1、2019年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí) 幾何題中用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造 手拉 手”莫型 、教學(xué)目標(biāo): i了解并熟悉“手拉手模型”，歸納掌握其基本特征. 2借助“手拉手模型”，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解決相關(guān)問題. 3舉一反三，解決求定值，定角，最值等一類問題. 二、 教學(xué)重難點(diǎn)： 1挖掘和構(gòu)造“手拉手模型”，學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等. 2用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的解題方法最優(yōu)化選擇. 三、 教學(xué)過程： 1復(fù)習(xí)舊知 師：如圖， ABD , BCE為等邊三角形，從中你能得出 哪些結(jié)論？ 生：(ABE DBC (2) ABG DBF (3) CFB EGB (4) BFG 為等邊三角形 師：我們再來重點(diǎn)研究厶 ABE與厶DBC，這兩個(gè)全等的三角形

2、除了對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等外, 還有什么共同特征呢? 生：它們有同一個(gè)字母 B，即同一個(gè)頂點(diǎn) B. 師：我們也可以把 DBC看作由 ABE經(jīng)過怎樣的圖形運(yùn)動(dòng)得到? 生：繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到. 2引入新課 師：其實(shí)我們可以給這兩個(gè)全等的三角形賦予一個(gè)模型，叫“手拉手模型” 特征再做進(jìn)一步的簡化歸納呢？ 生：對應(yīng)邊相等. 師：我們可以稱之為“等線段”. 生：有同一個(gè)頂點(diǎn). 師：我們可以稱之為“共頂點(diǎn)”. 師：等線段，共頂點(diǎn)的兩個(gè)全等三角形，我們一般可以考慮哪一種圖形運(yùn)動(dòng)?(5) AGBDGH (6) Z DHA = 60 ( 7 )H ,G,F ,B 四點(diǎn)共圓 (8) BH 平分Z AHC ，

3、誰可以將這個(gè)模型的 生：旋轉(zhuǎn) 師： “手拉手模型”可以歸納為：等線段，共頂點(diǎn)，一般用旋轉(zhuǎn) 3.小題熱身 1 如圖， BAD 中，/ BAD = 45, AB = AD , AE 丄 BD 于 E, BC 丄 AD 于 C,貝 U AF = BE . 2._ 如圖2, ABC和厶BED均為等邊三角形，ADE三點(diǎn)共線，若BE = 2, CE = 4,貝U AE = _ . 3._ 如圖 3，正方形 ABCD 中，/ EAF = 45, BE = 3, DF = 5,貝U EF = _. 師： 我們來看第 1,第 2 題,這里面有“手拉手模型”嗎？請你找出其中的“等線段,共頂點(diǎn)” 生：題1中，等線段

4、是 AC, BC,共頂點(diǎn)是 C,A ACF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得厶BCD . 題2中，等線段是 AB, BC,共頂點(diǎn)是B, ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得厶CBE . 師：我們再來看第 3 題,這里有“手拉手模型”嗎？ 生：沒有. 師：那其中有沒有“等線段,共頂點(diǎn)”呢？ 生：等線段是 AD, AB,共頂點(diǎn)是A . 師：我們可否利用旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造“手拉手模型”呢？ 生：將 AE 旋轉(zhuǎn),繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90. 師：為什么是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90,你是如何思考的？ 生：我準(zhǔn)備構(gòu)造一個(gè)和 ABE全等的三角形， AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90即為AD ,那么將AE逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn)90可得AG,連接GD,證明全等. 師：

5、說的不錯(cuò),誰能再來歸納一下,借助“手拉手模型” ,用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法嗎？ 生：先找有沒有“等線段,共頂點(diǎn)” ,再找其中一條 “共頂點(diǎn)”的線段,將其旋轉(zhuǎn). 師：旋轉(zhuǎn)角度如何確定,方向怎么選擇？ 生：選擇其中一個(gè)三角形,將“共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角為兩條“等線段”間的夾角.方向 應(yīng)與所選擇的起始“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”時(shí)的方向一致. 師：非常棒,可以說,你已經(jīng)掌握了這節(jié)課的精髓.但是,很多題目中只是隱含了“手拉手模型” 的一些條件,剩余的需要我們自己去構(gòu)造,可以如何構(gòu)造呢？ 步驟 1：先找有沒有“等線段,共頂點(diǎn)” . 步驟 2：選擇其中一個(gè)三角形,將其中經(jīng)過 “共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn). 步

6、驟 3：旋轉(zhuǎn)方向與這個(gè)三角形的“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”的方向一致,旋轉(zhuǎn)角為“等 線段”間的夾角.圖 圖21 3 師：這道題還有一個(gè)要注意的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎? 生：連接GD后，要證明G, D，F(xiàn)三點(diǎn)共線. 4例題精講 例 1:等邊 ABC 中，AD = 4, DC = 3, BD = 5,求/ ADC 度數(shù). 師：這里有沒有隱含的“手拉手模型”？ 要構(gòu)造全等，該怎樣旋轉(zhuǎn)？ 生：將 ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60. 師：你是怎么想的，還有其他做法嗎？ 生：我發(fā)現(xiàn)AB = AC, A為“共頂點(diǎn)”，我選擇的旋轉(zhuǎn)線段 是AD，因?yàn)锳C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至U AB，所以 ADC也要繞 點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

7、60.也可將 ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60. 【解答】 將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60到AE,連接BE, DE .則 ADE也為等邊三角形.易證 AEB ADC,. BE = DC = 4,根據(jù)勾股定理逆定理，可證/ 例2 :如圖， ABO和厶CDO均為等腰直角三角形， AOB = COD =90 .若 BOC的面積為1 ,試求以AD、BC、OC + OD的長度為 三邊長的三角形的面積. 師：由于線段分散，如何通過圖形變換，使這些線段能構(gòu)成一個(gè)三角 形？ 生：將0D繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至0E,即可使OC, OD共線，再通過證明確定 BCE即是以 AD、BC、0C + 0D的長度為三邊長的三角形.

8、【解答】 如圖，將0D繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至0E,連接BE.易證 0AD 0BE , AD = BE ,. BCE 即是以 AD、BC、0C + 0D 長度為三邊長的三角形.又T 0C = 0E,. . SABCE = 2SABOC = 2. 5自主練習(xí) 1._ 如圖，在四邊形 ABCD 中，AD = 4, CD = 3，/ ABC =Z ACB =Z ADC = 45 ，貝U BD 的長為 . BED = 90，則/ AEB = Z ADC = 150 師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法. 生：“等線段”是 CA和BA, “共頂點(diǎn)”是 A .方法是將AD繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90.

9、2._ 如圖，在 ABC中，BC = 2, AB = ,2,以AC為邊，向外做正方形 ACDE，連接BE，貝U BE 最大值為 _ . 師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法. 生：“等線段”是 CA和EA, “共頂點(diǎn)”是 A . 方法是將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 . 師：你為何要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，你準(zhǔn)備旋轉(zhuǎn)哪個(gè)三角形？ 生： ABC，因?yàn)锳C是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到AE,所以AB也繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90. 3. 如圖，點(diǎn) A在O B 上, AB = 1, BC = 2, ACD是等邊三角形, 求厶BCD面積的最大值. 師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法. 生：“等線段”是 CA和CD,

10、 “共頂點(diǎn)”是 C. 方法是將CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60. 附：自主練習(xí)解答 1.如圖，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90至AE,易證 EAC DAB ,可得CE = BD ,又EDA =45, A/ CDE = 90, CD = 3, DE = 4 2，貝U Rt CDE 中，CE2= CD2+ DE2= 32 + (4 . 2)2 =41 A CE= 41 , DB = ,41 2如圖，將 AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90至AF，易證 EAF CAB , 可得 EF = BC = 2. Rt BAF 中，AF = AB= 2, BF = 2.由三 角形三邊關(guān)系易知， BE W EF + BF ,A BE最小值為4. 3.如圖，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至CE，連接D