1、論哲學無限與數(shù)學無限的異同點上摘要：眾所周知， “有限無限問題 ”是數(shù)學的基本問題，也是哲學的基本問題。本文基于以下哲學觀點開展討論：反對唯心主義，接受辯證唯物主義，在這樣的大前提下討論 “有限無限問題 ”。本文從哲學和數(shù)學角度全面回顧、剖析了黑格爾的辯證無限觀，同時介紹了恩格斯關(guān)于無限的論述，并對數(shù)學中的實無限、潛無限觀進行了分析，指出實無限觀實際上是徹頭徹尾的唯心主義的無限觀。與此同時，作者對黑格爾的無限觀和數(shù)學中的兩種無限觀進行了詳細的分析比較，在此基礎(chǔ)上作者提出了 “辯證唯物主義無限觀 ”：摒棄潛無限、實無限觀中錯誤的一面，積極吸取兩者正確的一面，即既要承認無限的客觀存在性和可認識性、

2、又要承認無限過程的不可完成性，這是解決數(shù)學實踐中諸多矛盾的唯一正確途徑。關(guān)鍵詞：實無限；真無限；潛無限；惡無限；辯證唯物主義的無限觀一、數(shù)學中 “無限問題 ”的由來及爭論（一） “無限問題 ”的由來我們知道，在數(shù)學史上，人們一直對 “無限 ”有著兩種截然相反的看法。一種是 “潛無限 ”觀，一種是 “實無限 ”觀。這兩種無限觀，把數(shù)學界分成兩大對立的陣營；任何一個數(shù)學家都概莫能外超越這個矛盾而存在，它要求任何一個數(shù)學家都必須對此問題作出一個明確的回答。因此，對此問題的回答，天然地成為衡量一個數(shù)學家屬于何種陣營的一個標準。那么，什么是這兩種無限觀的對立呢？ “潛無限 ”觀，是指我們不能夠結(jié)束一個

3、“無限過程 ”而到達其某一終點或其全部。反之， “實無限 ”觀者卻認為我們可以完成一個 “無限過程 ” 而到達它的終點或其 “全部 ”。因此 “潛無限 ”、“實無限 ”之矛盾，本質(zhì)在于能不能 “完成、終結(jié) ”一個 “無限過程 ”。它們的矛盾和對立是不言而喻的。對于這兩種無限觀的區(qū)別，在數(shù)學與無窮觀的邏輯基礎(chǔ)一書中，朱梧槚先生從數(shù)學、哲學上給出了詳細的分析。他在書中指出： “實無限 ”是由現(xiàn)在進行式（ going ）轉(zhuǎn)化為完成式（ gone ），而“潛無限 ”是由現(xiàn)在進行式（ going ）強化為永遠是現(xiàn)在進行式（going ）；而無論是潛無限還是實無限，都是非有限進程。他從數(shù)學、哲學兩個方面把

4、兩者的差別描述如下（參見朱梧槚，2008 年，第 204-207 頁）：實無限：是一個完成式（ gone ），對于 “無限進程 ”肯定達到進程終極處，對無限進程的枚舉手續(xù)肯定能完成；潛無限：是一個進行式（ going ），對于 “無限進程 ”否定達到進程終極處，對無限進程的枚舉手續(xù)肯定不能完成。（二）歷史上數(shù)學家、哲學家對 “實無限 ”觀的質(zhì)疑和樸素否定歷史上亞里士多德（ aristotle ）是第一個明確地只承認潛無限而反對實無限的學者，而柏拉圖（pla.to ）則是第一個承認實無限而反對潛無限的學者。毫無疑問，集合論創(chuàng)始人康托（cantor ）是 “實無限”的捍衛(wèi)者。亞里士多德這樣描述他對

5、無限的認識，“因為分害 0過程永遠不會告終（ going ）；這個事實保證了這種活動存在的潛在性，但并不能保證無限獨立地存在 ”，他又指出， “空間和時間是可以無限地劃分的（ going ），但并沒有被無限地劃分開來 ”。（參見朱梧槚， 2008 年，第 203 頁）偉大的數(shù)學天才高斯（ gauss ）明確反對 “實無限 ”。他在給舒馬赫（ heiich schumacher ）的信件中以十分堅決的口氣表明了他的見解： “我反對把無窮量當作一種完成的實體來使用，這在數(shù)學中是絕對不允許的，無窮不過是談及極限時的一種說話方式而已?！眰ゴ蟮姆▏鴶?shù)學家、天體力學家、科學哲學家彭加勒（ hei poin

6、care ）先生也明確反對 “實無限 ”。在他所著科學與方法一書中，他指出： “不存在實（給定的完備的）無窮?？低袪栔髁x者忘記了這一點，他們陷入了矛盾之中。像康托爾主義者一樣，羅素也忘記了這一點，而且碰到了同樣的困難。但是，問題是要知道，他們是偶然地走上這條道路呢，還是受到必然性的驅(qū)使呢。在我看來，該問題是無可懷疑的；在羅素的邏輯中，對于實無窮的確信是基本的東西。正是這一點，把它與希爾伯特的邏輯區(qū)分開來?！保▍⒁娕砑永?， 2008 年，第 148 頁）。彭加勒先生對康托（cantor ）、羅素的思想進行了深刻的剖析。以布勞威爾（ brouwer ）為代表的直覺主義派是 “實無限 ”的堅決反對者

7、，他們認為只有 “潛無限 ”而沒有客觀存在的真實的無限。以希爾伯特（ hilbert ）為代表的形式主義派，承認 “無限 ”的實在性，是典型的 “實無限觀 ”的擁護者，但是在具體的應(yīng)用中又堅持 “有限主義原則 ”，因此又是一個 “潛無限 ”論者。這充分說明希爾伯特在 “無限問題 ”上的矛盾性。他在一次著名的演講中講到： “沒有任何問題能象無限那樣，從來就深深地觸動著人們的情感；沒有任何觀念能象無限那樣，曾如此卓有成效地激勵著人的理智；也沒有任何概念能象無限那樣，是如此迫切地需要予以澄清”（參見朱梧槚， 1987 年，第 296 頁），可見他對 “無限 ”的研究有著無比的熱愛和期待。朱梧槚先生更是生動地稱之為 “幕前的實無限論者 ”和幕后的 “有窮主義者 ” （參見朱梧槚， 2008 年，第 146 頁）。以羅素（ russell ）為代表的邏輯主義派，認為能把全部數(shù)學化歸為邏輯，承認 “實無限 ”觀下的無限集理論，確認 “實無限 ”性研究對象在數(shù)學領(lǐng)域中的合理性。因此，就無窮觀而言，他們是典型的 “實無限觀 ”論者（參見朱梧槚， 1987 年，第 271 頁）。普遍認為，羅素及其追隨者明顯地承認無限性對象的存在性，但由于羅素為排除集合論中的悖論而發(fā)展他的分支類型論，因而在羅素系統(tǒng)中的“實無限性對象 ”就在不同的類和級中表現(xiàn)為一定的