1、第三章一、直線的傾斜角與斜率1、傾斜角的概念：（1）傾斜角：當(dāng)直線與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線向上方向之間所成的角a叫做直線的傾斜角。 （2）傾斜角的范圍：當(dāng)與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角a為0°因此0°a180°。2、直線的斜率 （1）斜率公式：K=tana（a90°） （2）斜率坐標(biāo)公式：K= （x1x2） （3）斜率與傾斜角的關(guān)系：一條直線必有一個確定的傾斜角，但不一定有斜率。當(dāng)a=0°時，k=0；當(dāng)0°a90°時，k0，且a越大，k越大；當(dāng)a=90°時，k不存在；當(dāng)90°a18

2、0°時，k0，且a越大，k越大。二、兩直線平行與垂直的判定1、兩直線平行的判定： （1）兩條不重合的直線的傾斜角都是90°，即斜率不存在，則這兩直線平行； （2）兩條不重合的直線，若都有斜率，則k1=k2 Û 2、兩直線垂直的判定： （1）一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，則這兩直線垂直； （2）如果兩條直線、的斜率都存在，且都不為0，則 Û k1·k2=1已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為，則方程為直線的點(diǎn)斜式方程.直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距（intercept）.直線叫做直線的斜截式方程.已知直線上兩點(diǎn)且，則通過這兩點(diǎn)的直線方

3、程為，由于這個直線方程由兩點(diǎn)確定，所以我們把它叫直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式已知直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，其中，則直線的方程叫做直線的截距式方程.注意：直線與軸交點(diǎn)（,0）的橫坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距；直線與y軸交點(diǎn)（0,）的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距.關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式（general form）注意：直線一般式能表示平面內(nèi)的任何一條直線 直線名稱已知條件直線方程使用范圍點(diǎn)斜式k存在斜截式k存在兩點(diǎn)式（截距式已知平面上兩點(diǎn)，則.特殊地：與原點(diǎn)的距離為.：已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離為：.已知兩條平行線直線，則與的距離為1 兩直線的交

4、點(diǎn)問題.一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組，若方程組有唯一解，則兩直線相交；若方程組有無數(shù)組解，則兩直線重合；若方程組無解，則兩直線平行2 直線與直線的位置關(guān)系，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，能將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.3. 坐標(biāo)法的步驟：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程，點(diǎn)到直線的距離公式，能把求兩平行線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離公式一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范

5、圍是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，不存在。過兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90

6、°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過定點(diǎn)的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過定點(diǎn)；（）過兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中

7、直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當(dāng)，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點(diǎn)，則 （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（10）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。二、圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當(dāng)時，表示一個點(diǎn)； 當(dāng)時，方程不表

8、示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。 (3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓x2+y2

9、=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為 (課本命題)圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng)時兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時

10、，為同心圓。選修內(nèi)容：橢圓把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）其中這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距即當(dāng)動點(diǎn)設(shè)為時，橢圓即為點(diǎn)集橢圓的簡單幾何性質(zhì) 范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，進(jìn)一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心；頂點(diǎn)：先給出圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)因此橢圓有四個頂點(diǎn)，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸

11、；離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率（），；橢圓的第二定義當(dāng)點(diǎn)與一個定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點(diǎn)的軌跡是橢圓定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)是橢圓的離心率對于橢圓，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是根據(jù)對稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是對于橢圓的準(zhǔn)線方程是可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及應(yīng)用定義：橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。性質(zhì)一：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則。性質(zhì)二：已知橢圓方程為左右兩焦點(diǎn)分

12、別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，若最大，則點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)。證明：設(shè),由焦半徑公式可知：，在中， = 性質(zhì)三：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則證明：設(shè)則在中，由余弦定理得： 命題得證。雙曲線把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）其中這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距即當(dāng)動點(diǎn)設(shè)為時，雙曲線即為點(diǎn)集雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，進(jìn)一步得：，或這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點(diǎn)為對

13、稱中心；頂點(diǎn)：圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)因此雙曲線有兩個頂點(diǎn)，由于雙曲線的對稱軸有實(shí)虛之分，焦點(diǎn)所在的對稱軸叫做實(shí)軸，焦點(diǎn)不在的對稱軸叫做虛軸；漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率（）雙曲線第二定義:當(dāng)動點(diǎn)M(x,y) 到一定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時,這個動點(diǎn)M(x,y)的軌跡是雙曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)是雙曲線的一個焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段稱為焦半徑。橢圓定義1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a&

14、gt;|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0<e<1）圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程(>0)(>0)參數(shù)方程范圍a£x£a，b£y£ba£x£a，b£y£b中心原點(diǎn)O（0，0）原點(diǎn)O（0，0）頂點(diǎn)(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)對稱軸X軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bX軸，y軸；長軸長2a,短軸長2b焦點(diǎn)F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （其中c=）2c （其中c=）離心率準(zhǔn)線x=x=焦半徑通徑名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動點(diǎn)的軌跡叫橢圓。