1、向量、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積·典型例題精析 例1 判斷下列命題的真假：(3)R，則|a|a|(4)平面內(nèi)任意三個(gè)向量中的每一個(gè)向量都可以用另外兩個(gè)向量的線性組合表示【分析】 本題涉及平行向量(共線向量)、向量的加法、平面向量基本定理、向量的模、實(shí)數(shù)與向量的積等重要概念、運(yùn)算及定理學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)注意這些定義、定理、法則的條件和結(jié)論使用時(shí)，注意借用平面向量的幾何表示，利用圖形直觀分析【解】 四個(gè)命題均是錯(cuò)誤的命題(1)涉及對(duì)平面向量與共線向量的理解由于我們研究的向量是自由向量，故任何一組平行向量均可移到同一條直線因此平行向量就是共線向量，這與平面幾何中所研究的直線或線段的

2、平行、共線有區(qū)別平面幾何中平行與共線是指兩種不同的位置關(guān)系，故這里所說的 與 共線，不能保證A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在一條直線上所以命題(1)是不正確的命題(2)中的 =0，有A，B，C三點(diǎn)共線與不共線兩種情形如圖513和圖514所示因此，由 =0不能保證A，B，C三點(diǎn)一定共線故命題(2)不正確但應(yīng)提醒，命題(2)的逆命題是真命題，即若A，B，C三點(diǎn)共線，則 =0命題(3)是比較實(shí)數(shù)與向量a的乘積所得向量a與a的模的大小當(dāng)a0時(shí)，|1，|a|a|當(dāng)a=0時(shí)，不論為何實(shí)數(shù)，|a|a|=0僅當(dāng)|1，且a0時(shí)，|a|a|故命題(3)也不正確命題(4)涉及平面向量基本定理，作為表示平面向量的一組基底必須是

3、不共線的兩個(gè)向量，才能保證平面內(nèi)任何一個(gè)向量的線性組合形式存在而且唯一忽略了不共線的條件，其結(jié)論可能不存在，或雖然存在但不唯一如圖515和圖516所示，e1與e2是共線向量，而a與它們不共線，a無(wú)法用e1與e2的線性組合表示若e1與e2是共線向量，a與它們也共線，則a關(guān)于e1與e2的線性組合形式不唯一如圖517，其中e2=e1， =a=2e1那么a=e1e2，a=3e1e2，a=2e2，形式不唯一，故命題(4)也是不正確的正確的表述應(yīng)為，平面內(nèi)互不共線的三個(gè)向量中的每一個(gè)向量都可以用另外兩個(gè)向量的線性組合表示例2 回答下列問題，并說明理由(1)平行向量的方向一定相同嗎？(2)共線向量一定相等嗎

4、？(3)相等向量一定共線嗎？不相等的向量一定不共線嗎？【解】 (1)平行向量的方向不一定相同，就平行向量的概念來(lái)講，它是就向量的方向這一要素來(lái)定義的，它有方向相同和相反兩種不同的情況因此，兩個(gè)向量方向相同和相反均視為平行從邏輯知識(shí)上考慮，方向相同是向量平行的充分而不必要條件(2)不一定共線向量就是平行向量，只要保證方向相同或相反，它們就共線，對(duì)向量模的大小沒有要求(3)相等必共線，共線未必相等，不相等的可以是不共線的，也可以是共線的在判斷向量是否相等時(shí)，應(yīng)明確，不共線的肯定不相等，就是共線了，還要考慮它們的方向是否相同，模是否相等例3 化簡(jiǎn)下列各式：【解】【說明】 向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量

5、的積的運(yùn)算并不困難但運(yùn)算的途徑很多，十分靈活，正確使用運(yùn)算律可以使運(yùn)算大大簡(jiǎn)化如果對(duì)向量的加、減法有更深刻的理解，那么可以創(chuàng)造許多巧妙的算法前面提到平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以寫成兩個(gè)或更多個(gè)向量的和，任何一個(gè)向量也可以寫成兩個(gè)向量的差，運(yùn)用這些結(jié)論，上面題目又有新的解法例4 在正六邊形ABCDEF中， =a， =b，求 ， ， 【分析】 由平面幾何的知識(shí)可以知道，正六邊形的各邊長(zhǎng)相等，相對(duì)的邊平行且相等，邊長(zhǎng)與其半徑也相等應(yīng)用平行向量及相等向量的知識(shí)、向量的加法運(yùn)算等，容易用a及b表示所求的向量因?yàn)?而 ，所以求 是關(guān)鍵【解法一】 如圖518，連結(jié)FC交AD于O，連結(jié)OB，由平面幾何知識(shí)得四邊形

6、ABOF、四邊形ABCO均是平行四邊形根據(jù)向量的平行四邊形法則，有在平行四邊形ABCO中，又由于據(jù)向量加法的三角形法則，可得由正六邊形的知識(shí)，有【解法二】【說明】 此題解法很多，關(guān)鍵是充分利用正六邊形中線段的相等、平行關(guān)系，結(jié)合平行向量、相等向量的概念，向量的加、減運(yùn)算及實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算，變形求解例5 在平行四邊形ABCD中， a， b，求 ， 【解法一】 利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，得【解法二】將 ， 視為未知量，利用向量的加法、減法運(yùn)算法則，建立聯(lián)立方程組，得，得例6 如圖5110所示，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O點(diǎn)，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)【分析】 注意到O是AC，B

7、D的中點(diǎn)， 與 ， 與 互為相反向量【證法一】 O為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)， ，得【證法二】 O為平行四邊形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)， O為AC及BD的中點(diǎn)【說明】 后面將學(xué)習(xí)平面向量的坐標(biāo)表示及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，我們將可用計(jì)算向量坐標(biāo)的方法，證明此結(jié)論設(shè) A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)，P(p1，p2)，O(o1，o2)，則 (a1b1c1d14p1，a2b2c2d24p2) O為AC及BD的中點(diǎn)， =(4o14p1，4o24p2)(2o12o14p1，2o22o24p2)(a1b1c1d14p1，a2b2c2d24p2)例7 已知O為

8、原點(diǎn)，A，B，C為平面內(nèi)三點(diǎn)，求證A，B，C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是 = ，且，R，=1【證明】 必要性設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則 與 共線于是存在實(shí)數(shù)，使= 令，1=，有(1)=1， = ，且=1充分性若 = ，且=1，則=(1) ，= ( )， =( )， = ，R 與 共線而A為 與 的公共端點(diǎn)， A，B，C三點(diǎn)在一條直線上【說明】 在證明必要性時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線還可用 =k ， =k 表示本題的結(jié)論還可有更一般的形式：A，B，C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)h，k，l，使且hkl1，l，k，h中至少有一個(gè)不為0例8 如圖5111，設(shè)平行四邊形ABCD一邊AB的四等分點(diǎn)中最靠

9、近B的一點(diǎn)為E，對(duì)角線BD的五等分點(diǎn)中靠近B的一點(diǎn)為F，求證E，F(xiàn)，C三點(diǎn)在一條直線上【分析】 據(jù)例7的結(jié)論，只要證得三個(gè)向量 存在著關(guān)系式 ，=1即可【證法一】 四邊形ABCD是平行四邊形， E為BA的靠近B的四等分點(diǎn)，F(xiàn)為BD的靠近B的五等分點(diǎn)，由例7的結(jié)論可知，E，F(xiàn)，C三點(diǎn)在一條直線上【證法二】在 ABCD中，已知E為BA的靠B的四等分點(diǎn)，F(xiàn)為BD的靠近B的五等分點(diǎn)， E，F(xiàn)，C三點(diǎn)在一條直線上例9 如圖5112，在平行四邊形PQRS中，在PQ，QR，RS，SP上分別取點(diǎn)K，L，M，N，其中K與N分別為PQ與PS【分析】 本題是求以q，s為一組基底的a的線性分解式由于線性分解式(也含參數(shù))由于 關(guān)于基底q，s的分解式的唯一性，就可得到含參數(shù)的兩個(gè)方程，解出參數(shù)值，問題得到解決另一種思路是，據(jù)N，A，L三點(diǎn)共線，而K，A，M三點(diǎn)也共線，由例7的結(jié)論，也能得到兩個(gè)關(guān)系式，