1、 第42課 三角形中的最值問(wèn)題考點(diǎn)提要1掌握三角形的概念與基本性質(zhì)2能運(yùn)用正弦定理、余弦定理建立目標(biāo)函數(shù)，解決三角形中的最值問(wèn)題基礎(chǔ)自測(cè)1（1）ABC中，則A的值為 30° 或90° ；（2）ABC中，當(dāng)A= 時(shí)，取得最大值 2在ABC中，則的取值范圍是 解 由， 令，由，得3銳角三角形ABC中，若A=2B，則B的取值范圍是 30ºB45º 4設(shè)R，r分別為直角三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則的最大值為5在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，若，則B的取值范圍是 0°B120° 6在ABC中，若A>B，則下列不等式中，

2、正確的為 >； <； >； <解 A>B>>>，故正確；<<A>B，故正確（或由余弦函數(shù)在上的單調(diào)性知正確）；由<<>A>B，故正確知識(shí)梳理1直角ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，C=90°，若內(nèi)切圓的半徑為r，則2在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基礎(chǔ)，起到工具性的作用它們?cè)谔幚砣切沃械娜呛瘮?shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明、判定三角形的形狀及解三角形等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用例題解析例1 已知直角三角形的周長(zhǎng)為1，求其面積的最大值點(diǎn)評(píng) 例2 已知ABC中，（1）求最小內(nèi)角的最大值； （2

3、）若ABC是銳角三角形，求第三邊c的取值范圍解 （1）由三角形三邊關(guān)系得第三邊c滿(mǎn)足解得，故最小內(nèi)角為A又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以A30°，即最小內(nèi)角的最大值為30°（2）因?yàn)锳BC是銳角三角形，即A，B，C三個(gè)角均為銳角，又因?yàn)閍b，所以AB，故只需說(shuō)明B，C為銳角即可由B，C為銳角得 即解得點(diǎn)評(píng) 在銳角三角形中研究問(wèn)題的時(shí)候，一定要注意其三個(gè)角都為銳角這個(gè)條件另外要注意變形的等價(jià)性，如“內(nèi)角A為銳角”例3 （2008江蘇）求滿(mǎn)足條件的ABC的面積的最大值解 設(shè)BC，則AC 根據(jù)面積公式得=，根據(jù)余弦定理得，代入上式得=，由三角形三邊關(guān)系有 解得，故當(dāng)時(shí)取最大值點(diǎn)評(píng)

4、例4 如圖，已知A=30°，P，Q分別在A的兩邊上，PQ=2當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，APQ的面積最大？并求出APQ的最大面積點(diǎn)評(píng) 表示三角形的面積可采用兩邊及夾角的表示法，本題解法一運(yùn)用了余弦定理和基本不等式，解法二運(yùn)用了正弦定理和基本不等式建立目標(biāo)函數(shù)例5 已知ABC的周長(zhǎng)為6，成等比數(shù)列，求：（1）ABC的面積S的最大值； （2）的取值范圍解 設(shè)依次為a，b，c，則a+b+c=6，b 2 =ac由得（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立），又由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立），故有， （1），即（當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c時(shí)，等號(hào)成立）； （2） 點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用均值定理進(jìn)行放縮，再運(yùn)用不

5、等式的性質(zhì)求解（1）為不等式問(wèn)題，（2）為函數(shù)問(wèn)題方法總結(jié)1三角形中角的最值（范圍）問(wèn)題，一般運(yùn)用余弦定理，通過(guò)求該角余弦的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性處理要注意三角形三邊關(guān)系和內(nèi)角范圍的隱含條件，尤其要注意銳角三角形的角的關(guān)系2三角形中邊的最值（范圍）問(wèn)題，主要由有三角形三邊關(guān)系決定3三角形中面積的最值（范圍）問(wèn)題，可以角為自變量，也可以邊為自變量建立目標(biāo)函數(shù)，要注意自變量的范圍練習(xí)42 三角形的最值問(wèn)題班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 1若直角三角形斜邊的長(zhǎng)m（定值），則它的周長(zhǎng)的最大值是 2在銳角ABC中，若，則的取值范圍是 （，） 解 ，而，3在ABC中，若，則A的取值范圍是 0ºB45

6、86; 4若2、3、x分別是銳角三角形的三邊長(zhǎng)，則x的取值范圍是 5若三角形兩邊之和為16 cm，其夾角為60º，則該三角形面積的最大值是 ，周長(zhǎng)的最小值是 24 6已知ABC中，A = 60°，BC = 4，則AB + AC的最大值為_(kāi)7鈍角三角形的三邊為，其中最大角不超過(guò)120°，則的取值范圍是 解 由題意鈍角三角形中，為最大邊且最大角不超過(guò)120°，因此得 ， ， ，由得，得，得或，故8已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若SAOB=9，SCOD=16，則四邊形面積的最小值是 49 9（2006全國(guó)）用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6（單位

7、：cm）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為 cm2解 由題意可圍成以下幾種三角形 圖（1）中，； 圖（2）中，；圖（3）中，比較上述幾種情況可知，能夠得到三角形的最大面積為cm2點(diǎn)評(píng) 當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，三邊越是接近，其面積越大這是等周問(wèn)題中的一個(gè)基本結(jié)論可見(jiàn)，面積最大的三角形應(yīng)該這樣構(gòu)成：2+5，3+4，610在ABC中，已知（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列； （2）求角B的取值范圍解 11如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，EAF=30°，求AEF面積的最小值解 設(shè)AEF的面積為S，BAE=（15º

8、45º），則由EAF=30°得DAF=正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，在RtBAE中，；在RtDAF中， 12（2008四川延考）在ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知（1）若，且A為鈍角，求內(nèi)角A與C的大小；（2）若，求ABC面積的最大值解 （1）由題設(shè)及正弦定理，有故因A為鈍角，所以由，可得，C=，A=（2）由余弦定理及條件，有，故由于ABC面積，又，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立，所以ABC面積的最大值為備用題1直角ABC的斜邊AB=2，內(nèi)切圓的半徑為r，則r的最大值為 2在ABC中，已知sin2A + sin2B = 5sin2C，求證：解 等式sin2A + sin2B = 5sin2C立即聯(lián)想正弦定理，有a2+b2=5c2 而a2+b2=5c2與余弦定理連起來(lái)也無(wú)可非議 c2= a2+b22abcosC，5c2= c2+2abcosC，4c2=2abcosC 于是可知cosC0，C為銳角，而5c2= a2+b22ab， 故4c2=2abcosC5c2cosC cosC，sinC 點(diǎn)評(píng) 從外形的聯(lián)想，到方法的選擇，這樣的直覺(jué)思維隨時(shí)隨地都會(huì)出現(xiàn)在解題過(guò)程中3已知ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足（1）求A； （2）若ABC的面積為4，求ABC周