1、第三講 積分及其應用考綱要求1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念.2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法和分部積分法.3.會求有理函數(shù)，三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分.4.理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式.5.了解廣義積分的概念，會計算廣義積分.6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積已知的立體的體積、功、引力、壓力、質心等）及函數(shù)的平均值.一、 不定積分問題1 敘述原函數(shù)、不定積分的概念、關系與不定積分的性質答 定義 如果在區(qū)間上，有或

2、者，則稱為在區(qū)間上的原函數(shù).定義 的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記作.它們的關系是：如果為的一個原函數(shù)，則.上式表明：求不定積分，只要求出它的一個原函數(shù)，再加上任意常數(shù).不定積分具有如下性質：性質1（互逆性）如果不計任意常數(shù)，求導運算和積分運算是互逆的，即 （先積后導還原了） （先導后積還原）性質2 （線性性）.例題1.若，則 .【】2.已知的一個原函數(shù)為,則 . 【】3.已知，則 .【】問題2 常用的積分公式有哪些？答 常用的積分公式有22個，它們是：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（

3、17）；（18）；（19）；（20）；（21） （22）其中三角函數(shù)的積分公式10個，與二次式有關的積分公式7個，冪函數(shù)的積分公式2個，指數(shù)函數(shù)的積分公式2個.問題3 如何用湊微分法求不定積分？答 湊微分法是由復合函數(shù)求導法則導出的積分方法，適用于計算形如的積分，關鍵是湊微分，具體步驟是：設有積分公式，則.在運用湊微分法求不定積分時，請記住下面的口訣：根據(jù)復合抓住，湊完微分配系數(shù)；使用公式要準確，積分消失加常數(shù)；特殊情形有兩個，就是和倒數(shù)：，例1.【】2.【】3.【】問題4 如何用第二類換元法求不定積分？答 逆用湊微分公式，就得到第二類換元法.設連續(xù)，單調、可導且連續(xù)，則.當被積函數(shù)含時，用三

4、角代換；當被積函數(shù)含，時，令，；當被積函數(shù)分母次數(shù)較高時，令.例1. 【】 2.【】解 【三角代換】令，則當時，當時，.3.【】解 【三角代換】令，則（分部積分）4. 【】問題5 如何用分部積分法求不定積分？答 分部積分公式由乘積求導法則導出，用于計算形如的積分.具體步驟如下：（湊微分）（用公式）（算微分，求積分）關鍵是湊微分.使用分部積分法求不定積分時，請記住下面的口訣：可湊盡量湊，不可不強求，反對冪指三，逆序找函數(shù)；一乘一交換，判別難易度，難度若降低，積分可以求；難度若相當，還原有希望，分部若降次，可得遞推式.下面的積分都是典型的分部積分題：分部化簡型：； .分部還原型：； ；.分部遞推型

5、： .分部抵消型：.可以這樣說，凡是“反對冪指三”五類函數(shù)的乘積，只要不是湊微分題，都可以考慮用分部積分法計算.例1. 【】2.【】3. 【】4.【】5. 【】6.【】7.【】問題6 如何求有理函數(shù)的不定積分？答 首先要知道有理函數(shù)、假分式、真分式、有理函數(shù)的概念.由于假分式多項式真分式，所以關鍵是真分式的積分，步驟是：將在實數(shù)范圍內分解因式；將表為部分分式之和，其方法是：若有因式，則分解式中含下列項之和，若有因式，則分解式中含下列項之和；用待定系數(shù)法求出；求出積分.問題7 如何求不定積分？答 求不定積分是最基本的運算之一，它是所有積分計算的基礎，讀者務必熟練掌握三類典型題（湊微分、換元、分部

6、）和常用變形方法（無理化有理，高次化低次，分母化因式，變量化一致）. 求不定積分的基本思想是利用湊微分、換元、分部和初等變形，將被積函數(shù)化為“22個函數(shù)”之一或者它們的線性組合，利用積分公式和線性性質求出積分. 二、定積分問題8 敘述定積分的定義、可積條件與幾何意義.答 函數(shù)在區(qū)間上的定積分，其中.讀者應結合曲邊梯形的面積理解定義式中各記號的含義，從而加深對定積分思想方法的理解.必要條件：若函數(shù)在可積，則在上有界.充分條件：若函數(shù)在連續(xù)，則在上可積.定積分的幾何意義:在幾何上表示由，所圍圖形各部分面積的代數(shù)和.注意 在利用定積分的幾何意義時，要求積分下限小于積分上限.例 1.用定積分的幾何意義

7、求.2. 如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間、上的圖象分別是直徑為1的上、下半圓，在區(qū)間、上的圖象分別是直徑為2的下、上半圓，設，則下列結論正確的是（）. （07-1，C）（A）（B）（C）（D）問題9 如何用定積分的定義求和的極限？答 定積分是積分和的極限，若連續(xù)，則；.例 1. 求極限；2.求().解 【綜合運用夾逼法和定積分】記此極限為，故.問題10 敘述定積分的性質.答 定積分具有如下性質：線性性 .可加性 .非負性 設，則.推論 設，則.估值不等式 設，則.積分中值定理 設在上連續(xù)，則至少存在一點，使得.注意 定積分的不等式性質要求積分下限小于積分上限.例 證明：.問題11 如何求變限積分的導數(shù)？

8、答 變限積分是?？键c之一，它是用積分定義的一個函數(shù)，讀者務必熟練掌握變限積分的導數(shù)公式，并利用求導解決變限積分的極限、積分等問題.1.變限積分的導數(shù)公式若在上連續(xù)，則，.2.當被積函數(shù)含有變量時不能直接求導，必須將變量從被積函數(shù)中分離出去，常用的方法是：提出去或者換元.例1.設連續(xù)，則 .【】2.設連續(xù)，則 .【】3. .【】4. .【】5.設連續(xù)，則 .【】6.求(變限積分的極限)7.求的極值.(變限積分的極值)8.設在上連續(xù)，且，證明：若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù).問題12 如何計算定積分？答 計算定積分的方法有：幾何意義N-L公式（基本方法）換元法（換元必換限）分部積分法某些特殊函數(shù)的積分a

9、分段函數(shù)（分段積分）b奇偶函數(shù)：若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，.c周期函數(shù)：設的周期為，則.d某些三角函數(shù)：；記，則有遞推公式.e含，（用分部積分）f變限積分（用分部積分）例 計算下列定積分1. 2.3. 4.5. ，其中6.7.8.9.10.11. 【】12. 【】13. 【】14. 【】問題13 如何計算反常積分？答 對于兩類反常積分，要在正確理解它們的定義（定積分的極限）的基礎上，掌握它們的計算方法.定義1 連續(xù)函數(shù)在上的反常積分，如果右端極限存在，則稱反常積分收斂.連續(xù)函數(shù)在上的反常積分.連續(xù)函數(shù)在上的反常積分.定義2 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點的右鄰域內無界，則定義在區(qū)間上反常積分，如果

10、右端極限存在，則稱反常積分收斂.函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而在點的左鄰域內無界，則定義反常積分.函數(shù)在上連續(xù)，而在點的鄰域內無界，則定義反常積分. 兩類反常積分，都可以用下面的公式計算：若在上連續(xù)，且，則（類似定積分）.例1. . 【】2. . 【發(fā)散】3. .【99-2，】4.下列廣義積分收斂的是（ ）. 【C】（A）；（B）；（C）；（D）.問題14 如何用定積分的元素法計算幾何量（物理量）？答 設量對區(qū)間具有可加性，計算步驟如下；求量的分布區(qū)間；求量相應于小區(qū)間的近似值（元素），誤差為；寫出量的積分表達式；計算積分.問題15 如何用定積分計算平面圖形面積？答 在直角坐標情形，可按下列公式計算：設

11、平面區(qū)域：，稱為型區(qū)域，則的面積.設平面區(qū)域：，稱為型區(qū)域，則的面積.在極坐標情形下，可按下列公式計算：設平面區(qū)域：，稱為型區(qū)域，則的面積.例 1.雙鈕線所圍圖形面積為 .【1】2.曲線、軸、軸所圍區(qū)域被曲線分為面積相等的兩部分，求正常數(shù).【1】問題16 如何用定積分計算旋轉體體積？答 可按下列公式計算旋轉體體積：由所圍平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體體積.（圓柱法）由（）所圍平面圖形繞軸旋轉所得旋轉體體積.（圓筒法）由所圍平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體體積.例1.過點作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積.解 設切點為，切線方程，切點在切線上，切線方程：，.2

12、.設直線與拋物線所圍圖形面積為，它們與直線所圍圖形面積為，且，求，使最小，并求最小值；【】求該最小值所對應的平面圖形繞軸旋轉一周所得立體的體積.【】3.設是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域.求區(qū)域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積；當為何值時，最小，并求此最小值.【 2；1】 問題17 如何用定積分計算平面曲線弧長？答 弧長元素，曲線方程為，則.曲線方程為，則.曲線方程為，則.例 1.求對數(shù)曲線在區(qū)間上的一段弧長.2.求心形線的全長.問題18 如何用定積分計算旋轉體的側面積？答 計算公式如下：由所圍平面圖形（曲邊梯形）繞軸旋轉一周所得旋轉體側面積.例 設有曲線，過原點作其切線，求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積和表面積.【】問題19 （數(shù)一、數(shù)二） 如何用定積分計算物理量？答 關鍵是求出物理量的分布區(qū)間（積分區(qū)間）和元素（積分表達式），例如：功元素力距離；水壓力元素壓強受力面積深度比重受力面積；引力元素，其中的模用萬有引力公式求出，是與同方向的單位向量.例1.半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水的比重相同，現(xiàn)將球從水中取出，需作多少功？（設水的密度為）（）解 建立坐標系（如圖所示），則球的軸截面方程為.相應于小區(qū)間的功元素將球從水中取