1、第11講 代數(shù)最值知識(shí)縱橫在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最字的問題，如在一定的方案中，花費(fèi)最低、消耗最少、產(chǎn)值最高、獲利最大等；解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題，求最值問題的方法歸納起來有如下幾點(diǎn);1. 運(yùn)用配方法求最值2. 構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值3. 建立函數(shù)模型求最值4. 利用基本不等式或不等式分析法求最值例題求解【例1】實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是 （江蘇省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥 解題的關(guān)鍵是由可得x取值的隱含制約?！纠?】分式的最小值為（ ）A、 -5 B、-3 C、5 D、3（太原市競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥

2、 原式=。【例3】（1）設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值。（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）（2） 實(shí)數(shù)x、y、z滿足，求z的最大值。（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）思路點(diǎn)撥 對(duì)于（1），引入?yún)?shù)設(shè)，將等式整理成關(guān)于a的二次方程，利用判別式求最小值，對(duì)于（2），運(yùn)用韋達(dá)定理構(gòu)造方程?！纠?】（1）已知的最大值為a，最小值為b，則的值。（2011年數(shù)學(xué)周報(bào)杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）（2） 求使取得最小值的實(shí)數(shù)x的值。（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥 解與二次根式相關(guān)的最值問題，除了利用函數(shù)增減性、配方法等基本方法外，還有下列常用方法：平方法、判別式法、運(yùn)用根式的幾何意義構(gòu)造圖形等。【例5】已知，對(duì)于滿足條件，的一切實(shí)數(shù)對(duì)（

3、x，y），不等式恒成立，當(dāng)乘積ab取最小值時(shí)，求a、b的值。（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）分析 將y=1-x代入不等式得：，此不等式對(duì)于滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）恒成立，于是將問題轉(zhuǎn)化為探討二次函數(shù)圖象位置需滿足的條件。解 由，知。 令x=0，y=1，得；令x=1，y=0，得，從而，。 故二次函數(shù)的圖象的開口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0 和1之間。 又原不等式對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)x恒成立。 所以，即 由 得 或離散最值【例6】已知a、b、c為正整數(shù)，且，求c的最小值。（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分析與解 若取，則，由小到大考察b，使為完全平方數(shù)，當(dāng)b=8時(shí)，則c=6，從而a=28，下表說明c沒有比6更小的正整

4、數(shù)解。顯然，表中的值均不是完全平方數(shù)，故c的最小值為6.2161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113思路點(diǎn)撥 從入手。學(xué)力練習(xí)基礎(chǔ)夯實(shí)1、 （1）設(shè)x為正實(shí)數(shù)，則函數(shù)的最小值是 。 （2）函數(shù)的最大值是 2、 若實(shí)數(shù)x、y滿足方程，則xy的最大值為 （第19屆香港中學(xué)競(jìng)賽題）3、 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，則a的最大值為 （第17屆江蘇省競(jìng)賽題）4、 已知x、y、z為三個(gè)

5、非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足，若，則s的最大值與最小值的和為（ ）A、5 B、 C、 D、（天津市選拔賽試題）5、 若，則可取得的最小值為（ ）A、3 B、 C、 D、6、 正實(shí)數(shù)x、y滿足，那么的最小值為（ ）A、 B、 C、 D、 E、 （黃岡市競(jìng)賽題）7、 （1）求函數(shù)在時(shí)的最值。 （2）求的最大值。8、 求的最小值。9、 在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的正半軸分別 交于點(diǎn)A、B，且使得.（1） 用b表示；（2）求面積的最小值。 （浙江競(jìng)賽題）能力拓展10、 設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最大值為 11、 若拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、B，頂點(diǎn)為C，則的面積最小值為 12、 已

6、知實(shí)數(shù)a、b滿足，且，則t的最大值為 最小值為 （“TI杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題） 13、 設(shè)x、y、z為正數(shù)，且 ，則的最小值是 （“宇振杯”上海市競(jìng)賽題）14、 已知，且，則k的最小整數(shù)值是 （海南省競(jìng)賽題）15、 已知，那么y的最大值和最小值的差為 （武漢市競(jìng)賽題）16、 已知，都是正整數(shù)，且，若的最大值為A，最小值為B，則A+B的值為 （全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）17、 設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足，求的最小值。（“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）18、 已知a、b、c是正整數(shù)，且二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求的最小值。（天津市競(jìng)賽題）綜合創(chuàng)新19、 設(shè)，是整數(shù)，并且滿足