1、四個猜想的證明作者姓名：彎國強作者地址：漯河市舞陽縣蓮花鎮(zhèn)第二初級中學(xué)E-mail：自然數(shù)是我們再熟悉不過的數(shù)了，然而我們真的對它們真正了解了嗎？其實在自然數(shù)中還隱藏著很多的秘密，我們還沒有發(fā)現(xiàn)。有時候越是我們熟悉的事物，我們對它們越是不了解。還者說是對它們司空見慣了，而忽視了對它們的思考。下面我們就研究一下一個與自然數(shù)有關(guān)的性質(zhì)。定理：（素數(shù)的個數(shù)公式）設(shè)n為正整數(shù)，為n的前部素數(shù)，是前部質(zhì)數(shù)的個數(shù)，那么所有不大于n的素數(shù)的個數(shù)根據(jù)容斥定理我們可以知道后部質(zhì)數(shù)的個數(shù)為，故當(dāng)時，有容斥原理可以知道這個公式表示n減去n以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個數(shù)也就是只剩下1。故當(dāng)時，有容斥原理可以知道這個公式表示

2、n減去n以內(nèi)m個質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個數(shù)也就是還剩有質(zhì)數(shù)和1。故當(dāng)時，有容斥原理可以知道這個公式表示n減去n以內(nèi)m個質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個數(shù)也就是還剩有質(zhì)數(shù)，合數(shù)和1。故當(dāng)時，有容斥原理可以知道這個公式表示n減去n以內(nèi)0個質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個數(shù)也就是沒有減去一個數(shù)。故我們可以把自然數(shù)列按照某個自然數(shù)分段，并把這個分段記為T，表示第r個分段。例如：按照自然數(shù)3分段，就是每隔3個數(shù)分一段。1，2，3；4，5，6；7，8，9；第1段為1，2，3記為，第r段記為按照自然數(shù)5分段，就是每隔5個數(shù)分一段。1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；第1段為1，2，3，4，5記為，第r段記為我們把第1分段中

3、的全部質(zhì)數(shù)叫基質(zhì)數(shù)。例如中的基質(zhì)數(shù)為2，3中的基質(zhì)數(shù)為2，3，5定理：1設(shè)T是自然數(shù)的任一分段，分段中基質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個數(shù)不大于分段中基質(zhì)數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)。證明：設(shè)，是中的基質(zhì)數(shù)。集合，那么由容斥定理我們可以得到，A中元素的個數(shù)為集合，設(shè)B中元素的個數(shù)為SB中元素的最大個數(shù)為當(dāng)n為偶數(shù)時，B中的元素個數(shù)為偶數(shù)，剛好取整，不必加1；當(dāng)n為奇數(shù)時，n至少能被其中一個整除，否則n為質(zhì)數(shù)，這與是n中最大的質(zhì)數(shù)矛盾。當(dāng)時，故至少有一個剛好取整，不必加1.因此。又因為所以又因為所以即：分段中基質(zhì)數(shù)倍數(shù)的個數(shù)不大于分段中基質(zhì)數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)。推論：1在質(zhì)數(shù)和之間，每隔個數(shù)至少有一個素數(shù)。證明：設(shè)，是中的基質(zhì)數(shù)。集合

4、，那么由容斥定理我們可以得到，A中元素的個數(shù)為，n為中元素的個數(shù)集合，中的元素在和之間，設(shè)B中元素的個數(shù)為S，根據(jù)定理1可以知道，所以，所以，這就說明在中至少有一個數(shù)不能同時被整除，根據(jù)質(zhì)數(shù)的判定定理，小于數(shù)的平方根都小于，即是和之間數(shù)的前部質(zhì)數(shù)或者比前部質(zhì)數(shù)的個數(shù)多，不能被整除的數(shù)必為質(zhì)數(shù)。也就是說，在質(zhì)數(shù)和之間，每隔個數(shù)至少有一個素數(shù)。推論：2設(shè)T是自然數(shù)的任一分段，質(zhì)數(shù) 中的最大質(zhì)數(shù)，若，那么中至少有一個質(zhì)數(shù)。 推論：3設(shè)是自然數(shù)的任一分段，質(zhì)數(shù) 中的最大質(zhì)數(shù)，若，那么中質(zhì)數(shù)的個數(shù)為或勒讓德猜想：在平方數(shù)之間至少有兩個質(zhì)數(shù)。已知：對于任意的正整數(shù)n，是平方數(shù)。求證：在平方數(shù)之間至少有兩個

5、質(zhì)數(shù)。證明：，設(shè)不超過n的質(zhì)數(shù)為，從以n個數(shù)為一段，可以分兩個段，每一個段質(zhì)數(shù)的個數(shù)為，所以兩個段的個數(shù)就大于等于2，故在平方數(shù)之間至少有兩個質(zhì)數(shù)。布羅卡猜想：在質(zhì)數(shù)和之間至少有四個質(zhì)數(shù)，其中是指第m個質(zhì)數(shù)，(m>1)證明:因為，所以，也就是說在和之間至少可以按個數(shù)分4段，每一段中至少有一個質(zhì)數(shù)，故在質(zhì)數(shù)和之間至少有四個質(zhì)數(shù)。伯蘭特猜想：若為大于2的自然數(shù)，則到之間至少有一個素數(shù)。(已經(jīng)被切比雪夫證明。)證明：由于時，到之間有n個數(shù)，設(shè)不超過n的質(zhì)數(shù)為，那么根據(jù)公式到之間質(zhì)數(shù)的個數(shù)為：也就是說到之間至少有一個素數(shù)。W·H·米爾斯立方數(shù)猜想：在立方數(shù)之間至少有兩個質(zhì)數(shù)。證明思路：之間包含證明：取,那么要使這個不等式成立只需，也就是，兩邊平方可以得到，故只需又因為不全相等，所以不等式恒成立。也就是說之間包含，又因為之間至少有兩個質(zhì)數(shù)，故在之間也至少有兩個質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)分布的規(guī)律是以連續(xù)質(zhì)數(shù)的平方即和為間隔呈階梯式分布，即在之間每隔一個數(shù)至少有一個質(zhì)數(shù)；在之間每隔兩個數(shù)至少有一個質(zhì)數(shù)；在和之間每隔個數(shù)