1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上九年級(jí)上冊(cè) 第一章 特殊平行四邊形第1節(jié) 菱形的性質(zhì)與判定一、菱形的性質(zhì)1、菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。（1）菱形的對(duì)邊平行且相等。（2）菱形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。（3）菱形的對(duì)角線互相平分。2、菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)。（1）菱形的四條邊相等。（2）菱形的對(duì)角線互相垂直且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。【說(shuō)明】菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸，所以菱形有兩條對(duì)稱軸。菱形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。菱形的兩條對(duì)角線把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，所以菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一

2、半。不僅如此，凡是對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都可以用兩條對(duì)角線乘積的一半來(lái)計(jì)算。菱形的面積有兩種求法，第一種是等于對(duì)角線乘積的一半，第二種是底乘以高。菱形中如果有一個(gè)角為60°，則較短的對(duì)角線將其分成兩個(gè)全等的等邊三角形，從而較短的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)，較長(zhǎng)的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍。二、菱形的判定1、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。（定義）2、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3、四條邊都相等的四邊形是菱形。第2節(jié) 矩形的性質(zhì)與判定一、矩形的性質(zhì)1、矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。（1）矩形的對(duì)邊平行且相等。（2）矩形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。（3）矩形的對(duì)角線互相平

3、分。2、矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)。（1）矩形的四個(gè)角都相等，都是直角。（2）矩形的對(duì)角線相等?！菊f(shuō)明】矩形是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)每組對(duì)邊中點(diǎn)的直線是它的兩條對(duì)稱軸。矩形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。若一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。矩形的周長(zhǎng)等于長(zhǎng)與寬的和的2倍，矩形的面積等于長(zhǎng)與寬的積。二、矩形的判定1、有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。（定義）2、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。3、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4、四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。第3節(jié) 正方形的性質(zhì)與判定

4、一、正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì)。1、正方形的四條邊都相等且對(duì)邊平行。2、正方形的四個(gè)角都相等，都是直角。3、正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。【說(shuō)明】（1）正方形是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)兩組對(duì)邊中點(diǎn)的直線及兩條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸，所以正方形有四條對(duì)稱軸。（2）正方形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。（3）正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形。（4）正方形的對(duì)角線互相垂直且相等，所以正方形的面積有兩種求法，第一種是等于對(duì)角線平方的一半，第二種是邊長(zhǎng)的平方。二、正方形的判定1、有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直

5、角的平行四邊形叫做正方形。（定義）2、對(duì)角線互相垂直平分且相等的平行四邊形是正方形。3、有一組鄰邊相等的矩形是正方形。4、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。5、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。6、對(duì)角線相等的菱形是正方形。【說(shuō)明】（1）判定一個(gè)四邊形為正方形的一般順序：先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）。（2）判定一個(gè)四邊形是正方形的途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直。先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等。三、平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系1、演變關(guān)系2、從屬關(guān)系第二章 一元二次方程第1節(jié) 認(rèn)識(shí)一元二次方程一、一元二

6、次方程的相關(guān)概念1、一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的最高指數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。【說(shuō)明】一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)（2）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2（3）必須是整式方程2、一元二次方程的一般形式我們把a(bǔ)x2bxc0（a、b、c為常數(shù)，a0）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)。【說(shuō)明】（1）確定一元二次方程的各項(xiàng)及其系數(shù)，應(yīng)先把一元二次方程化為一般形式。（2）二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)及其系數(shù)必須帶符號(hào)。二、從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程1、方法（步驟）（1）設(shè)

7、一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)x（2）根據(jù)已知條件，用x表示另一些未知數(shù)（3）根據(jù)已知條件的相互關(guān)系，用x的各個(gè)表達(dá)式列方程。2、典型例題【例1】根據(jù)題意列出方程：已知直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長(zhǎng)。 解：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為x1，x，x1（x1），根據(jù)題意，得(x1)2x2(x1)2三、估算一元二次方程的近似解1、方法：列表法首先，利用未知數(shù)的取值，根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2bxc0（a、b、c為常數(shù)，a0）分別計(jì)算ax2bxc的值，在表中找到使ax2bxc可能等于0的未知數(shù)的大致范圍，然后再進(jìn)一步在這個(gè)范圍內(nèi)取值，逐步縮小范圍，直到所要求的精確度為止。2、典型例題【例2】為了綠化學(xué)校校園，需

8、將草皮移植到操場(chǎng)，若矩形操場(chǎng)的長(zhǎng)比寬多14m，操場(chǎng)的面積是3300m2，求綠化后操場(chǎng)的寬的取值范圍。（精確到0.1m）解：設(shè)綠化后操場(chǎng)的寬為x m，則長(zhǎng)為(x14)m，由題意得 x(x14)3300，即x214x33000列表如下：x505152535455x214x330010015132251372495所以x的大致范圍是50x51，且更接近51。列表如下：x50.550.650.750.850.9x214x330042.7531.2419.718.163.41所以x的大致范圍是50.8x50.9。答：操場(chǎng)的寬的取值范圍是50.8mx50.9m。第2節(jié) 用配方法解一元二次方程一、直接開平方

9、法根據(jù)平方根的意義，對(duì)形如(axb)2c（a0，c0）的一元二次方程，兩邊直接開平方求解的方法，叫做直接開平方法?！菊f(shuō)明】對(duì)于一元二次方程(axb)2c（a0）來(lái)說(shuō)：（1）當(dāng)c0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)c0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)c0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。二、配方法1、定義通過(guò)配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法稱為配方法。2、步驟（1）將要解的一元二次方程化為一般形式。（2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)。（3）移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊。（4）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把原方程化成(xm)2n的形式。（5）求解：若n0時(shí)，兩邊

10、同時(shí)開平方便可求出方程的根；若n0，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。【說(shuō)明】配方法解一元二次方程的理論根據(jù)是完全平方公式。 配方法解一元二次方程是以配方為手段，以直接開平方法為基礎(chǔ)。配方法是在二次項(xiàng)系數(shù)為1的前提下進(jìn)行。3、應(yīng)用（1）化簡(jiǎn)二次根式【例1】化簡(jiǎn)二次根式解：（2）因式分解【例2】因式分解x22x3解：原式(x22x1)13(x1)24(x1)2 (x1)2(x3)( x1)（3）求最值【例3】求二次三項(xiàng)式2x23x1的最大值。（4）證明【例4】求證：無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x24x5的值恒大于零。證明：x24x5x24x22225(x2)21(x2)20(x2)210無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x24x5

11、的值恒大于零。第3節(jié) 用公式法解一元二次方程一、一元二次方程的求根公式1、求根公式及其推導(dǎo)過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)用配方法解一元二次方程的基本步驟是相同的。因此，如果能用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)，用含有a、b、c的代數(shù)式表示方程的解，我們只須把a(bǔ)、b、c代入其中，便可得出一元二次方程的解，這樣就會(huì)方便簡(jiǎn)捷得多。一般地，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)來(lái)說(shuō)，因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)a0，所以方2、公式法（1）定義：用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法。（2）步驟把一元二次方程化為一般形式ax2bxc0(a0)，確定a、b、c的值。 求出b24ac的值。 若b24ac0，把a(bǔ)、b、c的值代入

12、求根公式，得到方程的根；若b24ac0，則該方程無(wú)實(shí)數(shù)根。二、一元二次方程的根的判別式對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)來(lái)說(shuō)：當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)b24ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。由此可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況可由b24ac來(lái)判定。我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用希臘字母“”表示。第4節(jié) 用因式分解法解一元二次方程一、因式分解法1、定義當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們可以分別令每個(gè)一次因式等于0，從而求得方程的解，這種解

13、一元二次方程的方法稱為因式分解法。2、理論依據(jù) 如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)為0。 （若a·b0，則a0或b0）3、步驟（1）一移：將方程整理為一般形式ax2bxc0(a0)（2）二分：將方程左邊因式分解，得到兩個(gè)一次因式的乘積。（3）三化：令每個(gè)一次因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程。（4）四解：解所得的兩個(gè)一元一次方程，得到原方程的兩個(gè)根。二、靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?、在一元二次方程的四種解法中，優(yōu)先選取的順序?yàn)椋?直接開平方法 因式分解法 公式法 配方法2、沒(méi)有特殊要求，一般不用配方法，因?yàn)榕浞椒ū容^繁瑣。3、因式分解法用的最多，因?yàn)槠浔容^簡(jiǎn)單、

14、靈活。4、公式法是解一元二次方程的“萬(wàn)能方法”，只要方程有解，就能用公式法來(lái)解。第5節(jié) 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系我們知道，一元二次方程ax2bxc0(a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)有兩個(gè)根：x1， x2于是兩根之和為x1x2兩根之積為這就是著名的韋達(dá)定理，它提示的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！菊f(shuō)明】（1）如果方程x2pxq0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q。（2）以x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x20。第6節(jié) 應(yīng)用一元二次方程1、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵找等量關(guān)系2、列方程解應(yīng)用題的步驟（1）審：審題。分析題中已知什么，求什么。明確各數(shù)量之間

15、的關(guān)系。（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)。一般求什么，就設(shè)什么為x（其他未知數(shù)也可以）。（3）找：找等量關(guān)系。找出能夠表示應(yīng)用題全部題意的一個(gè)等量關(guān)系。（4）列：列方程。根據(jù)所找的等量關(guān)系列出方程。（5）解：解方程。解所列方程，求出未知數(shù)的值。（6）答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位）。第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)第1節(jié) 用樹狀圖或表格求概率一、用樹狀圖法求概率【例1】小明、小凡和小穎都想去看周末電影，但只有一張電影票。三人決定一起做游戲，誰(shuí)獲勝誰(shuí)就去看電影。游戲規(guī)則如下：連續(xù)拋擲兩枚均勻的硬幣，如果兩枚正面朝上，則小明獲勝；如果兩枚反面朝上，則小穎獲勝；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡獲勝。你

16、認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，總共有4種等可能結(jié)果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。其中：小明獲勝的結(jié)果有1種：（正，正），所以P（小明獲勝）；小穎獲勝的結(jié)果有1種：（反，反），所以P（小穎獲勝）；小凡獲勝的結(jié)果有2種：（正，反）（反，正），所以P（小凡獲勝）。因此，這個(gè)游戲?qū)θ耸遣还降?。二、用表格法求概率【?】小剛和小強(qiáng)玩游戲，有兩個(gè)布袋，一個(gè)布袋里裝3黃2白共5個(gè)小球，另一個(gè)布袋里裝有4黃3白共7個(gè)球，兩人各拿一個(gè)布袋，每次各從布袋中取出一個(gè)小球，并規(guī)定：若取出的兩球同色，則小剛得1分；若取出的兩球異色，則小強(qiáng)得1分，你覺(jué)得這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明

17、理由。解：不公平。理由如下：列表格如下：由表格可知，共有35種等可能結(jié)果，其中：兩球同色的結(jié)果有18種，所以P（小剛得1分）；兩球異色的結(jié)果有17種，所以P（小強(qiáng)得1分）；因?yàn)镻（小剛得1分）P（小強(qiáng)得1分），所以這個(gè)游戲不公平。第2節(jié) 用頻率估計(jì)概率一、用頻率估計(jì)概率一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，某一事件發(fā)生的頻率總接近于某個(gè)常數(shù)，且在這個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是這一事件發(fā)生的概率。在一個(gè)試驗(yàn)中有n個(gè)等可能的結(jié)果，而某一事件A中包含其中m個(gè)等可能的結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為(mn)，記為PA?！纠?】一枚木質(zhì)中國(guó)象棋子“兵”，它的正面雕刻一個(gè)“兵”字，它的反面是平的。將它從一定高度下

18、擲，落地反彈后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下。由于棋子兩面不均勻，為估計(jì)“兵”字面朝上的概率，某小組做了棋子下擲試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：試驗(yàn)次數(shù)20406080100120140160“兵”字朝上14384752667788相應(yīng)頻率0.70.450.630.590.550.550.55（1）請(qǐng)將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整。（2）如果將試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，這個(gè)試驗(yàn)的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)概率是多少？解：（1）18；0.52（2）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“兵”字面朝上的頻率逐漸穩(wěn)定在0.55左右，利用這個(gè)頻率來(lái)估計(jì)概率，即估計(jì)P（“兵”字面朝上）0.55二、估計(jì)個(gè)體和總

19、體數(shù)目【例2】一個(gè)口袋中有紅球、白球共10個(gè)，這些球除顏色外都相同。將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有69次摸到紅球，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量。解：設(shè)口袋中有紅球x個(gè)，則有白球（10x）個(gè)，根據(jù)題意，得 解得x7答：口袋中大約有7個(gè)紅球。【例3】王老漢為了與客戶簽訂購(gòu)銷合同，對(duì)自己的魚塘里的魚的總質(zhì)量進(jìn)行估計(jì)。第一次撈出100條，稱得質(zhì)量為184kg，并將每條魚作上記號(hào)放回魚塘中，當(dāng)它們完全混合于魚群中后，又撈出200條，稱得質(zhì)量為416kg，且有標(biāo)記的魚有20條。（1）請(qǐng)你幫王老漢估計(jì)他的魚塘中有多少條魚？（2

20、）請(qǐng)你幫王老漢估計(jì)他的魚塘中的魚的總質(zhì)量是多少？解：（1）設(shè)王老漢的魚塘中有x條魚，根據(jù)題意得 解得 x1000 經(jīng)檢驗(yàn)，x1000是所列分式方程的解答：王老漢的魚塘中大約有1000條魚。（2）帶有記號(hào)的魚的平均質(zhì)量是184÷1001.84kg，20條帶有記號(hào)的魚的質(zhì)量是1.84×2036.8kg，魚塘中魚的平均質(zhì)量為(18441636.8)÷(10020020)2.011kg魚塘中魚的總質(zhì)量為1000×2.0112011kg答：王老漢的魚塘中魚的總質(zhì)量估計(jì)約為2011kg。第四章 圖形的相似第1節(jié) 成比例線段一、兩條線段的比如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩

21、條線段AB，CD的長(zhǎng)度分別是m，n，那么這兩條線段的比就是它們長(zhǎng)度的比，即AB：CDm：n，或?qū)懗?。其中，線段AB，CD分別叫做這個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng)?！菊f(shuō)明】（1）兩條線段的比與所采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)，但要采用同一個(gè)長(zhǎng)度單位。 （2）如果把表示成比值k，那么，所以ABk·CD。二、成比例線段四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段?！菊f(shuō)明】（1）這四條線段是有順序的，其中a和d叫做比例外項(xiàng)，b和c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，d叫做線段a、b、c的第四比例項(xiàng)。（2）如果比例內(nèi)項(xiàng)是相等的，即，那么b叫做線段a、c的比例中項(xiàng)。三

22、、比例的性質(zhì)1、比例的基本性質(zhì)如果，那么adbc；如果adbc（a，b，c，d都不等于0）那么。如果，那么b2ac；如果b2ac（a，b，c都不等于0）那么。2、等比性質(zhì)如果（bdn0），那么。3、合比性質(zhì)如果，那么。4、分比性質(zhì)如果，那么。5、合分比性質(zhì)如果，那么。6、更比性質(zhì)那么（交換內(nèi)項(xiàng)） 如果 那么（交換外項(xiàng)） 那么（內(nèi)項(xiàng)與外項(xiàng)同時(shí)交換） 7、反比性質(zhì)如果，那么。（交換比的前項(xiàng)和后項(xiàng)）第2節(jié) 平行線分線段成比例一、平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。二、平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

23、。第3節(jié) 相似多邊形一、相似多邊形的相關(guān)概念1、相似多邊形的定義各角分別相等、各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。如圖所示的六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1相似。2、相似多邊形的表示方法六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1相似，記作“六邊形ABCDEF六邊形A1B1C1D1E1F1”，“”讀作“相似于”?！菊f(shuō)明】在表示兩個(gè)多邊形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。 全等多邊形是相似多邊形的特殊情況。3、相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。【說(shuō)明】相似比是有順序性的，如果甲、乙兩個(gè)多邊形相似，甲與乙的相似比是m：n，則乙與甲的相似比是n：m。全等

24、多邊形是相似多邊形的特殊情況，特殊之處在于它們的相似比是1：1。二、相似多邊形的性質(zhì)與判定1、相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2、相似多邊形的判定各角分別相等且各邊成比例的兩個(gè)多邊形相似。【說(shuō)明】?jī)蓚€(gè)多邊形相似，必須同時(shí)滿足“各角分別相等”和“各邊成比例”兩個(gè)條件，二者缺一不可。（1）任意兩個(gè)等邊三角形相似嗎？任意兩個(gè)正方形呢？任意兩個(gè)正n邊形呢？ 任意兩個(gè)等邊三角形相似 任意兩個(gè)正方形相似同理可以得到：任意兩個(gè)正n邊形相似。（2）任意兩個(gè)菱形相似嗎？任意兩個(gè)矩形相似嗎？任意兩個(gè)平行四邊形相似嗎？ 任意兩個(gè)菱形不一定相似，它們滿足“各邊成比例”，不一定滿足“各角分別相等”

25、。 任意兩個(gè)矩形不一定相似，它們滿足“各角分別相等”，不一定滿足“各邊成比例。” 任意兩個(gè)平行四邊形不一定相似，它們既不一定滿足“各角分別相等”，也不一定滿足“各邊成比例”。第4節(jié) 探索三角形相似的條件一、相似三角形的相關(guān)概念1、相似三角形的定義 三角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。2、相似三角形的表示方法ABC與A1B1C1相似，記作“ABCA1B1C1”，讀作“ABC相似于A1B1C1”?！菊f(shuō)明】在表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。 相似三角形的形狀相同，但大小不一定相等，全等三角形是相似三角形的特例。二、相似三角形的等價(jià)關(guān)系1、反身性：對(duì)于任

26、意一個(gè)ABC，都有ABCABC；2、對(duì)稱性：若ABCA1B1C1，則A1B1C1ABC；3、傳遞性：若ABCA1B1C1，且A1B1C1A2B2C2，則ABCA2B2C2。三、相似三角形的判定1、定義法：三角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似。2、平行法相似三角形的基本定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、定理法（1）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。（2）兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。（3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似?！菊f(shuō)明】如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形

27、相似。在兩個(gè)直角三角形中，如果有一組銳角相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似。直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似，且都與原直角三角形相似。如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。如果兩個(gè)等腰三角形的底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。四、黃金分割1、黃金分割的相關(guān)概念如圖1所示，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比?！菊f(shuō)明】如圖2所示，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，BC與AB的比叫做黃金比。所以一條線段的黃金分

28、割點(diǎn)有兩個(gè)。理解黃金分割，關(guān)鍵是明確三條線段之間的比例關(guān)系，即“大：全小：大”。2、計(jì)算黃金比3、作黃金分割（1）如圖3所示，已知線段AB，采用如下方法可以得到線段AB的黃金分割點(diǎn)。 （2）如圖4所示，已知線段AB，采用如下方法可以得到線段AB的黃金分割點(diǎn)。以線段AB為邊作正方形ABCD取AB的中點(diǎn)E，連接BE延長(zhǎng)DA至F，使EFEB以線段AF為邊作正方形AFGH，則點(diǎn)H就是線段AB的黃金分割點(diǎn)你能說(shuō)明其中的道理嗎？第5節(jié) 相似三角形判定定理的證明一、證明定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。已知：如圖1所示，在ABC和ABC中，AA，BB求證：ABCABC二、證明定理2：兩邊成比例且夾角相等

29、的兩個(gè)三角形相似。已知：如圖2所示，在ABC和ABC中，AA，求證：ABCABC三、證明定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。已知：如圖3所示，在ABC和ABC中，求證：ABCABC證明：在ABC的邊AB、AC上分別截取ADAB，AEAC，連接DE 又AA ABCADE（兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似） DEBC 又ADAB，AEAC ADEABC ABCABC第6節(jié) 利用相似三角形測(cè)高一、利用陽(yáng)光下的影子測(cè)高如圖1所示，每個(gè)小組選一名同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處，其他人分為兩部分，一部分測(cè)量該同學(xué)的影長(zhǎng)，另一部分同學(xué)測(cè)量同一時(shí)刻旗桿的影長(zhǎng)。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。解

30、：太陽(yáng)光線是平行的，即ACDEDECACB人與旗桿是垂直于地面的DCEABC90°DCEABC 即因此只要測(cè)出a、b、h的值，就能求出旗桿的高度x。二、利用標(biāo)桿測(cè)高如圖2所示，每小組選一名同學(xué)作為觀測(cè)者，在觀測(cè)者與旗桿之間的地面上直立一根高度適當(dāng)?shù)臉?biāo)桿。觀測(cè)者適當(dāng)調(diào)整自己所處位置，使旗桿頂端、標(biāo)桿頂端與自己眼睛恰好在同一條直線上，這時(shí)其他同學(xué)立即測(cè)出觀測(cè)者的腳到旗桿底端的距離，以及觀測(cè)者的腳到標(biāo)桿底端的距離，然后測(cè)出標(biāo)桿的高度。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：過(guò)點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H，交EF于點(diǎn)G，則CHEF，CGDFd1，CHDBd2，HBGFCDa，EGEFGF

31、ba，AHABBHxaEGCAHC90° ECGACH EGCAHC 即因此只要測(cè)出a、b、d1，d2的值，就能求出旗桿的高度x。三、利用鏡子的反射測(cè)高如圖3所示，每個(gè)小組選一名同學(xué)作為觀測(cè)者，在觀測(cè)者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，觀測(cè)者看著鏡子來(lái)回移動(dòng)，直至看到旗桿的頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合為止。這時(shí)其他同學(xué)立即測(cè)出觀測(cè)者的腳部與鏡子上的標(biāo)記之間的距離，以及旗桿底端與鏡子上的標(biāo)記之間的距離。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出旗桿的高度嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：過(guò)點(diǎn)O作OMBD于點(diǎn)O，則DOMBOM90° 入射角等于反射角，即COMAOM CODAOB人與旗桿

32、是垂直于地面的CDOABO90° CDOABO 即因此只要測(cè)出a、b、h的值，就能求出旗桿的高度x。第7節(jié) 相似三角形的性質(zhì)一、相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。3、相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方?！菊f(shuō)明】（1）相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。（2）如圖所示，在RtABC中，ACB90°，CD是斜邊AB上的高。二、相似多邊形的性質(zhì)1、相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2、相似多邊形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。3、相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似

33、比的平方。第8節(jié) 圖形的位似一、位似多邊形的相關(guān)概念一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)P、P所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O，且有OPkOP（k0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心。實(shí)際上k就是這兩個(gè)相似多邊形的相似比，在這里叫做位似比。二、位似多邊形的四種基本模式3、位似中心在圖形的外部，如圖所示。4、位似中心在圖形的內(nèi)部，如圖所示。三、位似多邊形的性質(zhì)1、位似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2、位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行（或在一條直線上）。3、位似多邊形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比?！菊f(shuō)明】位似多邊形一定相似，但相似多邊形不一定位似。四、平面直角坐標(biāo)系中

34、的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k(k0)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比是|k|。第五章 投影與視圖第1節(jié) 投影一、投影的相關(guān)概念在日常生活中，我們可以看到各種各樣的影子。比如，太陽(yáng)光照射到窗框、長(zhǎng)椅等物體上時(shí)，會(huì)在墻壁或地面上留下影子；而皮影和手影都是在燈光照射下形成的影子。物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。影子所在的平面稱為投影面。二、投影的分類1、中心投影手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。如圖1所示，就是中心投影。2、平行投影太陽(yáng)

35、光線可以看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影，如圖2所示，都是平行投影。其中所示的平行光線傾斜于投影面，稱為斜投影；所示的平行光線垂直于投影面，稱為正投影。三、投影的性質(zhì)1、中心投影的性質(zhì)物體上的點(diǎn)和投影上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)（即點(diǎn)光源所在位置）。2、平行投影的性質(zhì) （1）物體上的點(diǎn)和投影上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)互相平行或重合。（2）同一時(shí)刻，在平行光線下，互相平行的物高和影長(zhǎng)成正比?！菊f(shuō)明】等高的物體垂直于地面放置時(shí)，在同一時(shí)刻的平行光線下，它們的影長(zhǎng)相等。 等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，在同一時(shí)刻的平行光線下，它們的影長(zhǎng)相等，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度。四、投影的應(yīng)用1、中心投影的應(yīng)用（1）根

36、據(jù)燈光下兩種或兩種以上物體及影子的情況判斷燈的位置?！纠?】確定圖1中燈泡的位置。解：如圖2所示，過(guò)一根木桿的頂端及其影子的頂端畫一條直線，再過(guò)另一根木桿的頂端及其影子的頂端畫一條直線，兩條直線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為路燈燈泡所在的位置。（2）已知燈的位置會(huì)畫出物體在燈光下的影子?！纠?】根據(jù)燈泡的位置在圖中畫出表示婷婷影子的線段。（3）利用中心投影的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題【例3】如圖所示，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1m，繼續(xù)往前走3m到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2m，已知他的身高是1.5m，求路燈A的高度AB是多少。解：由題意知，CD1m，CE3m，DE2m，EF2m，G

37、CHE1.5m當(dāng)王華在CG處時(shí)，RtDCGRtDBA，所以當(dāng)王華在HE處時(shí)，RtFEHRtFBA，所以答：路燈A的高度AB為6m。2、平行投影的應(yīng)用【例4】如圖1所示，朝陽(yáng)市第二十二中學(xué)墻邊有甲、乙兩根木桿，如果乙木桿的影子剛好不落在墻上，AB5m，BC3m。（1）請(qǐng)你畫出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影。（2）若同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6m，請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng)。3、中心投影與平行投影的綜合應(yīng)用【例5】如圖所示是兩棵小樹在同一時(shí)刻的影子，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成樹影的光線，它們是太陽(yáng)的光線還是燈光的光線？為什么？答：如圖所示，過(guò)一棵樹的頂端及其影子的頂端畫一條直線，再過(guò)另一棵樹的頂端及其影子的頂端畫一條直

38、線，兩條直線交于一點(diǎn)，所以它們是燈光的光線。第2節(jié) 視圖一、視圖及其分類用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖。在實(shí)際生活和工程中，人們常常從正面、左面和上面三個(gè)不同的方向觀察一個(gè)物體，分別得到這個(gè)物體的三個(gè)視圖，就把一個(gè)物體的形狀特征用平面圖形表示出來(lái)了。通常我們把從正面得到的視圖叫做主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖。如圖所示，即為某物體的三視圖?！菊f(shuō)明】在三種視圖中，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高，俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬。因此在畫三種視圖時(shí)，對(duì)應(yīng)部分的長(zhǎng)度要相等，而且通常把俯視圖畫在主視圖下面，把左視畫在主視圖右面。主視圖與俯

39、視圖的長(zhǎng)相等；主視圖與左視圖高相等；左視圖與俯視圖的寬相等。二、物體的三視圖1、常見幾何體的三視圖名稱幾何體主視圖左視圖俯視圖正方體長(zhǎng)方體圓柱圓錐正四棱錐球【說(shuō)明】在所有幾何體中，只有正方體和球的三種視圖是完全相同的。 圓錐的俯視圖中有一個(gè)點(diǎn)表示圓錐的頂點(diǎn)。2、簡(jiǎn)單組合體的三視圖（1）簡(jiǎn)單組合體：由柱、錐、臺(tái)、球等基本幾何體形成的組合體。（2）具體畫法：將具體實(shí)物合理地抽象成簡(jiǎn)單組合體，再將簡(jiǎn)單組合體分解成單個(gè)幾何體，然后畫出三種視圖?！纠?】將兩個(gè)圓盤，一個(gè)茶葉桶，一個(gè)皮球和一個(gè)蒙古包模型按如圖所示的方式擺放在一起，其主視圖為（D）三、根據(jù)三種視圖判斷幾何體的形狀【例2】根據(jù)圖1所給三視圖，

40、畫出幾何體的草圖。解：幾何體的草圖如圖2所示。第六章 反比例函數(shù)第1節(jié) 反比例函數(shù)一、反比例函數(shù)的概念一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成（k為常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。其中x是自變量，y是因變量?！菊f(shuō)明】（1）因?yàn)榉质降姆帜覆荒転?，所以自變量x的取值范圍是x0。（2）因?yàn)閗0，x0，所以y的取值范圍是y0。（3）反比例函數(shù)的解析式還可以寫成和xyk的形式。二、反比例函數(shù)表達(dá)式的確定由于反比例函數(shù)的表達(dá)式中只有一個(gè)待定系數(shù)k，因此只需要一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或一對(duì)對(duì)應(yīng)的x、y的值，即可求出k的值，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)的表達(dá)式為（k為常數(shù)，k0）（2）把一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或一對(duì)對(duì)應(yīng)的x、y的值代入其中，建立關(guān)于k的一元一次方程。（3）解得k的值。（4）把k的值代入中，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。第2節(jié) 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、反比例函數(shù)的圖象1、圖象的畫法描點(diǎn)法（1）列表：自變量x的取值應(yīng)以0為中心（不包括0），在0的兩邊取三對(duì)以上的相反數(shù)，再分別計(jì)算出相應(yīng)的y值。（2）描點(diǎn)（3）連線：按光滑的曲線順次連接各點(diǎn)2、圖象的特征反比例函數(shù)的圖象是由兩支曲線組成的，通常稱為雙曲線。當(dāng)k0時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象