1、谷城一中2014屆高三數(shù)學(xué)試卷（文科）（13.9.16）一選擇題：.本題每小題5分，滿分50分.1設(shè)A，B是非空集合，定義A×Bx|x(AB)且x(AB)，已知Ax|0x2，By|y0，則A×B等于()A(2，) B0,12，) C0,1)(2，) D0,1(2，)答案A解析由題意知，AB0，)，AB0,2所以A×B(2，)2. 已知集合M(x，y)|y1k(x1)，x，yR，集合N(x，y)|x2y22y0，x，yR，那么MN中()A有兩個(gè)元素 B有一個(gè)元素 C一個(gè)元素也沒有 D必含無數(shù)個(gè)元素答案A解析y1k(x1)表示經(jīng)過定點(diǎn)(1,1)，斜率為k的直線，不包括

2、通過(1,1)與x軸垂直的直線即x1.x2y22y0，可化為x2(y1)21，表示圓心在(0,1)半徑等于1的圓，又(1,1)是圓上的點(diǎn)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故選A.3yx2cos x的導(dǎo)數(shù)是()A2xcos xx2sin x B2xcos xx2sin x C2xcos x Dx2sin x【解析】y2xcos xx2sin x.【答案】B4“m2”是“直線2xmy0與直線xy1平行”的()A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件【解析】m2時(shí)，直線2xmy0與直線xy1平行，故充分性成立；反之，直線2xmy0與直線xy1平行時(shí)，m2，故必要性成立所以“m2”是

3、“直線2xmy0與直線xy1平行”的充要條件【答案】A5. 已知命題p：mR，m10，命題q：xR，x2mx1>0恒成立若pq為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()Am2 Bm2 Cm2或m2 D2m2答案A解析由pq為假命題可知p和q都是假命題，即非p是真命題，所以m>1；再由q：xR，x2mx1>0恒成立為假命題知m2或m2，m2，故選A.6具有性質(zhì)f()f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”交換的函數(shù)，下列函數(shù)：f(x)x；f(x)x；f(x)中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()A B C D只有答案B解析f()xf(x)滿足f()xf(x)不滿足0<x<1時(shí)，f()x

4、f(x)，x1時(shí)，f()0f(x)，x>1時(shí)，f()f(x)滿足故選B.7右圖中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象，則f(1)()A. B C. D或【解析】f(x)x22ax(a21)導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象開口向上又a0，其圖象必為第(3)個(gè)圖由圖象特征知f(0)0，且a0，a1.故f(1)11.【答案】B8已知點(diǎn)A(1,3)，B(2，1)若直線l：yk(x2)1與線段AB相交，則k的取值范圍是()Ak Bk2 Ck或k2 D2k【解析】(數(shù)形結(jié)合法)由已知直線l恒過定點(diǎn)P(2,1)，如下圖若l與線段AB相交，則kPAkkPB，kPA2，k

5、PB，2k.【答案】D9如下圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點(diǎn)，雙曲線均以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，設(shè)圖1，圖2中雙曲線的離心率分別為e1，e2，則()Ae1e2 Be1e2 Ce1e2 D以上皆非【解析】(數(shù)形結(jié)合法)由題意|F1F2|為雙曲線的焦距，由正三角形、正方形的性質(zhì)，探求|PF1|，|PF2|與|F1F2|的關(guān)系，再利用雙曲線定義及離心率定義求出離心率e1，e2.2a|F2M|F1M|，由圖1，知e11，由圖2，知e2，所以e1e2，故選A.【答案】A10如圖所示，橢圓1(a>b>0)的離心率e，左焦點(diǎn)為F，A、B、C為其三個(gè)頂點(diǎn)，直線CF與AB交于D點(diǎn)，則tan

6、BDC的值等于()A3 B3 C. D.【解析】由e知，.由圖知tanDBCtanABO，tanDCBtanFCO.tanBDCtan(DBCDCB)3.【答案】B二填空題：每題填對得5分，滿分35分.11已知集合A0,2，a2，B1，a，若AB0,1,2,4，則實(shí)數(shù)a的值為_答案2解析AB0,1,2,4，a4或a24，若a4，則a216，但16AB，a24，a±2，又2AB，a2.12.若f(ab)f(a)·f(b)且f(1)1，則_.答案2013解析令b1，則f(1)1，2013.13. 已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)·f(x2)13，若f(0)2

7、，則f(2014)_.答案14要做一個(gè)底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72 cm3，其底面兩鄰邊長之比為12，則它的長為_，寬為_，高為_時(shí)，可使表面積最小【解析】設(shè)底面寬為x cm，則長為2x cm，高為 cm，S4x24x2.S8x0，x3 cm.長為6 cm，寬為3 cm，高為4 cm.【答案】6 cm3 cm4 cm15若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長是_【解析】依題意得|OO1|5，且OO1A是直角三角形，SOO1A··|OO1|·|OA|·|AO1|，因此|AB

8、|4.【答案】416已知：直線l：y(x2)和雙曲線C：1(a>0，b>0)，又l關(guān)于直線l1：yx對稱的直線l2與x軸平行則雙曲線C的離心率為 【答案】【解】設(shè)雙曲線C：1過一、三象限的漸近線l1：0的傾斜角為.為l和l2關(guān)于l1對稱，記它們的交點(diǎn)為P.而l2與x軸平行，記l2與y軸交點(diǎn)為Q點(diǎn)，l與x軸交點(diǎn)為M點(diǎn)依題意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的傾斜角為60°，則260°，所以tan 30°.于是e211，所以e.17. 點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線y24x上，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，y1y2

9、的值為 直線AB的斜率為 【解】設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA(x11)，kPB(x21)，PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得 y4x1， y4x2，y12(y22)即y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)三、解答題：本題共有5小題，滿分65分.18(12分)設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x24ax3a2<0，其中a0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足(1)若a1，且pq為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)a1時(shí)，p：x24x3<0，即p：1&

10、lt;x<3，q：即q：2<x3，由pq為真知，2<x<3.(2)由x24ax3a2<0，得(xa)(x3a)<0，若a<0，則3a<x<a，不合題意；若a>0，則a<x<3a，由題意知，(2,3 (a,3a)，1<a2.19(12分) 已知圓C的方程為x2y24.(1)求過點(diǎn)P(1,2)且與圓C相切的直線l的方程；(2)直線l過點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|2，求直線l的方程；(3)圓C上有一動點(diǎn)M(x0，y0)，(0，y0)，若向量，求動點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線【解】(1)顯然直

11、線l的斜率存在，設(shè)切線方程為y2k(x1)，則由2，得k10，k2，從而所求的切線方程為：y2和4x3y100.(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線方程為x1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)和(1，)，這兩點(diǎn)的距離為2，滿足題意；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y2k(x1)，即kxyk20，設(shè)圓心到此直線的距離為d(d0)，則22，得d1，從而1，得k，此時(shí)直線方程為3x4y50，綜上所述，所求直線方程為3x4y50或x1.(3)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，M點(diǎn)坐標(biāo)是(x0，y0)，(0，y0)，(x，y)(x0,2y0)xx0，y2y0.xy4，x224，即1.Q點(diǎn)的軌跡方程是1，軌跡是一

12、個(gè)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓20(13分)某西部山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運(yùn)輸?shù)脑?，長期只能在當(dāng)?shù)劁N售，當(dāng)?shù)卣ㄟ^投資對該項(xiàng)特產(chǎn)的銷售進(jìn)行扶持，已知每年投入x萬元，可獲得純利潤P(x40)2100萬元(已扣除投資，下同)，當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在未來10年內(nèi)對該項(xiàng)目每年都投入60萬元的銷售投資，其中在前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，公路5年建成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的5年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每年投入x萬元，可獲純利潤Q(60x)2·(60x)萬元，問僅從這10年的累積

13、利潤看，該規(guī)劃方案是否可行？解析在實(shí)施規(guī)劃前，由題設(shè)P(x40)2100(萬元)，知每年只需投入40萬，即可獲得最大利潤100萬元，則10年的總利潤為W1100×101000(萬元)實(shí)施規(guī)劃后的前5年中，由題設(shè)P(x40)2100知，每年投入30萬元時(shí)，有最大利潤Pmax(萬元)，前5年的利潤和為×5(萬元)設(shè)在公路通車的后5年中，每年用x萬元投資于本地的銷售，而剩下的(60x)萬元用于外地區(qū)的銷售投資，則其總利潤為W2(x40)2100×5(x2x)×55(x30)24950.當(dāng)x30時(shí)，W24950(萬元)為最大值，從而10年的總利潤為4950(萬元

14、)4950>1000，該規(guī)劃方案有極大實(shí)施價(jià)值21(14分) 已知橢圓1(a>b>0)和圓O：x2y2b2，過橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)若圓O過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的離心率e；若橢圓上存在點(diǎn)P，使得APB90°，求橢圓離心率的取值范圍；(2)設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，求證：為定值【解】(1)因?yàn)閳AO過橢圓的焦點(diǎn)，圓O：x2y2b2，所以bc，所以b2a2c2c2，所以a22c2，所以e.由APB90°及圓的性質(zhì)，可得|OP|b，所以|OP|22b2a2，所以a22c2，所以e2，所以e<1.(2)設(shè)P(x0

15、，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，整理得x0x1y0y1xy.因?yàn)閤yb2，所以PA方程為：x1xy1yb2，同理PB方程為：x2xy2yb2.PA、PB都過點(diǎn)P(x0，y0)，所以x1x0y1y0b2且x2x0y2y0b2，故直線AB方程為x0xy0yb2.令x0，得|ON|y|，令y0，得|OM|x|，所以，所以為定值，定值是.22(14分)已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值；(3)當(dāng)a1時(shí)，若直線l：ykx1與曲線yf(x)沒有公共點(diǎn)，求k的最大值22解：(1)由

16、f(x)x1，得f(x)1.又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0，得exa，xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在xln a處取得極小值ln a，無極大值(3)方法一：當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1.令g(x)f(x)(kx1)(1k)x，則直線l：ykx1與曲線yf(x)沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程g(x)0在R上沒有實(shí)數(shù)解假設(shè)k>1，此時(shí)g(0)1>0，g1<0，又函數(shù)g(x)的圖像連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知g(x)0在R上至少有一解，與“方程g(x)0在R上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k1.又k1時(shí)，g(x)>0，知方程g(x)0在R上沒有實(shí)數(shù)解所以k的最大值為1.方法二：當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1.直線l：