1、混沌現(xiàn)象講稿（按講授4學(xué)時(shí)準(zhǔn)備） 引言 §1 混沌現(xiàn)象 由倍周期分岔通往混沌的道路 一、混沌現(xiàn)象實(shí)例 二、由倍周期分岔通往混沌的道路 §2 混沌現(xiàn)象的特性、本質(zhì)及應(yīng)用 一、混沌現(xiàn)象的特性 二、混沌現(xiàn)象的本質(zhì) 三、混沌現(xiàn)象的應(yīng)用 主要參考文獻(xiàn)混沌現(xiàn)象引言 混沌現(xiàn)象是一種普遍存在的復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式。是確定論系統(tǒng)所表現(xiàn)的內(nèi)在隨機(jī)行為的總稱，其根源在于系統(tǒng)內(nèi)部的非線性交叉耦合作用，而不在于大量分子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。再者，作以下的界定也是必要的。即我們所講的混沌現(xiàn)象是比較廣義的，即不僅討論混沌狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，也討論由有序向混沌演化的特點(diǎn)。對(duì)于以上論斷及種種概念后面都要慢慢解釋的。但為

2、了方便學(xué)習(xí)，要先明確幾點(diǎn)。隨機(jī)性是概率論的語(yǔ)言，大體就是偶然性、混亂、無(wú)規(guī)則的意思。對(duì)線性和非線性得多說(shuō)幾句。線性和非線性的區(qū)分粗略地說(shuō)就是看函數(shù)關(guān)系或方程的形式。如就是線性的，就是非線性的。以下作個(gè)比喻來(lái)體會(huì)二者的區(qū)別。設(shè)為人數(shù)，為完成的作業(yè)量數(shù)日。對(duì)，設(shè)有，設(shè)有；若又設(shè)，則有，即整體等于部分之和。而對(duì)則不然。設(shè)有，設(shè)有；若又設(shè)，則，此時(shí)。即整體大于部分之和。可以這樣理解：人與人之間相互作用，相互影響的存在是必然的，三個(gè)以上的人之間就會(huì)出現(xiàn)所謂的非線性交叉耦合作用。此外，對(duì)混沌的理解也和該詞的原有語(yǔ)意“一片混亂”不同，從物理角度講，混沌的內(nèi)涵要豐富得多。長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)牛頓力學(xué)對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述具

3、有確定性這一點(diǎn)深信不疑。因?yàn)橛门ｎD定律解題，結(jié)果總是確定的。所以，人們認(rèn)為只要初始條件確定，系統(tǒng)未來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也就完全確定了下來(lái)，初始條件的細(xì)微變化對(duì)運(yùn)動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生本質(zhì)的影響，而只能使運(yùn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生微小的變化。也就是說(shuō)，用牛頓力學(xué)描述的運(yùn)動(dòng)都是規(guī)則的，系統(tǒng)的行為都是確定的。但事情遠(yuǎn)非如此簡(jiǎn)單。早在100年前，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家龐加萊在研究三體(兩顆行星、一顆衛(wèi)星)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)牛頓力學(xué)的確定論的確存在問(wèn)題。衛(wèi)星軌道是不確定的！毫無(wú)疑問(wèn)，這是對(duì)牛頓力學(xué)確定論思想最初的質(zhì)疑。其實(shí)龐加萊描述的就是所謂的混沌現(xiàn)象，龐加萊可謂混沌現(xiàn)象研究的先驅(qū)。龐加萊的確太超前了。直到本世紀(jì)六十年代后，混沌現(xiàn)象才引起學(xué)術(shù)

4、界的廣泛注意，到七十年代才誕生了還不大成熟的“混沌學(xué)”。其后，“混沌學(xué)”得到了迅速發(fā)展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌現(xiàn)象研究的熱潮。如今，混沌現(xiàn)象的研究已經(jīng)深入到自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)的方方面面，其重要性日顯突出。為了使大家對(duì)混沌現(xiàn)象這一非線性物理學(xué)的核心內(nèi)容有所認(rèn)識(shí)，有所理解，我們本著講敘要由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)的宗旨準(zhǔn)備作如下安排。首先比較系統(tǒng)地介紹一些混沌現(xiàn)象。在有了一些初步感覺(jué)和認(rèn)識(shí)之后再著重講述由倍周期分岔通往混沌的道路，進(jìn)而集中展現(xiàn)混沌現(xiàn)象的特性和本質(zhì)。最后還要認(rèn)真地談一談混沌現(xiàn)象的應(yīng)用。§1 混沌現(xiàn)象 由倍周期分岔通往混沌的道路一、混沌現(xiàn)象實(shí)例1一般舉例雖然混沌現(xiàn)象

5、隨處可見(jiàn)，但因?yàn)槲覀儗?duì)它了解太少，所以往往視而不見(jiàn)，忽略了它的存在。要充分認(rèn)識(shí)混沌現(xiàn)象的確是一件很難的事。但容易理解或比較容易理解的混沌現(xiàn)象的例子還是可以舉出很多的。如蝴蝶效應(yīng)、湍流、三體問(wèn)題、昆蟲繁衍、機(jī)床切削金屬時(shí)或打印機(jī)機(jī)頭因沖擊而引起的混沌振動(dòng)等。另外，癲癇病患者發(fā)病時(shí)的腦電波呈明顯的周期性，而正常的腦電波則近乎隨機(jī)訊號(hào)，其腦電圖曲線代表的就是曲型的混沌現(xiàn)象。單擺是我們熟知的確定性運(yùn)動(dòng)的典型，但當(dāng)角度大到一定程度并有驅(qū)動(dòng)力和阻力時(shí)也居然能夠進(jìn)入混沌狀態(tài)。而在政治、經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭(zhēng)、教育等社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域也發(fā)現(xiàn)了許多混沌現(xiàn)象實(shí)例。下面將著重講三個(gè)例子：三體問(wèn)題、蝴蝶效應(yīng)和昆蟲繁衍問(wèn)題。2三體問(wèn)

6、題讓我們?cè)倩貋?lái)談龐加萊。首先考慮一個(gè)比較特殊的三體問(wèn)題：一顆質(zhì)量很小的衛(wèi)星在兩顆大質(zhì)量(為簡(jiǎn)單可設(shè)質(zhì)量相等)的行星作用下運(yùn)動(dòng)。假定行星在它們之間的萬(wàn)有引力作用下繞其聯(lián)線中心作圓周運(yùn)動(dòng)，而衛(wèi)星質(zhì)量很小，對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略。同時(shí)假定三個(gè)天體在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在要問(wèn)：衛(wèi)星在兩顆行星作用下的運(yùn)動(dòng)情況如何呢？上述模型及由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律所列出的方程看上去挺簡(jiǎn)單的，但它們所代表的運(yùn)動(dòng)卻十分復(fù)雜，竟然無(wú)法得到解的數(shù)學(xué)解析式。現(xiàn)在知道原因在于方程的非線性。龐加萊對(duì)三體問(wèn)題進(jìn)行了深入的探討，以其巨大的智慧，超常豐富的想像力發(fā)明了一套獨(dú)特的定性研究方法，證明了方程根本不存在數(shù)學(xué)解析解。當(dāng)年并沒(méi)有

7、計(jì)算機(jī)，但龐加萊卻能推斷出衛(wèi)星長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)的軌道是纏來(lái)繞去，錯(cuò)綜復(fù)雜的。他在科學(xué)的價(jià)值一書中肯定地指出：一個(gè)非常小的原因會(huì)引出一個(gè)我們不可能視而不見(jiàn)的重要結(jié)果。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和變化對(duì)初始條件的依賴極其敏感，系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為似乎有一種不確定性。龐加萊沒(méi)有借助計(jì)算機(jī)而得到的結(jié)論竟完全正確。今天，用計(jì)算機(jī)通過(guò)數(shù)值計(jì)算很快可以得到衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)在三體問(wèn)題中運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件的依賴的確敏感。當(dāng)兩次計(jì)算設(shè)初始速度相同而初始位置稍有出入時(shí)，計(jì)算表明，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，它們的軌跡就分開(kāi)了很大距離，該系統(tǒng)的演化過(guò)程是不可長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是混沌的。在這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的二維三體問(wèn)題中，極小的偏差竟然使完全確定性的牛頓運(yùn)動(dòng)定

8、律給不出確定的答案，真是令人難以置信！3蝴蝶效應(yīng)今天，“蝴蝶效應(yīng)”幾乎成了混沌現(xiàn)象的代名詞。1961年美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺(tái)老爺計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行長(zhǎng)期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時(shí)的最初輸入的數(shù)據(jù)開(kāi)始驗(yàn)算，而是以一個(gè)中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)一段重復(fù)過(guò)程后，計(jì)算開(kāi)始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個(gè)計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個(gè)月后的某天是晴空萬(wàn)里，另一個(gè)計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！圖1為兩次計(jì)算結(jié)果逐漸顯示出來(lái)的巨大差別。圖1長(zhǎng)期天氣

9、預(yù)報(bào)是不可能的后來(lái)洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時(shí)將原來(lái)的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識(shí)到，因?yàn)樗姆匠淌欠蔷€性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對(duì)初值的依賴不敏感，而非線性方程對(duì)初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。對(duì)此，洛倫茲作了個(gè)形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)一下翅膀會(huì)在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)的姊妹效應(yīng)很多。如“千里之堤，漬于蟻穴”也是一種混沌現(xiàn)象，不妨稱之為“蟻穴效應(yīng)”?？刂普摰膭?chuàng)立者維納曾引用一首民搖對(duì)混沌現(xiàn)象作了生動(dòng)描述：丟失一個(gè)釘子，

10、壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗；輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)帝國(guó)。這又不妨叫做“蹄釘效應(yīng)”。蹄釘效應(yīng)對(duì)混沌現(xiàn)象小誤差的繁殖、生長(zhǎng)和逐級(jí)放大的特點(diǎn)描繪得尤其逼真。4昆蟲繁衍 蟲口模型 蟲口方程昆蟲繁衍是個(gè)有代表性的混沌現(xiàn)象。由分析昆蟲繁衍提出的蟲口(即昆蟲數(shù)量，昆蟲“人口”，簡(jiǎn)稱蟲口)模型及描述昆蟲繁衍的非線性方程蟲口方程在研究果木產(chǎn)量及家畜數(shù)量變化時(shí)也大體適用。就是在研究地球上日益嚴(yán)重的人口爆炸問(wèn)題時(shí)也有重要的借鑒作用，其現(xiàn)實(shí)意義是很大的。另外，講昆蟲繁衍問(wèn)題也是為由倍周期分岔通往混沌的道路作鋪墊，作先導(dǎo)。 假定有某種昆蟲，在不存在世

11、代交疊的情況下，即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵孵化為蟲。很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，則蟲口就會(huì)迅速增加，“蟲滿為患”。但在蟲口數(shù)目增大的同時(shí)又由于爭(zhēng)奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這些又會(huì)使蟲口減少。綜合考慮正增長(zhǎng)和負(fù)增長(zhǎng)，即鼓勵(lì)和抑制這兩種因素的作用，經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在1976年生物學(xué)家梅最終得到蟲口方程如下：式中各量的取值范圍為：1，2，3，···：0，1：0，4式中各量的意義如下。假定蟲口環(huán)境所能支撐和供應(yīng)的最大蟲口限額為，且1。第代蟲口數(shù)為，則/，是為第代的相對(duì)蟲口數(shù)。顯然，1就是最大蟲口

12、數(shù)目，故的值不能超過(guò)1。是控制參量。蟲口模型要求取值0，4，這是因?yàn)樵?時(shí)會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，方程就將失去意義。如對(duì)當(dāng)代入0.5后會(huì)得到1.25，而最大相對(duì)蟲口數(shù)只能為1，1.25顯然沒(méi)有意義。在下一個(gè)段落，我們會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的堆移，隨著的變化，許多始料不及的事情將會(huì)發(fā)生。蟲口方程的形式很簡(jiǎn)單，但其內(nèi)容卻十分豐富，值得進(jìn)一步去研究它。二、由倍周期分岔通往混沌的道路混沌是過(guò)程的科學(xué)，演化的科學(xué)。由倍周期分岔通往混沌的道路是實(shí)現(xiàn)混沌的典型方式。以下對(duì)蟲口方程進(jìn)行迭代展開(kāi)討論。所謂迭代就是重復(fù)的意思。首先確定一個(gè)值，取初始值作為自變量代入方程得出，然后再將代入方程得到··&#

13、183;···最后看一看可能的“歸宿”如何。改變控制參量后再一步步做下去又會(huì)有許多發(fā)現(xiàn)。迭代得到的最后歸宿的基本功形象如圖2所示。對(duì)于不同的值，有可能的不同歸宿，故分岔圖是方程依賴控制參量所得到的不同演化歸宿的圖象集合。如果隨時(shí)間變化且不斷由小增大，則由倍周期分岔通往混沌的道路就徹底打通了。圖2 倍周期分岔圖 (未按比例)以下列舉典型迭代結(jié)果及初步認(rèn)識(shí)。1 ?。?1迭代容易驗(yàn)證，在01之間時(shí)，無(wú)認(rèn)初始值取多少，對(duì)方程迭代歸宿均為確定值零。這是一個(gè)最平凡的1周期解，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定態(tài)。2 ?。?3迭代迭代也是收斂的，迭代結(jié)果總是趨向于一個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，這是一個(gè)非零的1

14、周期解，同樣對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。顯然，到目前為止非線性尚未顯示什么作用。如對(duì)方程作迭人，取0.1則有0.18，=0.2952，0.416111392，0.485924299，0.4999604721，0.499999687，0.499999999······可見(jiàn)很快收斂于0.5又對(duì)方程2.5作迭代，取0.1也只須十幾次迭代就收斂于0.6了。不過(guò)與上一迭代趨近方式有所不同，幾次迭代后結(jié)果就在值上下產(chǎn)生小幅振蕩，并最終收斂于0.6。3 ?。?3.569迭代迭代結(jié)果開(kāi)始出現(xiàn)跳躍情況，倍周期分岔開(kāi)始。其中在33.449之間為2周期，在3.44

15、93.544間為4周期······隨著的增加，分岔越來(lái)越密，混沌程度越來(lái)越高，直至=3.569時(shí)分岔周期變?yōu)?，最后“歸宿”可取無(wú)窮多的不同值，表現(xiàn)出極大的隨機(jī)性。而周期無(wú)窮大就等于沒(méi)有周期，此時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入完全的混沌狀態(tài)?；煦鐓^(qū)對(duì)應(yīng)取值3.5694。舉一個(gè)2周期迭代的例子。對(duì)方程3.2迭代的“終態(tài)”在兩個(gè)確定值0.5130與0.7995之間跳躍。取初始值0.5時(shí)只需迭代十次左右就接近“終態(tài)”與了。再舉一個(gè)4周期迭代的例子。對(duì)方程迭代的“終態(tài)”依次在，0.5009，0.8750間跳躍。取初始值時(shí)也只需迭代十次左右就可接近“終態(tài)”、了。4

16、 用作圖法表示迭代過(guò)程為了對(duì)周期解，對(duì)演化過(guò)程有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在介紹表示迭代過(guò)程的圖解法(見(jiàn)圖3)。在直角坐標(biāo)系中先分別作出的45°斜線及的拋物線。然后在軸上取初始值(自變量)，作豎直線交于拋物線即得，再作水平線交于斜線，交點(diǎn)即為自變量，再作豎直線交于拋物線即得······一直作下去每一幅圖就代表取定值時(shí)的迭代演化過(guò)程。 圖3 蟲口方程圖解法從作圖和迭代計(jì)算兩個(gè)側(cè)面討論問(wèn)題，圖算結(jié)合，則混沌演化過(guò)程的圖象應(yīng)該說(shuō)就比較清晰了。5 倍周期分岔是一種具有代表性的由有序向混沌態(tài)過(guò)渡、演化的過(guò)程。如前所述，蟲口方程具有代表性，對(duì)昆蟲繁

17、衍、果木產(chǎn)量及生豬存欄數(shù)的變化等都存在倍周期分岔現(xiàn)象。細(xì)胞分裂、雪崩放大、樹木生長(zhǎng)也都有分岔現(xiàn)象。比如樹，由樹干大樹杈樹枝小枝嫩枝芽枝嫩芽胞芽就是逐級(jí)分岔。再看聲學(xué)。著名聲學(xué)家馬大猷就曾通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到了在強(qiáng)超聲作用下聲學(xué)中的倍周期分岔現(xiàn)象。強(qiáng)超聲可使液體氣化發(fā)泡。開(kāi)始時(shí)氣泡按超聲頻率振動(dòng)。超聲加強(qiáng)后則產(chǎn)生2倍周期的振動(dòng)，再加強(qiáng)還會(huì)出現(xiàn)4倍周期，最后頻率連成一片，產(chǎn)生無(wú)規(guī)則的噪聲。在非線性電路中，在一定條件下也會(huì)產(chǎn)生倍周期分岔現(xiàn)象。6 幾點(diǎn)說(shuō)明現(xiàn)作幾點(diǎn)說(shuō)明結(jié)束本節(jié)內(nèi)容。 在分岔區(qū)分岔數(shù)即“終態(tài)”數(shù)為(1，2，3···)個(gè)。 2周期解的實(shí)際含意表示蟲口數(shù)以2年為周期，

18、今年多，明年少等等。果木產(chǎn)量有大、小年之分也是2周期。4周期含意類似，只是變化周期由2年變成了4年。 計(jì)算機(jī)問(wèn)世對(duì)混沌現(xiàn)象的研究起了極其關(guān)鍵的作用。希望大家課后能用計(jì)算機(jī)作一下迭代計(jì)算。通過(guò)自己的計(jì)算與思考，相信會(huì)大大增加興趣，對(duì)混沌現(xiàn)象的理解也肯定會(huì)加深一步的。§2 混沌現(xiàn)象的特性、本質(zhì)及應(yīng)用在上節(jié)基礎(chǔ)上我們將首先對(duì)混沌現(xiàn)象的特性、本質(zhì)作比較全面一些的介紹。已經(jīng)有所涉及的東西要進(jìn)一步歸納，還沒(méi)有講到的內(nèi)容要爭(zhēng)取講得透一些。當(dāng)然特性和本質(zhì)有些不大容易區(qū)分。一般地說(shuō)，特性與現(xiàn)象更接近一些，比較本質(zhì)要來(lái)得稍為直觀些。這樣處理的目的還在于企圖使層次分明一些。一、 混沌現(xiàn)象的特性1 在混沌區(qū)

19、中混沌系統(tǒng)對(duì)初值的依賴具有敏感性。對(duì)于混沌的這一特性，通過(guò)蝴蝶效應(yīng)、蹄釘效應(yīng)的介紹已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)母行哉J(rèn)識(shí)。而通過(guò)迭代則可以使這一特點(diǎn)更加一目了然。對(duì)方程進(jìn)行迭代，今分別取初始值為和0.1000001，迭代結(jié)果列表如下。n12345···5152···0.360.92120.289013760.821939226···0.277569080.80209438···0.360000030.921600360.289013550.821938871···

20、;0.973249590.10413931···以上計(jì)算清楚地表明，初值的微小差異，經(jīng)過(guò)若干次迭代后就會(huì)“差之毫厘，失之千里”了。其長(zhǎng)期行為具有一種概率統(tǒng)計(jì)的特征。2 混沌區(qū)中存在周期窗口是混沌現(xiàn)象的又一大特性。就是在混沌區(qū)也并非一片混亂，混沌區(qū)中還有無(wú)數(shù)周期窗口。如對(duì)方程迭代結(jié)果為3周期，“終態(tài)”為，。而且對(duì)窗口放大后發(fā)現(xiàn)窗口中還有“結(jié)構(gòu)”(見(jiàn)圖4)，即窗口中又存在倍周期分岔進(jìn)小的混沌區(qū)，在小混沌區(qū)中又有小的窗口等等。混沌區(qū)看似混亂卻又亂得“精致”，亂得“耐人尋味”。說(shuō)得專業(yè)一些就是：混沌區(qū)為一個(gè)無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。圖 4 混沌區(qū)中周期窗口及放大所謂無(wú)限嵌套的

21、自相似結(jié)構(gòu)說(shuō)得通俗一些即局部與整體相似。對(duì)局部放大后的形象與整體形象相同或近似相同。除上面講到的周期窗口外，以下一些時(shí) 間或空間序列的自相似結(jié)構(gòu)實(shí)例也必將有助于我們的理解。(1) 雪花，(2)閃電，(3)血管系統(tǒng)，(4)海岸線，(5)鸚鵡螺，(6)菜花，(7)雛型村，(8)謝爾賓斯基墊片，(9)某人在看電視，電視中還是某人在看電視······，(10)布朗運(yùn)動(dòng)，(11)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的許多演化過(guò)程，(12)一個(gè)故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有一個(gè)老和尚給小和尚講故事：從前有座山·····

22、·請(qǐng)大家充分發(fā)揮想像力，舉更多的例子。具有無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)是混沌現(xiàn)象的普遍特性。3 從不同的初始條件出發(fā)可以產(chǎn)生同樣的結(jié)果。在03之間一旦確定，則事實(shí)是不論初始值取多少，迭代的歸宿總是一個(gè)確定值。這一特點(diǎn)也很有啟發(fā)性。它有不少眾所周知的等價(jià)敘述。如“殊途同歸”，“條條道路通羅馬”，“百川東流歸大?！保笆墙鹱涌傄l(fā)光的”，“在一定條件下，不同的原因可以產(chǎn)生同樣的結(jié)果”等等。4 從不同的初始條件出發(fā)可以得到同樣的“終態(tài)”集合。在33.569之間一旦值確定則事實(shí)是不論初始值取多少，迭代的“終態(tài)”總是在個(gè)確定值之間跳躍。這一特點(diǎn)與上一特點(diǎn)有些類似之處，都是一種規(guī)律性反映，所不同的是，這

23、里的“終態(tài)”已不是唯一確定的值，而是2，4，···個(gè)可能狀態(tài)的集合。顯然，這比前一種情況復(fù)雜多了，而且隨著的增大，隨機(jī)性越來(lái)越大。5 從同樣的初始條件出發(fā)可能得到完全不同的結(jié)果。分岔還表明，即使從完全相同的初態(tài)出發(fā)，演化所達(dá)到的“終態(tài)”到底落在哪一支上也可能完全不同，這里不存在完全的確定性。換言之：同樣的原因可能產(chǎn)生完全不同的結(jié)果。這樣的例子在生活中比比皆是，如投入與產(chǎn)出或耕耘與收獲的關(guān)系就是這樣。二、 混沌現(xiàn)象的本質(zhì)以下對(duì)混沌現(xiàn)象的本質(zhì)作初步概括，以期在認(rèn)識(shí)上有些質(zhì)的提高。1 混沌是過(guò)程的科學(xué)、演化的科學(xué)，而不是狀態(tài)的科學(xué)，變是混沌的本性。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)運(yùn)

24、動(dòng)狀態(tài)在不斷變化。當(dāng)控制參量由小到大變化時(shí)，系統(tǒng)由穩(wěn)定有序逐漸失穩(wěn)，開(kāi)始分岔，隨著分岔按幾何級(jí)數(shù)的不斷增長(zhǎng)，系統(tǒng)由有序到無(wú)序。當(dāng)控制參量達(dá)到一個(gè)臨界值時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌區(qū)。當(dāng)再增大時(shí)又會(huì)遇到一個(gè)個(gè)的周期窗口，一個(gè)個(gè)混沌區(qū)······當(dāng)不斷減少時(shí)系統(tǒng)又會(huì)由混沌逐漸向有序演化。下面對(duì)在演化過(guò)程中混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)“絕不重復(fù)，永不自交；又循環(huán)不已而且被局限在有限范圍之內(nèi)”的特點(diǎn)作些通俗的解釋。比如蟲口數(shù)量總是在零到最大限額之間不斷變化，而且數(shù)量又年年不同；氣候則總是在好天氣與壞天氣之間反反復(fù)復(fù)，但又沒(méi)有哪兩天有完全相同的天氣。這就如同世上沒(méi)有兩片相同

25、的樹葉，沒(méi)有兩個(gè)相同的指紋一樣。另外，由蟲口方程迭代可見(jiàn)，只有在遠(yuǎn)離平衡的條件下，混沌系統(tǒng)才能演化達(dá)到混沌態(tài)。2 混沌現(xiàn)象只能出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)而不能出現(xiàn)在線性系統(tǒng)中。在龐加萊的三體問(wèn)題、蝴蝶效應(yīng)和昆蟲繁衍問(wèn)題中，我們涉及的都是非線性方程。在這些方程如蟲口方程中沒(méi)有外加隨機(jī)變量，即不存在產(chǎn)生隨機(jī)性的外部原因。因此牛頓力學(xué)等的隨機(jī)性又是本身固有的，是內(nèi)在隨機(jī)性。而牛頓力學(xué)等的“內(nèi)在隨機(jī)性”的根源就在于其動(dòng)力學(xué)方程中有非線性項(xiàng)存在，這與分子無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性不同。如前所述，非線性方程與線性方程不同，對(duì)后者疊加原理成立，整體等于部分之和；對(duì)于前者，疊加原理不成立，整體可以大于部分之和。正如在引言中已點(diǎn)到

26、的那樣，在非線性系統(tǒng)內(nèi)部存在著感應(yīng)、誘導(dǎo)、協(xié)同、整合、吸引、排斥、干涉、放大等種種非線性交叉耦合作用，這種作用是產(chǎn)生混沌現(xiàn)象復(fù)雜性的本質(zhì)原因。可見(jiàn)非線性是關(guān)鍵，內(nèi)在隨機(jī)性也并非牛頓力學(xué)的專利。3 混沌不等同于混亂，它是一種確定論系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的有序運(yùn)動(dòng)。這種有序不同于我們所熟悉的有序?qū)こＳ行?、?jiǎn)單有序、線性有序?，F(xiàn)在說(shuō)的有序是亂中有序，是有序與無(wú)序的結(jié)合，是非線性序混沌序。就是說(shuō)到混亂它也是一種確定性的混亂，形式的混亂。各種混沌現(xiàn)象支持以上觀點(diǎn)。就是在混沌區(qū)內(nèi)也并非所有的值對(duì)應(yīng)的都是混沌狀態(tài)，在混沌區(qū)中似乎亂也亂得有規(guī)律。無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)的存在不僅說(shuō)明混沌有序，而且說(shuō)明這是一種復(fù)雜

27、有序，高級(jí)有序！倍周期分岔過(guò)程具有規(guī)律性是容易理解的，而一個(gè)普適常數(shù)費(fèi)根鮑姆常數(shù)的存在更是一個(gè)有力證明。若用代表第次分岔出現(xiàn)的值，則相繼分岔的間距之比的極限是一個(gè)常數(shù)，即這是美國(guó)物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆利用計(jì)算機(jī)在1978年計(jì)算發(fā)現(xiàn)的。費(fèi)根鮑姆常數(shù)的存在反映了混沌演化過(guò)程中的有序性。 值得強(qiáng)調(diào)的是，費(fèi)根鮑姆常數(shù)并不限于蟲口方程的迭代，對(duì)于諸如一類的非線性方程得到的值與前面給出的值竟精確相等，這反映了混沌演化有著普遍的“發(fā)展規(guī)律”。4 真實(shí)的自然界介乎完全的確定論和純粹的概率論之間。混沌現(xiàn)象迫使我們不得不重新審視周圍世界，探究世界的本質(zhì)。自然界本是一個(gè)統(tǒng)一的整體，但自然科學(xué)中有確定論和概率論兩套描述體系

28、。牛頓以來(lái)的科學(xué)傳統(tǒng)比較推崇確定論體系，而把概率論作為補(bǔ)充。其實(shí)，完全的確定論和純粹的概率論都是抽象后的極限情況。即當(dāng)混沌運(yùn)動(dòng)不顯著時(shí)可用確定論來(lái)描述。當(dāng)混沌運(yùn)動(dòng)劇烈時(shí)就要考慮運(yùn)用概率論的可能性了。真實(shí)的自然界實(shí)際上介乎二者之間。因?yàn)槭澜绫举|(zhì)上是非線必的，線性化只能是非線性的一種合理近似。過(guò)去我們?cè)诖_定論，線性化方面的研究取得了巨大成就，今后應(yīng)該在混沌現(xiàn)象方面，在非線性研究方面有較多的投入。總之，對(duì)混沌現(xiàn)象的研究將有助于我們從更為接近實(shí)際的角度來(lái)認(rèn)識(shí)世界，使我們從確定論和概率論的根深蒂固的人為對(duì)立中解脫出來(lái)。三、 混沌現(xiàn)象的應(yīng)用1 概說(shuō)人們對(duì)混沌現(xiàn)象經(jīng)過(guò)近幾十年的深入研究，已經(jīng)取得了許多突破。

29、目前，混沌理論已廣泛應(yīng)用于物理、天文、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、氣象等自然科學(xué)學(xué)科，也已經(jīng)開(kāi)始應(yīng)用于激光、超導(dǎo)等眾多高科技領(lǐng)域，還創(chuàng)建了混沌工科學(xué)等分支學(xué)科，甚至已經(jīng)拓展到社會(huì)科學(xué)的眾多方面。比如股市行情的風(fēng)云變幻，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的潮漲潮落就或多或少地有著蝴蝶效應(yīng)的味道，在這些方面應(yīng)用混沌理論相信是很有前途的?；煦绲某霈F(xiàn)，一方面預(yù)示著人們認(rèn)識(shí)世界的預(yù)測(cè)能力將受到根本性的限制，另一方面則又大大轉(zhuǎn)變了人們的傳統(tǒng)觀念，向人們提供了研究問(wèn)題的新思路、新方法。過(guò)去人們往往認(rèn)為搜集到的許多復(fù)雜的隨機(jī)信息是一種偶然現(xiàn)象的反映，甚至認(rèn)為是“噪聲”，是實(shí)驗(yàn)的失敗，因而棄置一旁，不予理睬?，F(xiàn)在，人們意識(shí)到以前可能錯(cuò)了，這些信息

30、里有相當(dāng)一部分或許可以歸入混沌一類，而可以另辟蹊徑，用混沌的方法去進(jìn)行研究，或者能從混沌中找到出路，甚至取得令人意想不到的結(jié)果。另外，鑒于混沌的復(fù)雜性，要用好它往往也不是一件輕而易舉的事，對(duì)此我們應(yīng)當(dāng)心中有數(shù)。上一節(jié)對(duì)混沌的應(yīng)用已經(jīng)有所涉及，以下再對(duì)混沌在湍流和思維方面的應(yīng)用作簡(jiǎn)要介紹。2 湍流之謎湍流又稱紊流。通俗地說(shuō)就是流體常有不規(guī)則漲落的紊亂流動(dòng)叫湍流。 湍流的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，大旋渦中套小旋渦，小旋渦中還有小旋渦。湍流問(wèn)題被稱為經(jīng)典物理學(xué)的百年難題。盡管蘇聯(lián)物理學(xué)家朗道在1944就對(duì)湍流發(fā)生機(jī)制進(jìn)行了深入研究，并取得重大突破。我國(guó)物理學(xué)家周培源等又創(chuàng)立湍流的統(tǒng)計(jì)理論，把概率論的方法引進(jìn)了湍

31、流研究，也取得了很大成績(jī)，但這些遠(yuǎn)不能最后解決問(wèn)題，其根本原因在于流體力學(xué)的基本方程是非線性方程。后來(lái)，人們?cè)絹?lái)越多地將混沌理論應(yīng)用于湍流的研究，獲得了許多重要成果。科學(xué)工作者從混沌現(xiàn)象著手考察了湍流的發(fā)生機(jī)制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌來(lái)描述湍流形成的新觀點(diǎn)，根據(jù)流體中所發(fā)生的實(shí)際情況建立新的統(tǒng)計(jì)模型，有希望在探求湍流過(guò)程的共同特性上得到新的認(rèn)識(shí)。人們已經(jīng)在湍流的研究中得到了類似蟲口方程那樣的迭代方程，但形式要遠(yuǎn)復(fù)雜得多。人們也早已發(fā)現(xiàn)在湍流中有倍周期分岔現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)在瞬息萬(wàn)變的湍流現(xiàn)象內(nèi)部有無(wú)限多的層次，這當(dāng)然就是無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)了。以上成果加深了我們對(duì)湍流的認(rèn)識(shí)，提高了我們控制

32、和利用湍流的能力，改進(jìn)各種和湍流有關(guān)的產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和制造以及加強(qiáng)對(duì)大氣和海洋這一類大尺度無(wú)序的預(yù)報(bào)能力。但是，因?yàn)橥牧鳜F(xiàn)象實(shí)在太復(fù)雜，它不僅有時(shí)間上的混亂，而且還有空間上的混亂，還會(huì)出現(xiàn)大尺度的規(guī)則運(yùn)動(dòng)。因此，還存在許多難題。湍流之謎還不能說(shuō)已經(jīng)最終解開(kāi)。但無(wú)論如何，人們已經(jīng)清楚地看到了攻克這一百年難題的希望。3 線性思維與非線性思維有關(guān)思維的題目太大，我們只能就思維與混沌現(xiàn)象的種種聯(lián)系作概要說(shuō)明。有關(guān)思維的一種重要分類方法是將思維分為線性思維和非線性思維兩種。至關(guān)重要的是，非線性思維與混沌現(xiàn)實(shí)聯(lián)系密切，因?yàn)榛煦绗F(xiàn)象的本質(zhì)最主要的就是非線性。一般來(lái)說(shuō)，人們對(duì)線性思維方式更加習(xí)慣，而相對(duì)缺乏對(duì)非線性思維的認(rèn)同，這是關(guān)于思維方面認(rèn)識(shí)上的偏差，應(yīng)當(dāng)引起重視。線性思維就是傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單孤立思維，主要特征是封閉性、直線性、低關(guān)聯(lián)等。線性思維的優(yōu)勢(shì)在于它講究從對(duì)稱性角度去分析問(wèn)題，講求平衡、穩(wěn)定、全面，邏輯性強(qiáng)。非線性思維就是現(xiàn)代的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)思維，主要特征是開(kāi)放性、曲線性、強(qiáng)關(guān)聯(lián)等。非線性思維方式又常常表現(xiàn)出對(duì)對(duì)稱性破缺的興趣，追求打破平衡，甚至遠(yuǎn)離平衡。線性思維容易保守僵化，非線性思維則相對(duì)創(chuàng)造性強(qiáng)，但也有失穩(wěn)最終導(dǎo)致失敗的潛在危險(xiǎn)。非線性思維方式與在講混沌本質(zhì)中提到的非線性交叉耦合作用是相通的。非線性思維關(guān)注整體性，相干性，講求團(tuán)隊(duì)精神，講求協(xié)同作戰(zhàn)，認(rèn)為整體可以大于部分之和。非線性思維層次更