1、借對(duì)稱求最短距離 萬(wàn)變不離其宗 -借軸對(duì)稱求最短距離BlABC最短距離問(wèn)題最短距離問(wèn)題考查知識(shí)點(diǎn)考查知識(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短”,“點(diǎn)關(guān)于軸點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱對(duì)稱”。生活中的原型：生活中的原型：“建奶站問(wèn)題建奶站問(wèn)題”，“牧馬人飲馬問(wèn)題牧馬人飲馬問(wèn)題”等。等。出題背景變式出題背景變式：有角、三角形、菱形、正方形、圓、坐有角、三角形、菱形、正方形、圓、坐標(biāo)軸、雙曲線、拋物線等。標(biāo)軸、雙曲線、拋物線等。解題總思路：（不變的解題總思路：（不變的“宗宗”）： 找點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)找點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“折折”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)“直直”. 在在北師北師版版七七年級(jí)數(shù)學(xué)（年級(jí)數(shù)學(xué)（下下）的第）的第123

2、頁(yè)上：如圖，要在頁(yè)上：如圖，要在街道旁街道旁修建一個(gè)修建一個(gè)奶奶站，分別向站，分別向居民區(qū)居民區(qū)A、B提供牛奶提供牛奶，奶奶站站應(yīng)建應(yīng)建在什在什么地方，么地方，才能才能使使A、B到它的距離之和到它的距離之和 最短最短？數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型1 數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題1 已知：直線已知：直線L和和L的同側(cè)兩點(diǎn)的同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)求作：點(diǎn)C，使，使C在直線在直線L上，并且上，并且ACCB最小。最小。 BC+AC BC +AC ，即，即AC+BC最小最小LBACAC 直線直線L是點(diǎn)是點(diǎn)A、A的對(duì)稱軸，的對(duì)稱軸， 點(diǎn)點(diǎn)C、C在對(duì)稱軸上，在對(duì)稱軸上，AC=AC，AC=AC 在在BA C中，中，BA BC+A C

3、， BC+AC = AC+BC = ABAC +BC = AC +BC 做法做法：作點(diǎn)：作點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A，連接，連接 A B 與直線與直線L相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)C，連接，連接AC，則，則AC+BC最短。則點(diǎn)最短。則點(diǎn)C就是奶站就是奶站 的位置的位置依據(jù)？：依據(jù)？：以以此題為此題為“宗宗”的題目可以說(shuō)層出不窮，如的題目可以說(shuō)層出不窮，如：1.在正方形中探求線段和的最小值在正方形中探求線段和的最小值例例1：如圖，正方形：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為8，M在在DC上，且上，且DM2，N是是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，上的一動(dòng)點(diǎn)，DNMN的最小值為的最小值為 N連接連接BM交交AC于

4、于N，連接，連接DN，可得可得BN=DN，因此，因此DN+MN=BN+MN=BM.變式變式1：如圖所示，正方形如圖所示，正方形ABCD的面積為的面積為36，ABE是等邊三角形，點(diǎn)是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形在正方形ABCD內(nèi)，內(nèi)，在對(duì)角線在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)上有一點(diǎn)P，使，使PDPE的和最小，的和最小，則這個(gè)最小值為則這個(gè)最小值為 ( ) 面積為36，所以AB=BE=6變式變式2：如圖，在如圖，在ABC中，中，ACBC2，ACB90，D是是BC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，E是是AB邊邊上一動(dòng)點(diǎn)，則上一動(dòng)點(diǎn)，則ECED的最小值為的最小值為_2.在圓背景下探求線段和的最小值在圓背景下探求線段和的最小值例例2

5、：如圖，：如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，AB=2，OC是是 O的半徑，的半徑，OCAB，點(diǎn)，點(diǎn)D在在AC上上,弧弧AD=2弧弧CD，點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑是半徑OC上上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么AP+PD的最小值是的最小值是 .PADCOB變式：變式：已知已知 O的直徑的直徑CD為為4，AOD的度數(shù)為的度數(shù)為60，點(diǎn)，點(diǎn)B是弧是弧AD的中點(diǎn)，在直徑的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)上找一點(diǎn)P，使，使BP+AP的值最的值最小，并求小，并求BP+AP的最小值的最小值2.在圓背景下探求線段和的最小值在圓背景下探求線段和的最小值3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值

6、 例例3： 在平面直角坐標(biāo)系中，有在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），），B（4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（1，n），），當(dāng)當(dāng)n =_ 時(shí)時(shí),AC + BC的值最小的值最小3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值 變式變式1：一次函數(shù)一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)軸分別交于點(diǎn)A（2，0），），B（0，4), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)分別為分別為C、D，P為為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求上一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并的最小值，并求取得最小值時(shí)求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)令令X=0得，得，Y=1

7、，所以，所以P點(diǎn)（點(diǎn)（0.1）變式變式2：已知拋物線與已知拋物線與x軸交于軸交于A、B兩點(diǎn)，與兩點(diǎn)，與Y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C。且對(duì)稱軸為直線且對(duì)稱軸為直線X=-1，其中，其中A點(diǎn)（點(diǎn)（-3,0），），C點(diǎn)（點(diǎn)（0，-2）（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得，使得PBC 的周長(zhǎng)最小請(qǐng)的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)ACxyBO（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得，使得PBC 的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)4、在角的背景下探求線段和的最小值、在角的背景下探求線段和的最小值

8、 例4：已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小使三角形周長(zhǎng)最小.變式變式：如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)P在在AOB內(nèi)部，且內(nèi)部，且AOB=45,OP=2cm,在射線在射線OA、OB上找點(diǎn)上找點(diǎn)C、D，使，使PC+CD+DP之和最小。之和最小。思考思考:你能求得出你能求得出PC+CD+DP之和最小為多少嗎？之和最小為多少嗎？ 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型2如圖：如圖：C處為馬棚，處為馬棚，D處為帳篷，牧馬人某一處為帳篷，牧馬人某一天要從馬棚牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，天要從馬棚牽出馬，先到

9、草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定所走的最短路線。定所走的最短路線。 數(shù)學(xué)問(wèn)題2 如圖：如圖：C、D在在AOB的內(nèi)部，在的內(nèi)部，在OA、OB上分別找點(diǎn)上分別找點(diǎn) G、H，使得，使得CG+GH+DH最短最短作法作法：1.1.作點(diǎn)作點(diǎn)C C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F,F, 2. 2.作點(diǎn)作點(diǎn)D D關(guān)于直線關(guān)于直線OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,E, 3 3. .連接連接EFEF分別交直線分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H， 則CG+GH+DH最短FAOBD CEGH例題例題：在直線m、n上分別求點(diǎn)M、N,使得四邊形PQMN的

10、周長(zhǎng)最小變式1:如圖點(diǎn)A（a，1）、B（1，b）都在雙曲線 (x0)上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，PQ在直線的解析式是（ ）. A.yx B.yx1 C.yx2 D.yx33yx變式變式2：(2016貴陽(yáng))25.如圖，直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B. （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸、y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)F，E的坐標(biāo). 我的收獲：我的收獲：課堂小結(jié)課堂小結(jié)1、構(gòu)建“對(duì)稱模型”實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直PNPP2.關(guān)鍵：關(guān)鍵：作對(duì)稱點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，作對(duì)稱點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，從而利用從而利用“兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決來(lái)解決 測(cè)試題：測(cè)試題：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在分別在x軸、軸、y軸的正半軸上，軸的正半