1、金融經(jīng)濟(jì)學(xué)習(xí)題解答王江（初稿，待修改。未經(jīng)作者許可請(qǐng)勿傳閱、拷貝、轉(zhuǎn)載和篡改。)2006 年 8 月第 2 章基本框架2.1 U(c) 和 V (c) 是兩個(gè)效用函數(shù)，c 2 Rn+，且 V (x) = f(U(x)，其中 f(¢) 是一正單調(diào)函數(shù)。證明這兩個(gè)效用函數(shù)表示了相同的偏好。解. 假設(shè) U(c) 表示的偏好關(guān)系為 º，那么 8 c1; c2 2 RN+ 有U(c1) ¸ U(c2) , c1 º c2而 f(¢) 是正單調(diào)函數(shù)，因而V (c1) = f(U(c1) ¸ f(U(c2) = V (c2) , U(c1)

2、84; U(c2)因此 V (c1) ¸ V (c2) , c1 º c2，即 V (c) 表示的偏好也是 º。2.2* 在 1 期，經(jīng)濟(jì)有兩個(gè)可能狀態(tài) a 和 b，它們的發(fā)生概率相等：a b考慮定義在消費(fèi)計(jì)劃 c = c0; c1a; c1b 上的效用函數(shù)：U(c) = log c0+ 1(log c1a + log c1b)2³ ´U(c)=1c01¡° + 211c11a¡° +1c11b¡°1¡°1¡°1¡°U(c)=

3、¡e¡ac0 ¡ 21 ¡e¡ac0 + e¡ac0 ¢證明它們滿足：不滿足性、連續(xù)性和凸性。解. 在這里只證明第一個(gè)效用函數(shù)，可以類似地證明第二、第三個(gè)效用函數(shù)的性質(zhì)。(a) 先證明不滿足性。假設(shè) c ¸ c0，那么有 c0 ¸ c00; c1a ¸ c01a; c1b ¸ c01b而 log(¢) 是單調(diào)增函數(shù)，因此有l(wèi)og(c0) ¸ log(c00); log(c1a) ¸ log(c01a); log(c1b) ¸ log(c01b)因

4、而 U(c) ¸ U(c0)，即 c º c0。2第 2 章 基本框架(b) 現(xiàn)在證明連續(xù)性。令 fc(n)g11 為 R3 中一個(gè)序列，且 limn!1 c(n) = c。對(duì)于8 " > 0; 9 ±，當(dāng) j c0i ¡ ci j· ± 時(shí)我們有 j log(c0i) ¡ log(ci) j< 3" ; i = 0; 1a; 1b；對(duì)于 ±，9 N 使得當(dāng) n ¸ N 時(shí)，k c(n) ¡ c k= q< ±(c0 ¡ c0(n)2 +

5、 (c1a ¡ c1(na)2 + (c1b ¡ c1(nb)2因而 j U(c(n) ¡ U(c) j< "，故 limc(n)!c U(c(n) = U(c)。(c) 最后證明凸性。假設(shè) U(C) > U(C0)，那么log(c ) +1log(c1a) +1log(c1b) > log(c0) +1log(c0) +1log(c0)022021a21b對(duì)于 8 ®2 (0; 1)，U(®C0 + (1 ¡ ®)C)11000= log(®c0+ (1 ¡ ®)c

6、0) +log(®c1a+ (1 ¡ ®)c1a) +log(®c1b + (1 ¡ ®)c1b)220101011¸ ®(log(c0) +log(c1a) +log(c1b) + (1 ¡ ®)(log(c0) +log(c1a) +log(c1b)2222= ®U(C0) + (1 ¡ ®)U(C) > U(C0)故凸性成立。2.3 U(c) = c ¡ 12 a c2 是一可能的效用函數(shù)，其中 c 2 R+，a 是非負(fù)的系數(shù)。U(c) 具有不

7、滿足性嗎？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范圍內(nèi)時(shí) U(c) 具有不滿足性？解. 不一定。比如當(dāng) a = 1 時(shí)，U(12 ) = 38 < U(1) = 12 > U(3) = ¡1:5。U(c) 不具有不滿足性。當(dāng) a = 0 時(shí)，U(c) = c 具有不滿足性；當(dāng) a > 0 時(shí)，當(dāng) c 2 0; a1 時(shí) U(c) 具有不滿足性。2.4 考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)，它在 1 期有三個(gè)可能狀態(tài)：a，b 和 c：ab c證券市場(chǎng)包括證券 1 和 2，它們具有如下的支付向量：X1 = 1; 1; 1 以及 X2 = 1; 2; 3。它們的價(jià)格分別為 S1 和 S2。

8、(a) 描述這個(gè)經(jīng)濟(jì)的支付空間。(b) 寫出這個(gè)經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)矩陣 X。(c) 考慮含有 µ1 單位的證券 1 和 µ2 單位的證券 2 的組合。寫出這個(gè)組合的支付向量。這個(gè)組合的價(jià)格是多少？°c王江金融經(jīng)濟(jì)學(xué)3(d) 假設(shè)這個(gè)市場(chǎng)中總共有 K 個(gè)參與者。每個(gè)參與者的稟賦是 1 單位的證券 1 和 2 單位的證券 2。這時(shí)的市場(chǎng)組合是什么？市場(chǎng)組合的支付向量是什么？市場(chǎng)組合的總價(jià)值是多少？(e) 寫出市場(chǎng)化支付的集合。(f) 如果市場(chǎng)不允許賣空。市場(chǎng)化支付的集合是什么？(g) 現(xiàn)在引入新的證券 3，它的支付向量為 X3 = 0; 0; 1。寫出新的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)矩陣。在

9、這個(gè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)下，市場(chǎng)化支付集合是什么？解.(a) 這個(gè)經(jīng)濟(jì)的支付空間是 R3；411513= X1; X2；(b) 市場(chǎng)結(jié)構(gòu)矩陣為 X =2123(c) 組合的支付向量為 µ1X1 + µ2X2 = µ1 + µ2; µ1+ 2µ2; µ1 + 3µ2，組合的價(jià)格是µ1S1 + µ2S2；(d) 市場(chǎng)組合是 K 單位的證券 1 和 2K 單位的證券 2，組合的支付向量為3K; 5K; 7K，組合的總價(jià)值是 KS1 + 2KS2；(e) 市場(chǎng)化的支付集合是 M = fY 2 R2: Y =

10、81;1X1 + µ2X2; µ1; µ2 2 Rg；(f) 這時(shí)的市場(chǎng)化支付集合是 M+ = fY2 R2 : Y = µ1X1 + µ2X2; µ1; µ2 2 R+g；合為341105。131(g) 新的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)矩陣為 X =21203= X1; X2; X3，此時(shí)的市場(chǎng)化支付集M = fY 2 R : Y = µ1X1 + µ2X2 + µ3X3; µ1; µ2; µ3 2 Rg2.5 在練習(xí) 2.4 中定義的只存在證券 1 和 2 的經(jīng)濟(jì)中。考慮一個(gè)稟賦為

11、 µ1 單位的證券 1 和 µ2 單位的證券 2 的參與者。寫出他的預(yù)算集。解. 參與者的預(yù)算集是 fC 2 R3+ : C = ®1X1 + ®2X2; 其中 ®1S1 + ®2S2 · µ1S1 + µ2S2g。2.6 在上面的練習(xí)中引入練習(xí) 2.4 中定義的證券 3，它的價(jià)格為 S3。這時(shí)，參與者的預(yù)算集是什么（他在證券 3 上的稟賦為 0）？證明由證券 1、2、3 構(gòu)成的預(yù)算集包含僅由證券 1、2 構(gòu)成的預(yù)算集。解. 此時(shí)參與者的預(yù)算集就變成了 fC 2 R3+ : C = ®1X1 +

12、®2X2 +®3X3; 其中 ®1S1 +®2S2 + ®3S3 · µ1S1 + µ2S2 + µ3S3g。2.7* 考慮一個(gè)在 1 期只有一個(gè)可能狀態(tài)的經(jīng)濟(jì)。（在這種情況下不存在不確定性。）參與者 1 的 0 期稟賦為 100 而 1 期稟賦為 1，即他的稟賦向量為 100; 1。他的偏好可金融經(jīng)濟(jì)學(xué)°c王江4第 2 章 基本框架以表示成如下形式：U(c0; c1) = log c0 + ½ log c1:系數(shù) ½ 為反映參與者在當(dāng)前消費(fèi)和未來(lái)消費(fèi)之間相對(duì)偏好的參數(shù)。有一

13、只證券，它的 0 期價(jià)格為 1、1 期支付為 1 + rF 。這里，rF 是利率。(a) 如果這個(gè)參與者不能在市場(chǎng)上進(jìn)行交易，那么他的消費(fèi)計(jì)劃以及相應(yīng)的效用 Ua 是什么？(b) 現(xiàn)在假設(shè)他可以在市場(chǎng)上進(jìn)行交易。² 他的預(yù)算集是什么？以當(dāng)前消費(fèi)為單位，他的總財(cái)富 w 是多少？² 寫出參與者的優(yōu)化問題。令 c0 為參與者的當(dāng)前（即 0 期）最優(yōu)消費(fèi)、s 為最優(yōu)儲(chǔ)蓄以及 Ub 為在最優(yōu)策略下得到的效用。求解他的最優(yōu)消費(fèi)/儲(chǔ)蓄選擇以及相應(yīng)的效用。把 Ub 表示成財(cái)富 w、利率 rF 和偏好系數(shù) ½ 的函數(shù)。² 討論參與者的最優(yōu)選擇如何依賴于利率 rF 和偏好系

14、數(shù) ½ 。給出解釋。(c) 證明 Ub ¸ Ua。(d) 令 g 為參與者由于能夠在證券市場(chǎng)上交易而獲得的益處。它的定義為Ub(w ¡ g) = Ua:計(jì)算 g。討論 g 如何依賴于 ½？g 如何依賴于 rF ？給出解釋。解.(a) 如果不能交易，那么參與者只能消費(fèi)自己的初始稟賦，即 c0 = 100; c1 = 1; Ua = log(100) + ½ log(1) = log(100)(b) 參與者的預(yù)算集是 fC 2 R2+ : c0 = 100 ¡ S; c1 = 1 + S(1 + rF ); S 2 Rg，如果以當(dāng)前消費(fèi)為單位，他的總財(cái)富是 w = 100 + 1+1rF 。參與者的優(yōu)化問題就是max log(100 ¡ S) + ½ log(