shù)即1234與4321的最大公約數(shù)為1此法也稱為輾轉(zhuǎn)相減法求最大公約數(shù)【例 4】 黑板上寫著一個形如77777的數(shù)，每次擦掉一個末位數(shù)，把前面的數(shù)乘以3，然后再加上剛才擦掉的數(shù)字對所得的新數(shù)繼續(xù)這樣操作下去，證明：最后

7、必獲得數(shù)7【解析】 黑板上起初數(shù)是77777，每次操作后就變出一個新數(shù)不妨設(shè)這個數(shù)的末位數(shù)為，前面的數(shù)為，所以就是形為的數(shù)每次操作后，黑板上就成為，它比原數(shù)少了由此可知：每次操作將使原數(shù)逐步變小；如果原數(shù)能被7整除，那么所得新數(shù)仍能被7整除所以黑板上最后必將變成7，例如當原數(shù)為777時，就有7772387728147【例 5】 (2008年“北京奧校杯”解題能力展示活動)將113這13個自然數(shù)分別寫在13張卡片上，再將這13張卡片按一定的順序從左至右排好然后進行如下操作：將從左數(shù)第一張和第二張依次放到最后，將第三張取出而這張卡片上的數(shù)是1；再將下面的兩張依次放到最后并取出下一張，取出的卡片上面

8、的數(shù)是2；繼續(xù)將下面的兩張依次放到最后并取出下一張，取出的卡片上面的數(shù)是3如此進行下去，直到取出最后一張是13為止則13張卡片最初從左到右的順序為 【解析】 這13張卡片依次是原來的第3，第6，第9，第12，第2，第7，第11，第4，第10，第5，第1，第8，第13張，所以原來的順序為11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【例 6】 (2008年北京“數(shù)學解題能力展示”讀者評選活動)在紙上寫著一列自然數(shù)1，2，98，99一次操作是指將這列數(shù)中最前面的三個數(shù)劃去，然后把這三個數(shù)的和寫在數(shù)列的最后面例如第一次操作后得到4，5，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，98，99

9、，6，15這樣不斷進行下去，最后將只剩下一個數(shù)，則最后剩下的數(shù)是 【解析】 第一輪：分33次劃19，后面寫上6，15，24，294共33個數(shù)第二輪：分11次劃去這33個數(shù)，后面寫上45，126，207，855，共11個數(shù)之后的操作一次減少2個數(shù)，故還需操作5次設(shè)這11個數(shù)為：，則接下去的數(shù)是：，因此最后一數(shù)為：【鞏固】 (第六屆“迎春杯”決賽)在1，9，8，9后面寫一串這樣的數(shù)字：先計算原來這4個數(shù)的后兩個之和8917，取個位數(shù)字7寫在1，9，8，9的后面成為1，9，8，9，7；再計算這5個數(shù)的后兩個之和9716；取個位數(shù)字6寫在1，9，8，9，7的后面成為1，9，8，9，7，6；再計算這6個

10、數(shù)的后兩個之和7613，取個位數(shù)字3寫在1，9，8，9，7，6的后面成為1，9，8，9，7，6，3. 繼續(xù)這樣求和，這樣添寫，成為數(shù)串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么這個數(shù)串的前398個數(shù)字的和是_. 【解析】 前16個數(shù)字是1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9可見除去前2個數(shù)字1、9后，每12個數(shù)字一組重復(fù)出現(xiàn).因此前398個數(shù)字的和是19（1）【例 7】 圓周上放有枚棋子，如圖所示，點的那枚棋子緊鄰點的棋子小洪首先拿走點處的1枚棋子，然后沿順時針方向每隔1枚拿走2枚棋子，這樣連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過當將要第10次越過處棋子取走其他棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)

11、圓周上余下20多枚棋子若是14的倍數(shù)，請精確算出圓周上現(xiàn)在還有多少枚棋子？【解析】 設(shè)圓周上余枚棋子，從第9次越過處拿走2枚棋子到第10次將要越過處棋子時，小洪拿了枚棋子，所以在第9次將要越過處棋子時，圓周上有枚棋子依次類推，在第8次將要越過處棋子時，圓周上有枚棋子，在第1次將要越過處棋子時，圓周上有枚棋子，在第1次將要越過處棋子之間，小洪拿走了枚棋子，所以是14的倍數(shù)，是2和7的公倍數(shù)，所以必須是奇數(shù)；又，所以必須是7的倍數(shù)當，25，27，29時，不是7的倍數(shù)，當時，是7的倍數(shù)所以，圓周上還有23枚棋子【例 8】 (圣彼得堡數(shù)學奧林匹克)尤拉想出一個數(shù)，將它乘以13，刪去乘積的末位數(shù)，將所得

12、的數(shù)再乘以7，再刪去乘積的末位數(shù)，最終得到的數(shù)為21問：尤拉最初所想的是哪一個數(shù)？【解析】 解法一：(從分析結(jié)果入手)在第二次刪去末位數(shù)之前，尤拉面臨的是一個三位數(shù)，其值在210至219之間在這些數(shù)中，只有兩個數(shù)是7的倍數(shù)：和這就意味著在乘以7之前，尤拉的數(shù)是30或31因而在第一次刪去末位數(shù)之前，尤拉所面臨的數(shù)為300到319之間的一個三位數(shù)在這些數(shù)中只有一個數(shù)是13的倍數(shù)：，所以尤拉最初所想出的數(shù)是24解法二：(利用單調(diào)性)容易看出，如果增大一開始的數(shù)，發(fā)現(xiàn)最終所得的數(shù)不會減小，這是因為無論是乘法運算，還是刪去末位數(shù)的操作，都具有“非降性”如果開始所想的數(shù)是25，那么運算過程如下：25325

13、3222422.綜合上述兩方面，即知尤拉最初所想的數(shù)是24【鞏固】 (2008年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽)有足夠多的盒子依次編號0，1，2，只有0號是黑盒，其余的都是白盒開始時把10個球放入白盒中，允許進行這樣的操作：如果號白盒中恰有個球，可將這個球取出，并給0號、1號、，號盒中各放1個如果經(jīng)過有限次這樣的操作后，最終把10個球全放入黑盒中，那么4號盒中原有 個球【解析】 使用倒推法最終各盒中依次有球(10，0，0，0，)，前一次必然分的是1號盒中的球，否則1號盒中最終至少有1個球所以，倒數(shù)第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，)依次倒推，為：(10，0，0，0，)(9

14、，1，0，0，)(8，0，2，0，0，)(7，1，2，0，0，)(6，0，1，3，0，)(5，1，1，3，0，)(4，0，0，2，4，)(3，1，0，2，4，)(2，0，2，2，4，)(1，1，2，2，4，)(0，0，1，1，3，5)，0號盒中此時為0個球，不能再倒推所以，4號盒中原有3個球【例 9】 一個數(shù)列有如下規(guī)則：當數(shù)是奇數(shù)時，下一個數(shù)是；當數(shù)是偶數(shù)時，下一個數(shù)是如果這列數(shù)的第一個數(shù)是奇數(shù)，第四個數(shù)是，則這列數(shù)的第一個數(shù)是 【解析】 本題可以進行倒推的前一個數(shù)只能是偶數(shù)，的前一個數(shù)可以是偶數(shù)或奇數(shù)，的前一個是可以是偶數(shù)或奇數(shù)，而的前一個只能是偶數(shù)由于這列數(shù)的第一個是奇數(shù)，所以只有43滿

15、足故這列數(shù)的第一個數(shù)是43也可以順著進行分析假設(shè)第一個數(shù)是，由于是奇數(shù)，所以第二個數(shù)是，是個偶數(shù)，那么第三個數(shù)是，第四個數(shù)是11，11只能由偶數(shù)22得來，所以，得到，即這列數(shù)的第一個數(shù)是43【鞏固】 （2009年第七屆“走進美妙的數(shù)學花園”初賽六年級）在信息時代信息安全十分重要，往往需要對信息進行加密，若按照“乘3加1取個位”的方式逐位加密，明碼“16”加密之后的密碼為“49”，若某個四位明碼按照上述加密方式，經(jīng)過兩次加密得到的密碼是“2445”，則明碼是 【解析】 09這10個數(shù)字乘以3所得的數(shù)的個位數(shù)字互不相同是本題可以進行判斷的基礎(chǔ)采用倒推法，可以得到經(jīng)過一次加密之后的密碼是“7118”

16、，再進行倒推，可以得到原來的明碼是2009.【例 10】 (2005年武漢“明星奧數(shù)挑戰(zhàn)賽”)設(shè)有25個標號籌碼，其中每個籌碼都標有從1到49中的一個不同的奇數(shù)，兩個人輪流選取籌碼當一個人選取了標號為的籌碼時，另一個人必須選取標號為的最大奇因數(shù)的籌碼如果第一個被選取的籌碼的編號為5，那么當游戲結(jié)束時還剩 個籌碼【解析】 解若 547471313434377232319195當一個人拿到19時，下一個人就要拿5了，故游戲結(jié)束，拿了7個剩(個)【例 11】 (2008年北大附中“資優(yōu)博雅杯”數(shù)學競賽)一個盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋

17、子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那么，經(jīng)過399次操作后，最后剩下的棋子是 顏色(填黑或者白)【解析】 由于起初白子200枚是偶數(shù)，若同色，補黑子1枚，白子仍為偶數(shù)；若異色，補白子1枚，白子仍為偶數(shù)因此最后1枚不可能是白子，故應(yīng)是黑子【鞏固】 (第四屆“走美”試題)30粒珠子依8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色、的次序串成一圈一只蚱蜢從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上這只蚱蜢至少要跳幾次才能再次落在黑珠子上【解析】 這些珠子按8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色、的次序串成一圈，那么每

18、10粒珠子一個周期，我們可以推斷出這30粒珠子數(shù)到第9和10、19和20、29和30、39和40、49和50粒的時候，會是黑珠子剛才是從第10粒珠子開始跳，中間隔6粒，跳到第17粒，接下來是第24粒、31粒、38粒、45粒、52粒、59粒，一直跳到59粒的時候會是黑珠子，所以至少要跳7次【鞏固】 在黑板上寫上、，按下列規(guī)定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數(shù)和，然后寫上它們的差(大數(shù)減小數(shù))，直到黑板上剩下一個數(shù)為止問黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【解析】 根據(jù)等差數(shù)列求和公式，可知開始時黑板上所有數(shù)的和為是一個偶數(shù)，而每一次“操作”，將、兩個數(shù)變成了，它們的和減少了，即減少了一個偶

19、數(shù)那么從整體上看，總和減少了一個偶數(shù)，其奇偶性不變，還是一個偶數(shù)所以每次操作后黑板上剩下的數(shù)的和都是偶數(shù)，那么最后黑板上剩下一個數(shù)時，這個數(shù)是個偶數(shù)【例 12】 桌上有一堆石子共1001粒。第一步從中扔去一粒石子，并把余下的石子分成兩堆。以后的每一步，都從某個石子數(shù)目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作兩堆。問：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都剛好有3粒石子？【解析】 不可能事實上，如果可能的話，那么假定最后在桌上剩下了堆石子，每堆3粒，則在此之前一共進行了次操作（開始時只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作次后分成堆）而每操作一次，都扔去一粒石子，所以一共扔去粒石子因此，得到，但100

20、2不是4的倍數(shù)，說明不是整數(shù)，導(dǎo)致矛盾所以不可能【鞏固】 有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子問，能否做到：某2堆石子全部取光？3堆中的所有石子都被取走？【解析】 要使得某兩堆石子全部取光，只需使得其中有兩堆的石子數(shù)目一樣多，那么如果我們把最少的一堆先取光，只要剩下的兩堆中有一堆數(shù)目是偶數(shù)，再平分一下就可以實現(xiàn)了而題中數(shù)字正好能滿足要求所以，全部取光兩堆是可以的對于第二個問題，要取走全部3堆，則必須3堆石子的總數(shù)是3的倍數(shù)才有可能，但1

21、989、989、89之和并非3的倍數(shù)，所以是不可能的可以取光其中的兩堆石子如進行如下的操作：第1堆         第二堆            第三堆1989           989        

22、60;      891900           900               0   (第一步：三堆各取走89塊)1900           450

23、               450  (第二步：第二堆900是偶數(shù)，將其一半移入第三堆)1450         0                 0   (第三步：三堆各取走

24、450塊)不能將三堆全部取光 因為每一次取走石子是從三堆中同時取走相同數(shù)目的石子，那么每次取走的石子數(shù)都是3的倍數(shù)，則不論怎么取，取走的石子總數(shù)是3的倍數(shù)，而，3067被3除余1，不是3的整數(shù)倍，所以不能將三堆石子全部取光【例 13】 今有101枚硬幣，其中有100枚同樣的真幣和1枚偽幣，偽幣和真幣的重量不同現(xiàn)需弄清楚偽幣究竟比真幣輕還是重、但只有一架沒有砝碼的天平，那么怎樣利用這架天平稱兩次，來達到目的？【解析】 101枚硬幣，如果進行稱重的話應(yīng)該保證天平兩邊的硬幣數(shù)相等因此應(yīng)該首先拿掉一個，把剩下的100枚硬幣在天平兩邊各放50個如果這時天平兩邊重量相等的話，就說明剩下的那個是偽幣只要任意

25、拿出一個真幣和這個偽幣再稱一次就可以知道真幣和偽幣那種比較重了如果天平兩邊重量不相等的話，就是說偽幣還在這100個硬幣中可以拿出其中比較輕的50個這時同樣還是把他們分成兩個25枚，分到天平兩邊稱重如果兩邊重量相等，說明這50個硬幣都是真的偽幣在比較重的那50個中，因此偽幣就應(yīng)該比真幣重如果兩邊重量不相等，說明偽幣就在這50個比較輕的硬幣中，顯然偽幣就應(yīng)該比真幣輕同樣道理，也可以把比較重的那50個硬幣分成兩個25進行稱重，同樣也可以得出結(jié)論【鞏固】 9個金幣中，有一個比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎（天平無砝碼）?【解析】 第一次在左右兩托盤各放置3個：(一)如果不平衡，那么較輕的

26、一側(cè)的3個中有一個是假的從中任取兩個分別放在兩托盤內(nèi)：如果不平衡，較低的一側(cè)的那個是假的；如果平衡，剩下的一個是假的；(二)如果平衡，剩下的三個中必有一個為假的從中任取兩個分別放在兩托盤內(nèi)：如果不平衡，較低的一側(cè)的那個是假的；如果平衡，剩下的那個是假的這類稱量找假幣的問題，一定要會分類，并盡量是每一類對應(yīng)天平稱量時的不同狀態(tài)(輕，重，平)，所以分成3堆是很常見的分法【鞏固】 你有四個裝藥丸的罐子，每個藥丸都有一定的重量，被污染的藥丸是沒被污染的重量1.只稱量一次，如何判斷哪個罐子的藥被污染了？【解析】 第一瓶拿一個藥丸，第二瓶拿兩個藥丸，第三瓶拿三個，第四瓶拿四個，稱一下比標準的10個藥丸重多

27、少，重多少就是第幾個瓶子里的藥丸被污染.【例 14】 有大，中，小3個瓶子，最多分別可以裝入水1000克，700克和300克.現(xiàn)在大瓶中裝滿水，希望通過水在3個瓶子間的流動使得中瓶和小瓶上標出100克水的刻度線，問最少要倒幾次水？【解析】 通過對三個數(shù)字的分析，我們發(fā)現(xiàn)700-300-300=100，是計算步數(shù)最少的得到100的方法而由于我們每計算一步就相當于倒一次水，所以倒水最少的方案應(yīng)該是：1大瓶往中瓶中倒?jié)M水2中瓶往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中還剩下400克水3小瓶中水倒回大瓶4中瓶再往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中只剩下100克水，標記5小瓶中水倒回大瓶6中瓶中100克水倒入小瓶，標記所以最少要

28、倒6次水本題關(guān)鍵是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然無法再往小瓶中倒水的【例 15】 (第七屆“華杯賽”決賽)對一個自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2；如果是奇數(shù)則加1. 如此進行直到為1操作停止. 求經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個？【分析】 可以先嘗試一下，得出下面的圖：其中經(jīng)1次操作變?yōu)?的1個，即2，經(jīng)2次操作變?yōu)?的1個，即4，經(jīng)3次操作變?yōu)?的2個，即3，8，經(jīng)6次操作變?yōu)?的有8個，即11，24，10，28，13，30，64，31.于是，經(jīng)1、2、次操作變?yōu)?的數(shù)的個數(shù)依次為1，1，2，3，5，8， 這一串數(shù)中有個特點：自第三個開始，每一個等于前兩個的和，即211，321，532，8

29、53，如果這個規(guī)律正確，那么8后面的數(shù)依次是8513，13821，即經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有34個.為什么上面的規(guī)律是正確的呢？道理也很簡單. 設(shè)經(jīng)過次操作變?yōu)?的數(shù)的個數(shù)為,則1，1，2，從上面的圖看出，比大. 一方面，每個經(jīng)過次操作變?yōu)?的數(shù)，乘以2，就得出一個偶數(shù)，經(jīng)過次操作變?yōu)?；反過來，每個經(jīng)過次操作變?yōu)?的偶數(shù)，除以2，就得出一個經(jīng)過次操作變?yōu)?的數(shù). 所以經(jīng)過次操作變?yōu)?的數(shù)與經(jīng)過次操作變?yōu)?的偶數(shù)恰好一樣多.前者的個數(shù)是,因此后者也是個.另一方面，每個經(jīng)過次操作變?yōu)?的偶數(shù)，減去1，就得出一個奇數(shù)，它經(jīng)過次操作變?yōu)?，反過來.每個經(jīng)過次操作變?yōu)?的奇數(shù)，加上1，就得出一個偶數(shù)，

30、它經(jīng)過次操作變?yōu)?. 所以經(jīng)過次操作變?yōu)?的偶數(shù)經(jīng)過次操作變?yōu)?的奇數(shù)恰好一樣多.而由上面所說，前者的個數(shù)就是,因此后者也是.經(jīng)過1次操作變?yōu)?的數(shù)，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，所以 即上面所說的規(guī)律的確成立.滿足規(guī)律，并且1的一串數(shù) 稱為裴波那契數(shù)列，斐波那契（Fibonacci,約11751250）是意大利數(shù)學家，以他的名字命名的這種數(shù)列有很廣泛的應(yīng)用.模塊二、制定最優(yōu)的設(shè)計方案【例 16】 小明騎在牛背上趕牛過河共有甲、乙、丙、丁4頭牛甲牛過河需要1分鐘，乙牛過河需要2分鐘，丙牛過河需要5分鐘，丁牛過河需要6分鐘每次只能趕兩頭牛過河，那么小明要把這4頭牛都趕到對岸，最小要用多少分鐘？【解析】 要

31、想用最少的時間，4頭牛都能過河，保證時間最短： 第一步：甲與乙一起過河，并由小明騎甲牛返回，共用：(分鐘)； 第二步：返回原地的小明再騎丙與丁過河后再騎乙牛返回，共用了(分鐘)； 第三步：最后小明騎甲與乙一起過河用了分鐘；所以，小明要把這4頭牛都趕到對岸，最小要用(分鐘)【鞏固】 (03年迎春杯試題)小強、小明、小紅和小蓉4個小朋友效游回家時天色已晚，他們來到一條河的東岸，要通過一座小木橋到西岸，但是他們4個人只有一個手電筒，由于橋的承重量小，每次只能過2人，因此必須先由2個人拿著手電筒過橋，并由1個人再將手電筒送回，再由2個人拿著手電筒過橋直到4人都通過小木橋.已知，小強單獨過橋要1分鐘；小

32、明單獨過橋要1.5分鐘;小紅單獨過橋要2分鐘;小蓉單獨過橋要2.5分鐘.那么,4個人都通過小木橋,最少要多少分鐘？【解析】 (方法一)要想用最少的時間，4人都通過小木橋，可采用讓過橋最快的小強往返走，將手電筒送回，這樣就能保證時間最短了第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用：(分鐘)；第二步：返回原地的小強與小紅過橋后再返回，共用了(分鐘)；第三步：最后小強與小蓉一起過橋用了分鐘；所以，4個人都通過小木橋，最少用(分鐘)(方法二)要想用最少的時間，4人都能過橋，保證時間最短還可以：第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用：(分鐘)；第二步：返回原地的小紅與小蓉過橋

33、后再由小明帶手電返回，共用了(分鐘)；第三步：最后小強與小小明一起過橋用了分鐘；所以，4個人都通過小木橋，最少用(分鐘)【例 17】 (圣彼得堡數(shù)學奧林匹克)牛奶和李子果醬被裝在同樣的瓶子里出售，同時商店還開展回收此類空瓶的業(yè)務(wù)每5個空瓶可以換1瓶牛奶，每10個空瓶可以換1瓶李子果醬謝遼沙從地窖里找到了60個空瓶，拿到商店去換物品他每次只換回一瓶牛奶，或一瓶李子果醬，并且等把換到的牛奶或李子果醬都吃掉后，再拿空瓶去換物品在進行了若干次交換之后，他手中只剩下了1個空瓶問：他一共進行了多少次交換？【解析】 設(shè)謝遼沙有欠換得牛奶，有次換得李子果醬每換回1瓶牛奶，他手中的瓶子都減少4個(他付出5個空瓶

34、，換回1個裝有牛奶的瓶子)；而每換回1瓶李子果醬，他手中的瓶子都減少9個題意表明，在進行了所有的交換之后，他手中的瓶子一共減少59個，故有由于與都是非負整數(shù)，所以，并且是4的倍數(shù)經(jīng)過列舉，知僅當時，是4的倍數(shù)，所以，是唯一解即一共進行了(次)交換【例 18】 (2008年北大附中“資優(yōu)博雅杯”數(shù)學競賽)有一只小猴子在深山中發(fā)現(xiàn)了一片野香蕉園，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把 根香蕉帶回家？【解析】 首先，猴子背著100根香蕉直接回家，會怎樣？在到家的時候，猴子剛好吃完最后一根香蕉，其他20

35、0根香蕉白白浪費了！折返，求最值問題，我們需要設(shè)計出一個最優(yōu)方案猴子必然要折返3次來拿香蕉我們?yōu)楹镒酉氲揭粋€絕妙的主意：在半路上儲存一部分香蕉猴子的路線：這兩個儲存點與就是猴子放置香蕉的地方，怎么選呢？最好的情況是：(一)當猴子第次回去時，都能在這里拿到足夠到野香蕉園的香蕉(二)當猴子第次到達儲存點時，都能將之前路上消耗的香蕉補充好(即身上還有100個)(三)點同上的距離為，路上消耗個香蕉的距離為，路上消耗個香蕉猴子第一次到達點，還有個香蕉，回去又要消耗個，只能留下個香蕉這個香蕉將為猴子補充次路過時的消耗和需求，每次都是個，則米，猴子將在留下60個香蕉那么當猴子次到達時，身上又有了100個香蕉

36、，到時還有個，從回需要個，可在留下個，用于時補充從到的消耗個則：至此，猴子到家時所剩的香蕉為：因為猴子每走10米才吃一個香蕉，走到家時最后一個10米才走了，所以還沒有吃香蕉，應(yīng)該還剩下54個香蕉【例 19】 如右圖，在街道上有A、B、C、D、E五棟居民樓，現(xiàn)在設(shè)立一個公交站，為使五棟樓的居民到車站的距離之和最短，車站應(yīng)立于何處？【解析】 條件中只有五個樓的名字和排列順序，樓與樓的距離也不確定.那么我們先來分析一下A、E兩個點，不論這個郵筒放在AE之間的那一點，A到郵筒的距離加上E到郵筒的距離就是AE的長度，也就是說郵筒放在哪兒不會影響這兩個點到郵筒的距離之和；那么我們就使其他的3個點到郵筒的距

37、離之和最短，再看為了使B、D兩個到郵筒的距離之和小，應(yīng)把郵筒放在BD之間.同理，只要是在BD之間，B、D到郵筒的距離之和也是不變的，等于BD.最后，只需要考慮C點到郵筒的距離最近就行了.那么當然也就是把郵筒放在C點了.這里就體現(xiàn)了一個“向中心靠攏的思想”【鞏固】 老師可以把上題的條件變?yōu)?有A、B、C、D、E、F六棟樓，要想使居民到達車站的距離之和最短，應(yīng)該設(shè)在何處？【解析】 找最中間的那棟樓，可這時最中間的樓有兩個，這該怎么辦呢？其實經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，建在這兩個樓都一樣，路程和最短，所以可以建在C或D .如果我們只要求建在這條道路上的一點即可，那么之間及點、均可.【鞏固】 道路沿線有一些垃圾回收

38、站點，現(xiàn)需要將每個回收站點的垃圾都運送到一個處理場(處理場也可以設(shè)在站點上)，希望所有站點到處理場的距離總和最短若有2個回收站點，請在下面線上用標出這個處理場的位置若有3個回收站點，請在下面線上用標出這個處理場的位置若有4個回收站點，請在下面線上用標出這個處理場的位置若有5個回收站點，請在下面線上用標出這個處理場的位置若有59個回收站點，請說明這個處理場應(yīng)設(shè)的位置【解析】 站點與站點間的任意一點 站點站點與站點間的任意一點站點 站點【例 20】 (奧數(shù)網(wǎng)習題庫)右圖是A，B，C，D，E五個村之間的道路示意圖，中數(shù)字是各村要上學的學生人數(shù)，道路上的數(shù)表示兩村之間的距離(單位：千米)現(xiàn)在要在五村之

39、中選一個村建立一所小學為使所有學生到學校的總距離最短，試確定最合理的方案.【解析】 “小往大處靠”的原則來解決，A點向C點集中，因為根據(jù)“小往大處靠”的原則，雖然A點40人比C點20人多，但是人最多的點是E點，所以大方向是向E點的方向靠攏那么B點當然也要向C點靠攏C點就有80人了.此時人數(shù)最多的點變成了C點了.D、E又變成小勢力了，因此還是“小往大處靠”的原則，看大方向，E點要向D點靠攏.此時D點變成85人了那么D點比此時C點的80人多了.C點又變成小勢力了.所以最終要集中在D點.也就是學校要設(shè)在D點.說明：對于集中貨物的問題，涉及到了重量，而集中到何處起決定作用的是貨物的重量，而至于距離，僅

40、僅只是為了計算所以對于這類問題老師要強調(diào)“小往大處靠”的原則【鞏固】 (04年我愛數(shù)學夏令營試題)一條直街上有5棟樓，從左到右編號為1，2，3，4，5，相鄰兩樓的距離都是50米第1號樓有1名職工在A廠上班，第2號樓有2名職工在A廠上班，第5號樓有5名職工在A廠上班A廠計劃在直街上建一通勤車站接送這5棟樓的職工上下班，為使這些職工到通勤車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號樓多少米處？ 【解析】 如圖所示，“小往大處靠”的原則來解決，故應(yīng)建在4號樓的位置，距1號樓150米處【鞏固】 (人大附中分班考試題)在一條公路上，每隔10千米有一座倉庫(如右圖)，共有五座，圖中數(shù)字表示各倉庫庫存貨物的重量

41、.現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要運費元，那么集中到哪個倉庫運費最少？【解析】 這道題可以用“小往大處靠”的原則來解決.E點60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢力，A往E那個方向集中，集中到B,B變成40噸，判斷仍是E的勢力最大，所以繼續(xù)向E方向集中，B點集中到C點，C點變成60噸.此時C點和E點都是60噸，那么C、E誰看成大勢力都可以.例如把E點集中到D點，D點是70噸.所以C點也要集中到D點.確定了集中地點，運輸費用也就容易求了.運費最少為：(06010)1530(元)【鞏固】 產(chǎn)地A1、A2、A3和銷售地B1、B2、B3、B4都在鐵路線上，位置如下圖所示

42、.已知A1、A2、A3的產(chǎn)量分別為5噸、3噸、2噸；B1、B2、B3、B4的銷售量分別是1噸、2噸、3噸、4噸.試求出使總運輸噸公里數(shù)最小的調(diào)運方案?！窘馕觥?A1運往B11噸；運往B22噸；運往B32噸。A2運往B31噸；運往B42噸。A3運往B42噸?！纠?21】 某工地A有20輛卡車，要把60車渣土從A運到B，把40車磚從C運到D（工地道路圖如右圖所示），問如何調(diào)運最省汽油？ 【解析】 把渣土從A運到B或把磚從C運到D，都無法節(jié)省汽油.只有設(shè)法減少跑空車的距離，才能省汽油。解：如果各派10輛車分別運渣土和磚，那么每運一車渣土要空車跑回300米，每運一車磚則要空車跑回360米，這樣到完成任

43、務(wù)總共空車跑了300×60360×40=32400（米）。如果一輛車從ABCDA跑一圈，那么每運一車渣土、再運一車磚要空車跑240+90330（米）.因此，先派20輛車都從A開始運渣土到B，再空車開往C運磚到D后空車返回A，這樣每輛車跑兩圈就完成了運磚任務(wù).然后再派這20輛車都從A運渣土到B再空車返回A，則運渣土任務(wù)也完成了.這時總共空車跑了330×40+300×2019200（米）.后一種調(diào)運方案比前一種減少跑空車13200米，這是最佳節(jié)油的調(diào)運方案。【例 22】 一支勘探隊在五個山頭A、B、C、D、E設(shè)立了基地，人數(shù)如右圖所示.為調(diào)整使各基地人數(shù)相同

44、，如何調(diào)動最方便？（調(diào)動時不考慮路程遠近） 【解析】 在人員調(diào)運時不考慮路程遠近的因素，就只需避免兩個基地之間相互調(diào)整，即“避免對流現(xiàn)象”。五個基地人員總數(shù)為 17+4+16+14+9=60（人）依題意，調(diào)整后每個基地應(yīng)各有 60÷5=12（人）。因此，需要從多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E調(diào)人.為了避免對流，經(jīng)試驗容易得到調(diào)整方案如下：先從D調(diào)2人到E，這樣E尚缺1人；再由A調(diào)1人給E，則E達到要求.此時，A尚多余4人，C也多余4人，總共8人全部調(diào)到B，則B亦符合要求?！纠?23】 189米長的鋼筋要剪成4米或7米兩種尺寸，如何剪法最省材料？【解析】 顯然無殘料的

45、剪法是最優(yōu)方案.于是考慮二元一次不定方程的整數(shù)解問題。解：設(shè)4米長的剪x根，7米長的剪y根，依題意列方程4x7y189。根據(jù)倍數(shù)分析法可知7x（即x是7的倍數(shù)）。令x10，則7y189，解出y1=27；x27，則7y161，解出y223；x3=14，則7y133，解出y319；x4=21，則7y=105，解出y4=15；x528，則7y=77，解出y5=11；x6=35，則7y49，解出y67；x7=42，則7y21，解出y7=3。因此，有七種剪法都是最省材料的。【鞏固】 用10尺長的竹竿做原材料，來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎么截法最合算？【解析】

46、不難想到有三種截法省料：截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，無殘料；截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，殘料1尺；截法3：截成4尺、4尺兩段，殘料2尺。由于截法1最理想（無殘料），因此應(yīng)該充分應(yīng)用截法1.考慮用原材料50根，可以截成100根3尺長的短竹竿，而4尺長的僅有50根，還差50根.于是再應(yīng)用截法3，截原材料25根，可以得到4尺長的短竹竿50根，留下殘料2×2550（尺）。所以至少要用75根原材料，其中50根用截法1，25根用截法3，這樣的截法最省料.【例 24】 大桶能裝5千克油，小桶能裝4千克油，你能用這兩只桶量出6千克油嗎?怎么量？【解析】 先將5千克的桶倒?jié)M油；再用大桶將小

47、桶倒?jié)M，大桶中還有5-4=1(千克)油；然后將小桶倒空，將大桶中1千克倒到小桶中；最后注滿大桶，連小桶中共是5+1=6(千克)這道題要學會借助于大桶小桶容積的差量出想獲得的中間量(1千克)【例 25】 (2008年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽)下圖的長方形，黑色兩塊是邊長為1與4的磁磚，其余的部分尚未鋪磁磚：、鋪磁磚的師傅說：“只需邊長為7、8、9、10、14、15、18的正方形磁磚各一塊(共七塊)，就可以將整個長方形鋪滿”試著鋪鋪看，并把結(jié)果圖示在下圖中(請用粗線標出各塊的邊緣，并在中心標出其邊長)【解析】 從右上角開始考慮，邊長為1的黑色磁磚到右邊的距離為9，而上面的距離

48、為8，所以右上角放的正方形最好是邊長為8或9的正方形，嘗試可知8不行，9有如下鋪法：注：這個問題來自于歷史上的著名問題：“完全正方形”和“完全長方形”數(shù)學上所謂“完全正方形”，是指一個大正方形完全由較小的正方形所構(gòu)成，且小正方形的面積都不相等“完全長方形”，是指一個大長方形完全由較小的正方形所構(gòu)成，且小正方形的面積都不相等其中小正方形的個數(shù)稱為這個“完全正方形”或“完全長方形“的階這個問題中給出的例子是一個9階的“完全長方形”，這是階數(shù)最少的完全長方形，“完全正方形”的階數(shù)最少為21模塊三、染色與操作（證明）【例 26】 六年級一班全班有名同學，共分成排，每排人，坐在教室里，每個座位的前后左右

49、四個位置都叫作它的鄰座如果要讓這名同學各人都恰好坐到他的鄰座上去，能辦到嗎？為什么？【解析】 建議建議教師在本講可以以游戲的形式激發(fā)學生自主解決問題劃一個的方格表，其中每一個方格表示一個座位將方格黑白相間地染上顏色，這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座因此每位同學都坐到他的鄰座相當于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格但實際上圖中有個黑格，個白格，黑格與白格的個數(shù)不相等，故不能辦到【例 27】 圖是學校素質(zhì)教育成果展覽會的展室，每兩個相鄰的展室之間都有門相通有一個人打算從室開始依次而入，不重復(fù)地看過各室展覽之后，仍回到室，問他的目的能否達到，為什么？【解析】 采用染色法如右圖，共有個展覽室，對這個

50、展覽室，黑白相間地進行染色，從白室出發(fā)走過第扇門必至黑室，再由黑室走過第扇門至白室，由于不重復(fù)地走遍每一間展覽室，因此將走過黑白相間的個展覽室，再回到白室，共走過扇門由于走過奇數(shù)次門至黑室，走過偶數(shù)次門至白室 現(xiàn)在，走過扇門，必至黑室，所以無法回到原來的白室【例 28】 右圖是某套房子的平面圖，共個房間，每相鄰兩房間都有門相通請問：你能從某個房間出發(fā)，不重復(fù)地走完每個房間嗎? 【解析】 如圖所示，將房間黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)有個白格，個黑格因為每次只能由黑格到白格或由白格到黑 格，路線必然黑白相間，這樣白格數(shù)目與黑格數(shù)目之差最多為才能不重復(fù)，但圖中黑格比白格多個，所以無法實現(xiàn)不重復(fù)走遍【鞏固】 有

51、一次車展共個展室，如右圖，每個展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口如圖所示參觀者能否從入口進去，不重復(fù)地參觀完每個展室再從出口出來?【解析】 如右圖，對每個展室黑白相間染色，那么每次只能從黑格到白格或從白格到黑格由于入口處和出口處都是白格，而路線黑白相間，首尾都是白格，于是應(yīng)該白格比黑格多個，而實際上白格、黑格都是個，故不可能做到不重復(fù)走遍每個展室【例 29】 如右圖，在方格的格中有一只爬蟲，它每次總是只朝上下左右四個方向爬到相鄰方格中那么它能否不重復(fù)地爬遍每個方格再回到格中?【解析】 由小蟲的爬法，仍可黑白相間對方格自然染色，于是小蟲只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格所以，它由出發(fā)回到，即

52、黑格爬到黑格，必須經(jīng)過偶數(shù)步而小方格為個，每格爬過一次，就應(yīng)該為步，不是偶數(shù)于是這只爬蟲不可能不重復(fù)地爬遍每格再回到格【例 30】 右圖是半張中國象棋盤，棋盤上放有一只馬眾所周知，馬是走“日”字的請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？【解析】 馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下圖所示：先在棋盤各交點處相間標上和，圖中共有22個和23個因為馬走“日”字，每步只能從跳到，或由跳到，所以馬從某點跳到同色的點（指或），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點，要跳奇數(shù)步現(xiàn)在馬在點，要跳回這一點，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有個點，所以不可能做到不重復(fù)地走遍所有

53、的點后回到出發(fā)點討論：如果馬的出發(fā)點不是在點上而是在點上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個點，最后回到出發(fā)點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的但是如果放棄“回到出發(fā)點”的要求，那么情況就不一樣了從某點出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點以外的其它個點，要跳步，是偶數(shù)，所以起點和終點應(yīng)是同色的點（指或）因為步跳過的點與點各個，所以起點必是，終點也是也就是說，當不要求回到出發(fā)點時，只要從出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點【鞏固】 一只電動老鼠從右圖的點出發(fā)，沿格線奔跑，并且每到一個格點不是向左轉(zhuǎn)就是向右轉(zhuǎn)當這只電動老鼠又回到點時，甲說它共轉(zhuǎn)了次彎，乙說它共轉(zhuǎn)了次彎如果甲、乙二人有一

54、人說對了，那么誰正確？ 【解析】 如右圖所示:格點黑白相間染色，因為老鼠遇到格點必須轉(zhuǎn)彎，所以經(jīng)過多少個格點就轉(zhuǎn)了多少次彎如右上圖所示，老鼠從黑點出發(fā)，到達任何一個黑點都轉(zhuǎn)了奇數(shù)次彎，所以甲正確模塊四、染色與操作（剪拼）【例 31】 有7個蘋果要平均分給12個小朋友，園長要求每個蘋果最多分成5份應(yīng)該怎樣分？【解析】 顯然每人應(yīng)該分+于是，拿4個蘋果，每個蘋果3等分；拿3個蘋果，每個蘋果4等分【例 32】 右圖是由個大小相同的方格組成的圖形試問能不能剪裁成個由相鄰兩方格組成的長方形？【解析】 將這個小方格黑白相間染色（見右下圖），有個黑格，個白格相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成個小長方形

55、，那么個格應(yīng)當是黑、白各個，與實際情況不符，所以不能剪裁成個由相鄰兩個方格組成的長方形【鞏固】 你能把下面的圖形分成個大小相同的長方形嗎？動手畫一畫【解析】 可以通過染色發(fā)現(xiàn)黑白方格個數(shù)相同，可以按一黑一白分成塊含有個小方格的長方形，答案如下（答案不唯一）：【鞏固】 有6張電影票(如右圖) ，想撕成相連的3張，共有_種不同的撕法.【解析】 形如的有2種，形如的有8種.所以共有（種）【鞏固】 （難度等級 ）右圖是由個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成個相同的長方形？【解析】 將個小正方形剪裁成個相同的長方形，就是將圖形分割成個的小長方形，將圖形黑白相間染色后，發(fā)現(xiàn)有黑，白，黑、白格數(shù)目不等，而的

56、小長方形覆蓋的總是黑白格各一個，所以不可能做到【鞏固】 右面的三個圖形都是從4×4的正方形紙片上剪去兩個1×1的小方格后得到的. 問：能否把它們分別剪成1×2的七個小矩形.【解析】 如右圖（1）能，黑白格數(shù)相等；（2）（3）不能，黑白格數(shù)不等，而1×2的小矩形一次覆蓋黑白格各一個.【例 33】 用個的長方形能不能拼成一個的正方形？請說明理由【解析】 本題若用傳統(tǒng)的自然染色法，不能解決問題因為要用來覆蓋，我們對正方形用四種顏色染色為了方便起見，這里用、分別代表四種顏色為了使每個長方形在任何位置蓋住的都一樣，我們采用沿對角線染色，如右圖這樣，可以發(fā)現(xiàn)無論將長方形放于何處，蓋住的必然是、各一個要不重疊地拼出，需個長方形，則必然蓋住、各個但實際上圖中一共是個、個、個、個，因而不可能用個長方形拼出正方形【例 34】 能否用個所示的卡片拼成一個的棋盤？【解析】 不能將的棋盤黑白相間染色（見右圖），有個黑格而每張卡片蓋住的黑格數(shù)只能是或者，所以每張卡片蓋住的黑格數(shù)是個奇數(shù)，張卡片蓋住的黑格數(shù)之和也是奇數(shù)，不可能蓋住個黑格【鞏固】 如右圖，缺兩格的方格有個格，能否用個圖不重復(fù)地蓋住它且不留空隙? 【解