1、伯努力方程(Bernoullis Equation)是流體力學(xué)中描述理想流體(ideal fluid)能量守恒的方程式。理想流體滿足以下4個(gè)條件：1. 流體是非粘性的(nonviscous)，在相鄰流層之間無(wú)內(nèi)摩擦力；2. 流體不可壓縮(incompressible)，因此密度恒定；3. 流體運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)態(tài)的(steady)，即流體中每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度、密度和壓力不隨時(shí)間改變；4. 流體運(yùn)動(dòng)不存在湍流(turbulence)，意味著每個(gè)流體單元相對(duì)于中心的角速度為零，因此在該運(yùn)動(dòng)的流體中無(wú)任何渦流(eddy current)。由于質(zhì)量守恒及液體的流動(dòng)處于穩(wěn)態(tài)，因此有連續(xù)性方程(Equation of

2、 Continuity):根據(jù)能量守恒，可推導(dǎo)出理想流體的伯努力方程：通常表示為：伯努力方程中的每一項(xiàng)都是壓力單位，在SI單位制中是Pa或N/m2。由于1J=1N·m，所以1Pa=1J/m3。每一項(xiàng)的物理意義是單位體積的能或做功，壓力表示單位體積的流體對(duì)前方流體所做的功。12v2為單位體積具有的動(dòng)能，gy為單位體積具有的重力勢(shì)能。伯努力方程有兩個(gè)特殊情況：1. 水平流動(dòng)的液體y1=y2；2. 靜止的液體v1=v2=0，則得到流體靜力學(xué)方程：伯努力方程將理想流體不同兩點(diǎn)的流速、壓力和高度聯(lián)系了起來(lái)，在應(yīng)用該方程計(jì)算過(guò)程中先要分別寫出每點(diǎn)各自的3個(gè)參數(shù)。需要考慮幾個(gè)要點(diǎn)：1. 是否是以上

3、2個(gè)特例；2. 如果不是特例1，選擇參考水平面，一般選擇2個(gè)中較低的點(diǎn)作為參考比較簡(jiǎn)單；3. 如果給出兩處流體截面的半徑或面積，則可根據(jù)連續(xù)性方程確定它們的流速關(guān)系；4. 如果一個(gè)截面面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另一個(gè)截面（比如水桶里的水面和水桶下方的小孔），則截面大的流速v0；5. 和大氣相通則壓力等于大氣壓(或表壓為零)。例題一 一個(gè)裝滿水的桶在水面以下0.80m處有一個(gè)開孔。(a)當(dāng)出口是水平開放的，水流出的速度是多少？(b)如果開口末端是豎直向上的，則形成的“噴泉”能達(dá)到多高？解：(a) 由于P1=P2，則伯努力方程為點(diǎn)1比點(diǎn)2高0.80m，即根據(jù)連續(xù)性方程A1A2，v1相對(duì)于v2可忽略不計(jì)，故v10

4、。伯努力方程簡(jiǎn)化為各項(xiàng)同除以，解出v2：(b) 取點(diǎn)噴泉最高點(diǎn)為點(diǎn)2，故v2=0。伯努力方程簡(jiǎn)化為“噴泉”恰好回到和桶內(nèi)水面等高！(a)計(jì)算出小孔水流出的速度相當(dāng)于水直接從0.80m自由落體(Torricellis law)，然而這并不奇怪因?yàn)椴Ψ匠淌悄芰渴睾愕囊环N表達(dá)形式(不計(jì)能量損失)。(b)的結(jié)果被稱為托里拆利原理(Torricellis theorem)，實(shí)際上由于摩擦力和空氣阻力造成的能量損失，噴泉不可能達(dá)到原來(lái)水面的高度。例題二 一個(gè)橫截面積為1.00m2的大管道下降5.00m并縮小至0.500m2到達(dá)一個(gè)閥門。如果在處的壓力為大氣壓，閥門敞開使水自由流出，計(jì)算水流出閥門的速度

5、。解：對(duì)截面、應(yīng)用伯努力方程，兩處的壓力都為大氣壓(或表壓均為零)，高度差為h。已知兩處的截面積，根據(jù)連續(xù)性方程可求得流速比值。例題三 文丘里流量計(jì)(Venturi meter)被用來(lái)測(cè)定管道內(nèi)液體的流速。一段收縮的管道(橫截面A2)放置在正常的管道(橫截面A1)中，兩個(gè)豎直向上的細(xì)管分別大氣相通，其中一個(gè)位于管道收縮部位。兩個(gè)細(xì)管的作用類似于壓力計(jì)，可以測(cè)定兩點(diǎn)之間的壓力差，并據(jù)此計(jì)算出管道中液體的流速。假定管道中輸送的液體為水，A1=2.0A2，h1=1.20m，h2=0.80m。(a)計(jì)算兩點(diǎn)的速度比v2/v1；(b)計(jì)算表壓力P1和P2；(c)計(jì)算管道中水的流速v1。解：(a) 根據(jù)連

6、續(xù)性方程(b) 表壓力為相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的壓力 (c) 伯努力方程由于管道水平，y1y2，可忽略重力勢(shì)能密度gy的微小差異例題四 一架飛機(jī)的兩個(gè)機(jī)翼分別是4.00m2，通過(guò)設(shè)計(jì)機(jī)翼上方和下方的空氣流速分別為245m/s和222m/s。假定跨越機(jī)翼壓力差產(chǎn)生的推力是豎直向上的，計(jì)算飛機(jī)的質(zhì)量以便能夠支撐自身的重量。解：對(duì)機(jī)翼下方(點(diǎn)1)和機(jī)翼上方(點(diǎn)2)應(yīng)用伯努力方程，重力勢(shì)能相對(duì)于其它項(xiàng)很小可以忽略 思考：機(jī)翼上方和下方的氣流并不在同一流線上，為什么可以應(yīng)用伯努力方程？例題五 用虹吸管從高位槽向反應(yīng)器加料，如圖所示。高位槽和反應(yīng)器均與大氣相通，要求料液在管內(nèi)以5 m/s的速度流動(dòng)（不計(jì)能量損失

7、）。求高位槽的液面應(yīng)比虹吸管的出口高出多少米？解：取高位槽液面為截面11，虹吸管出口內(nèi)側(cè)為截面22，并取截面22為標(biāo)準(zhǔn)面。在兩截面間列伯努利方程式，即gh1v122p1gh2v222p2式中，h1h，h20，v10，v25 m/s，p1p20（表壓）將上述數(shù)值代入，并簡(jiǎn)化9.81h12.5解得 h1.27 m即高位槽液面應(yīng)比虹吸管出口高1.27m。練習(xí)題：1. 下圖是兩個(gè)大壩的俯視圖，具有相同的寬度和高度，它們的右邊分別是一個(gè)大湖和一條窄的河流，哪一個(gè)大壩應(yīng)該建得更加牢固?2. 土撥鼠生活在至少具有兩個(gè)入口的地下巢穴，它們?cè)谝粋€(gè)入口上修建一個(gè)土堆(下圖所示)，開放于四周微風(fēng)吹過(guò)時(shí)產(chǎn)生的氣流。另

8、一個(gè)入口位于地表，周圍幾乎沒(méi)有空氣流動(dòng)。這一結(jié)構(gòu)如何在巢穴中產(chǎn)生氣流達(dá)到換氣的目的?3. 澆花軟管的半徑為1.0cm，水在管中以1.4m/s的速度水平流動(dòng)，通過(guò)0.25cm的噴嘴水平噴出。水在軟管內(nèi)的表壓力是多少？4. 如下圖所示，虹吸管是引導(dǎo)液體翻越障礙的裝置。長(zhǎng)途汽車中途加油由于大油桶不能傾倒而用虹吸管，或利用虹吸管跨越河堤引河水灌溉。那么，液體在出口處的流速多大？在最高點(diǎn)處液體內(nèi)的壓力多大？最大揚(yáng)水高度是多少？這些問(wèn)題都可利用伯努利方程解出。假定虹吸管具有均勻的直徑，水在其中穩(wěn)定流動(dòng)且沒(méi)有內(nèi)摩擦力。(a) 如果距離h=1.00m，計(jì)算水流出虹吸管的流速；(b) 虹吸管最大的揚(yáng)水高度y是多

9、少？(提示：為了保持液體的連續(xù)性，壓力不能低于液體的蒸汽壓。)參考答案：(a) 4.43m/s；(b) y10.3m。5. 水靠空氣壓力從滅火器中噴出，水面位于噴嘴下方0.500 m。在滅火器中需要多大的空氣表壓力(相對(duì)于大氣壓高出的壓力)，才能使水以30.0 m/s的速度噴出？參考答案：455 kPa。6. 一支注射器內(nèi)藥物的密度與水相同。注射器內(nèi)筒的橫截面積A=2.50×10-5m2，針筒部分的橫截面積a=1.00×10-8m2。在活塞未受到推力的情況下，各處的壓力均為1 atm?，F(xiàn)給與活塞F=2.00 N的推力，使藥物水平從針筒噴出。求藥物離開針筒尖部的速度。參考答案

10、：12.6 m/s。7. 一個(gè)大儲(chǔ)水槽裝滿水，上部與大氣相同。在水面以下16.0 m處側(cè)壁上開一小孔，水的流量為2.50×10-3 m3/min，計(jì)算：(a)水流出小孔的速度；(b)小孔的直徑。8. 水平管道大的部分直徑為2.50 cm，水向右流動(dòng)的流量為1.80×10-4 m3/s。計(jì)算管道在收縮部分的直徑。參考答案：1.47 cm。9. 皮托管(pitot tube)用于測(cè)定飛機(jī)的空速(飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度)，包括位于外管中一些小孔B(圖中顯示4個(gè))允許空氣進(jìn)入管內(nèi)，并且與U形管(U-tube)的一個(gè)臂相連。U形管的另一個(gè)臂與前端開孔A相連，其開口恰好對(duì)著飛機(jī)飛行的方向。空氣在A處停滯因此vA=0，B處空氣的流速近似于飛機(jī)的空速v。(a) 應(yīng)用伯努利方程推導(dǎo)出為U形管中液體的密度，h為U形管兩個(gè)臂中液體的高度差。(b) 假定管中液體為乙醇，高度差h為26.0cm。飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度是多少？空氣的密度是1.03kg/m3，乙醇的密度是810kg/m3。10. 如上題，飛機(jī)在高海拔飛行中測(cè)定壓力差為180Pa，空氣的密度是0.031 kg/m3，飛機(jī)的空速是多少？參考答案：1.1×102 m/s。11.