1、托勒密定理   定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。 從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)定理提出 定理的內(nèi)容 。 摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。 定理表述：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。 從這個定

2、理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì) 定理內(nèi)容指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,連接DE. 則ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)    由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD, 所以ABCAED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2

3、),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因為BE+EDBD （僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限于

4、同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一點K，使得ABK = CBD； 因為ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK與DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·

5、;DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。 三、 托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC 證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，AC·DP=A

6、B·CD 。+得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC即AC·BD=AB·CD+AD·BC 四、廣義托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m,n，則有： m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)    推論1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BDAB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣托勒

7、密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。 簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式AC·BD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 運用要點1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 2.四點不限于同一平面。 歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD弦切角定理1. 推論內(nèi)容 2.

8、應(yīng)用舉例弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另    圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角） 如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，TCB，TCA，PCA，PCB都為弦切角。 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半. 弦切角定理證明： 證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。 TCB=90-OCB BOC=180-2OCB ,BOC=2TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半） BOC=2CAB（圓心角等于圓周角的兩倍） TCB=CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）

9、證明已知：AC是O的弦，AB是O的切線，A為切點，弧是弦切角BAC所夾的弧. 求證：（弦切角定理） 證明：分三種情況：    （1）圓心O在BAC的一邊AC上 AC為直徑，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 為半圓, CAB=90=弦CA所對的圓周角       B點應(yīng)在A點左側(cè)（2）圓心O在BAC的內(nèi)部. 過A作直徑AD交O于D, 若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E 那么，連接EC、ED、EA 則有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理）    （3）圓心O在BAC的外部, 過A作直徑AD交O于

10、D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等 應(yīng)用舉例   例1：如圖，在RtABC中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點A，CBA=60° , AB=a 求BC長. 解：連結(jié)OA，OB. 在RtABC中, C=90 BAC=30° BC=1/2a(RT中30°角所對邊等于斜邊的一半）    例2：如圖，AD是ABC中BAC的平分線，經(jīng)過點A的O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn). 求證：EFBC. 證明：連DF.

11、 AD是BAC的平分線BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC    例3：如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O直徑，CDAB于D，MN切O于C， 求證：AC平分MCD，BC平分NCD. 證明：AB是O直徑 ACB=90 CDAB ACD=B， MN切O于C MCA=B， MCA=ACD， 即AC平分MCD， 同理：BC平分NCD. 相交弦定理   概念相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等） 相交弦說明幾何語言： 若弦AB

12、、CD交于點P 則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 幾何語言： 若AB是直徑，CD垂直AB于點P， 則PC2=PA·PB（相交弦定理推論） 如何證明證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.） PACPDB，PAPD=PCPB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作為證明圓的內(nèi)接四邊形的方法. P點若選在圓內(nèi)任意一點更具一般性。 其逆定理也可用于證明四點共圓。    比較相交弦定理、

13、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統(tǒng)稱為圓冪定理。一般用于求線段長度。切割線定理定理切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。是圓冪定理的一種。    切割線定理示意圖幾何語言： PT切O于點T，PBA是O的割線 PT的平方=PA·PB（切割線定理）推論： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言： PBA，PDC是O的割線 PD·PC=PA·PB（切割線定理推論）(割線定理） 由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·

14、PD 證明切割線定理證明: 設(shè)ABP是O的一條割線，PT是O的一條切線，切點為T，則PT2=PA·PB 證明：連接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理)    切割線定理的證明P=P(公共角) PBTPTA(兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似) 則PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·PA 比較相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統(tǒng)稱為圓冪定理。一般用于求直線段長度。圓冪定理求助編輯百科名片   圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。定義圓冪=PO

15、2-R2（該結(jié)論為歐拉公式） 所以圓內(nèi)的點的冪為負數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為

16、圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB PA/PD=PC/PB PA·PB=PC·PD 問題2割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD，當PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA2=PC·PD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間） ABCD為圓內(nèi)接四邊形 CAB+CDB=180° 又CAB+PAC=180° PAC=CDB APC公共 A

17、PCDPB PA/PD=PC/PB PA·PB=PC·PD 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言：PT切O于點T，PBA是O的割線 PT2=PA·PB（切割線定理） 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA、PDC是O的割線 PD·PC=PA·PB（切割線定理推論） 問題3過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PA·PB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點，設(shè)圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過P的直線為

18、 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的兩個根t1、t2。由韋達定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PA·PB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平

19、方。所說的定值也就是（原點）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。 如果給定點O，未必是原點，要求出P關(guān)于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達定理 是定值 是 關(guān)于的冪（當 是原點時，這個值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當P在圓內(nèi)時，冪值是負值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓

20、冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用 問題4自圓外一點 向圓引割線交圓于 、 兩點，又作切線 、 ， 、 為切點， 與 相交于 ，如圖8求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 點 的坐標為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個根，由韋達定理 另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 代入得 因此，這個方程的根 滿足 綜合，結(jié)論成立。 可以證明，當 在圓內(nèi)時，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。 西姆松定理   西姆松定理

21、圖示西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。西姆松定理說明相關(guān)的結(jié)果有： （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 （2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 （3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 （4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 (5)過三角形垂心的任意直線都是三角形的

22、的西姆松線 證明證明一：ABC外接圓上有點P，且PEAC于E，PFBC于F，PDAB于D，分別連FE、FD、BP、CP. 易證P、B、D、F及P、F、C、E和A、D、P、E分別共圓， 在PBDF圓內(nèi)，DBP+DFP=180度，在ABPC圓內(nèi)ABP+ACP =180度，ABP=DBP 于是DFP=ACP ，在PFCE圓內(nèi) PFE=PCE 而ACP+PCE=180° DFP+PFE=180° 即D、F、E共線. 反之，當D、F、E共線時，由可見A、    證明一（圖）B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于 BC

23、，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和    P、M、C、 L分別四點共圓，有 NBP = N LP = M LP= MCP. 故A、B、P、C四點共圓。 若A、P、B、C四點共圓，則 N BP= MCP。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB， 有B、L、P、N和P、M、C、L四點共圓，有 NBP = N LP = MCP = M LP. 故L、M、N三點共線。 相關(guān)性質(zhì)的證明連AH延長線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關(guān)線段 AHBC,PFBC=>AG/PF=>1=2    A.G.C.P共

24、圓=>2=3 PEAC,PFBC=>P.E.F.C共圓=>3=4 =>1=4 PFBC =>PR=RQ BHAC,AHBC=>5=6 A.B.G.C共圓=>6=7 =>5=7 AGBC=>BC垂直平分GH =>8=2=4 8+9=90,10+4=90=>9=10 =>HQ/DF =>PM=MH 第二個問，平分點在九點圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/G

25、O1=2，所以O(shè)1是OH的中點。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點圓)的"反"位似中心(相似點在位似中心的兩邊),H 是"正"位似中心(相似點在位似中心的同一邊)。 所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點必在三角形DEF的外接圓上。垂徑定理求助編輯百科名片   垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧 如圖 DC為直徑 AB垂直于DC 則AE=EB 弧AC等于弧BC定義垂直于弦的直徑平分這條

26、弦，并且平分弦所對的弧。 逆定理：平分弦（不是直徑）或平分弧的直徑垂直于弦。 證明如圖 ，在O中，DC為直徑， AB是弦，ABDC，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 垂徑定理證明圖連OA、OB OA、OB是半徑 OA=OB OAB是等腰三角形 ABDC AE=BE，AOE=BOE（等腰三角形三線合一） 弧AD=弧BD，AOC=BOC 弧AC=弧BC 推論推論一:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧 推論二:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的弧 推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對的另一條弧

27、推論四:在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等 (證明時的理論依據(jù)就是上面的五條定理) 但是在做不需要寫證明過程的題目中,可以用下面的方法進行判斷: 一條直線，在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件,就可以推出其他三條結(jié)論 1.平分弦所對的優(yōu)弧 2.平分弦所對的劣弧 （前兩條合起來就是：平分弦所對的兩條?。?3.平分弦 (不是直徑) 4.垂直于弦 5.經(jīng)過圓心 圓的有關(guān)性質(zhì)知識點圓、圓的對稱性、點和圓的位置關(guān)系、不在同一直線上的三點確定一個圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 大綱要求1 正確理解和應(yīng)用圓的點集定義，掌握點和圓

28、的位置關(guān)系； 2 熟練地掌握確定一個圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點。一個 圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個條件確定一條直線，三個條件確定一個圓，過三角形的三個頂點的圓存在并且唯一； 3 熟練地掌握和靈活應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半 徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線都是對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系； 4 掌握和圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等）弧上的 圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角

29、相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑； 5 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：它溝通了圓內(nèi)外圖形的關(guān)系，并能應(yīng)用它解決有關(guān)問題； 6 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦在“過圓心”“垂直于另一條弦” “平分這另一條弦”“平分這另一條弦所對的劣弧”“ 平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結(jié)論（當為條件時要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實際代表的10條定理的記憶且便于解題時的靈活應(yīng)用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到

30、它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個點在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角，要想到應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。 考查重點與常見題型1 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué) 生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（ ） (A)相等的圓心角所對的弧相等 (B)平分弦的直徑垂直于弦 (C)長度相等的兩條弧是等弧 (D)弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 2 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。此種結(jié)論的證明重 點考查了全等三角形和相似三

31、角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，常以解答題形式出現(xiàn)。 二，知識點 相交弦定理、切割線定理及其推論 大綱要求 1 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論； 2 了解圓冪定理的內(nèi)在聯(lián)系； 3 熟練地應(yīng)用定理解決有關(guān)問題； 4 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似 三角形結(jié)合的產(chǎn)物。這幾個定理可統(tǒng)一記憶成一個定理：過圓內(nèi)或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內(nèi)分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點重合的割線）。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點，另一個是與圓的交點；

32、 （2）見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時圖形中存在著一個以交點和圓心連線為對稱軸的對稱圖形。 考查重點與常見題型 證明等積式、等比式及混合等式等。此種結(jié)論的證明重點考查了相似三角形，切割線定理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識。常見題型以中檔解答題為主，也有一些出現(xiàn)在選擇題或填空割線定理定義   割線定理從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。 從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 LA·LB=LC·LD。如下圖所示。(LT是切線） 相關(guān)及證明概述割線定理為圓冪定理之一，其他二為： 切割線定理 相交弦定理 證明如圖直線ABP和CDP是自點P引的O的兩條割線，則PA·PB=PC·PD 證明:連接AD、BC    A和C都對弧BD 由圓周角定理，得 A=C 又APD=CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP 比較割線定理與相交弦定理，切割線定理通稱為圓冪定理。切線長定理   從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長