1、【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. 設(shè)平面內(nèi)兩個向量的坐標(biāo)分別為（1，2，1），（-1，1，2），則下列向量中是平面的法向量的是( )A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1）2. 如圖，是正方體，則與所成角的余弦值是（ ）A BCD3. 如圖，是直三棱柱，點分別是的中點，若，則與所成角的余弦值是（ ）AB CD4. 若向量與的夾角的余弦值為，則( )A B C或D2或5. 在三棱錐中，點分別是的中點，底面，則直線與平面所成角的正弦值（ ）A B C D6.（2015秋 湛江校級期末）在正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD

2、的中點，且SO=OD，則直線BC與平面PAC的夾角是（ ）A30° B45° C60° D75°7. 在三棱錐中，點分別是的中點，底面，則直線與平面所成角的正弦值是（ ） A B C D二、填空題8若平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，則與所成角的余弦值為 _9正方體中，分別為的中點，則異面直線與所成角的大小是_.10. 已知三棱錐中，底面為邊長等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為 . 11. 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，則平面和平面的夾角余弦值是_.三、解答題12. 如圖，點

3、在正方體的對角線上，.（）求與所成角的大小；（）求與平面所成角的大小.13. 如圖，四棱錐的底面是菱形，其對角線，都與平面垂直，求平面與平面的夾角大小.14. 如圖（1），在Rt中，90°，3，6，分別是，上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）(1)求證：平面；(2)若是的中點，求與平面所成角的大?。?3)線段上是否存在點，使平面與平面垂直？說明理由15(2016 浙江理)如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90°，BEEFFC1，BC2，AC3()求證：EF平面ACFD；()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 【答案與解析】1.【答案】

4、B 【解析】排除法. 平面的法向量與平面內(nèi)任意直線的方向向量垂直，即它們的數(shù)量積為零. 排除A，C，D，選項為B.2.【答案】A 【解析】設(shè)正方體的棱長為1，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，因此，與所成的角的余弦值是3.【答案】A 【解析】如圖所示，以為原點建立的空間直角坐標(biāo)系， 則 由中點公式可知， ， .4.【答案】C 【解析】由可得，即， 即或.5.【答案】D【解析】 6.【答案】A【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。 設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，則A（a，0，0），B（0，a，0），C（a，0，0

5、），則，設(shè)平面PAC的一個法向量為，則，可取，直線BC與平面PAC的夾角為90°60°=30°故選A。7.【答案】D 【解析】8.【答案】【解析】 由，知與所成角的余弦值為.9.【答案】 【解析】 以A為原點建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)B（2，0，0），則E（1，0，0），F(xiàn)（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2）， .10.【答案】 【解析】本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角.過A作AE垂直于BC交BC于E，連結(jié)SE，過A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，正三角形ABC， E為BC中點， BCAE，SABC， BC面S

6、AE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長3， ，AS=3， SE=，AF=， .11.【答案】 【解析】因為ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEAB. 又因為平面ABEF平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB，所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此，AD，AB，AE兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1，則B（0，1，0），D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).因為FA=FE， AEF = 45°，所以AFE= 9

7、0°.從而，.所以，設(shè)平面BDF的一個法向量為，并設(shè)=（x，y，z）.， 由 得 取y=1，則x=1，z=3.從而.由AE平面ABCD可知，平面ABD的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則.12.【解析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為單位長，則=，=.連結(jié)，在平面BB1D1D內(nèi)，延長DP，交于點H，設(shè)=( m > 0 )， 由條件知 <，> = 60°.由·=|cos<，> ，可得2m =.解得m =.所以=.（）因為cos<， >=，所以<， >=，即與所成的角的大小是45°.（）因為平

8、面的一個法向量是，又cos<，>=，所以<，>=. 即與平面所成角的大小為60°. 注意：由于點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線D1B上且PDA=60°，直接設(shè)點P的坐標(biāo)則會出現(xiàn)多個變量，因為所求的兩問都是求與DP相關(guān)的角度問題，因此根據(jù)點P的位置特征只確定DP所在的直線的位置即可，因此出現(xiàn)上面解法. 顯然盡管求解過程是用向量的坐標(biāo)方法，但空間想象與思辨論證的要求并沒有降低，體現(xiàn)了對學(xué)生全面的幾何方法的考查.13.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為，則由得令，得.同理，可求得平面的法向量.因為，所以平面與平面垂直.所以平面與平面的夾角.14.【解析】15.【解析】()延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示因為平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以BFAC又因為EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BFCK所以BF平面ACFD()方法一：過點F作FQAK，連結(jié)BQ因為BF平面ACK，所以BFAK，則AK平面BQF，所以BQAK所以，BQF是二面角B-AD-F的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得在RtBQF中，得所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值為方法二：如圖，延長AD，BE，CF相交于一點K，則BCK為等邊三角形取BC的