1、4-2設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)在s平面上的分布如圖4-15所示，試?yán)L制根軌跡草圖。0000jjjj0j0j0j0j圖4-15 題4-2圖解：0000jjjj0j0j0j0j2、3、4曲線部分可以證明為一段圓弧5、6、7不會(huì)從開環(huán)極點(diǎn)直接垂直向上（下），根據(jù)漸近線的交點(diǎn)及出射角必然有圖示的起始形狀4-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制當(dāng)增益K1變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖。（1）.（2）.解：（1）. 開環(huán)極點(diǎn)為無有限開環(huán)零點(diǎn)。示如圖0j-2-5j3.16-0.88-2.33-j3.16根軌跡圖應(yīng)按正式作圖進(jìn)行，一般根軌跡應(yīng)表示出和虛軸的交點(diǎn)（如果有的話）應(yīng)根據(jù)根軌跡的八條規(guī)則逐條進(jìn)行計(jì)算分析法

2、則2：有三條趨向無窮的根軌跡。法則3：實(shí)軸上的根軌跡：0-2，-5-。法則4：漸近線相角：法則5：漸近線交點(diǎn)：，得漸近線如圖示。法則6：分離點(diǎn)：得：，其中為實(shí)際分離點(diǎn)，分離角為：。如圖示。法則8：虛軸交點(diǎn)：令代入特征方程，得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。（2）.0j-1+j3-2-1-j3-5.16曲線部分為圓弧，所有的數(shù)據(jù)應(yīng)該在圖上標(biāo)出根據(jù)規(guī)則逐條進(jìn)行計(jì)算分析開環(huán)極點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)為。示如圖法則2：有1條趨向無窮的根軌跡。法則3：實(shí)軸上的根軌跡： -2-。法則6：分離點(diǎn)：得：，其中為實(shí)際分離點(diǎn)，分離角為：。如圖示。法則7：出射角：得法則1：對(duì)稱性可得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。4-9

3、已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為【試?yán)L制當(dāng)增益K1變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖，并求：】（1） 系統(tǒng)無超調(diào)的K1值范圍。（2） 確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K1值，并求此時(shí)的振蕩頻率（3） 【判斷s=-1.5+j3.12是否在根軌跡上？若在，求另外兩個(gè)根及對(duì)應(yīng)的K1值。（4） 閉環(huán)極點(diǎn)都在=-1左側(cè)的K1值范圍?！考t色字體為第二次印刷增加的內(nèi)容解：開環(huán)極點(diǎn)為漸近線相角：漸近線交點(diǎn)：。分離點(diǎn)：得：，其中為實(shí)際分離點(diǎn)，此時(shí)。分離角為：虛軸交點(diǎn)：令代入特征方程，得： 0j-5-4.67-9-2.06-j6.7j6.7-1根軌跡圖應(yīng)按正式作圖進(jìn)行，一般根軌跡應(yīng)表示出和虛軸的交點(diǎn)（如果有的話）畫系統(tǒng)的根軌跡，如

4、圖示。由根軌跡圖可得：（1） 系統(tǒng)無超調(diào)的K1值范圍為保持所有根軌跡在負(fù)實(shí)軸時(shí)（分離點(diǎn)之前的部分），即。（2） 確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K1值為與虛軸交點(diǎn)時(shí)，即。此時(shí)的振蕩頻率為無阻尼自然頻率，即閉環(huán)極點(diǎn)的虛部：。（3） 【若s=-1.5+j3.12在根軌跡上，則應(yīng)滿足相角條件如果將其代入增益函數(shù)內(nèi)，則易出現(xiàn)由于計(jì)算誤差而發(fā)生K1有虛部而被判定不在根軌跡上。即G(s)H(s)=180(2q+1).所以滿足相角條件，是在根軌跡上。由于復(fù)數(shù)根應(yīng)共軛，所以另外一個(gè)根為：s2又由于分子的階次低于分母的階次超過了二階，所以閉環(huán)特征方程的根的和應(yīng)等于開環(huán)極點(diǎn)的和。即：s+s2+s3=0+(-5)+(-9)

5、=-14得第三個(gè)根為： s3=-14-s-s2=-11根據(jù)幅值條件可得此時(shí)對(duì)應(yīng)的K1值為： （4） 由根軌跡圖可知，在-9左邊的一條根軌跡的實(shí)部在整個(gè)K1的取值范圍內(nèi)均滿足實(shí)部小于-1在實(shí)軸0,-5之間存在一個(gè)最小的K1，其值為當(dāng)s=-1時(shí)的值。即：另外在復(fù)平面上還有一個(gè)最大的K1，其閉環(huán)極點(diǎn)為s1,2=-1j,此時(shí)對(duì)應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)s3=-14-s1-s2=-12也可以將s12直接代入求得根據(jù)幅值條件可得此時(shí)對(duì)應(yīng)的K1值為：即閉環(huán)極點(diǎn)都在=-1左側(cè)的K1值范圍為：】還可采用第三章作業(yè)中一道類似題目的解法進(jìn)行求解4-10 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1） 試?yán)L制根軌跡的大致圖形，并對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。（2） 若增加一個(gè)零點(diǎn)z=-1，試問根軌跡圖有何變化，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何影響。解：（1） 畫系統(tǒng)的根軌跡，如圖紅線所示。0j-1-0.67應(yīng)寫出根軌跡的作圖過程根據(jù)分離角可知給軌跡從原點(diǎn)出發(fā)離開實(shí)軸時(shí)的方向垂直實(shí)軸。兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)重合時(shí)，可用它們之間有一無窮小的距離，按根軌跡的規(guī)則進(jìn)行同樣的計(jì)算分析如果零點(diǎn)在極點(diǎn)的左邊（ -2）時(shí)又如何？其中：漸近線相角：漸近線交點(diǎn)：。分離點(diǎn)在原點(diǎn)處，分離角為：。可見系統(tǒng)除在K1=0時(shí)處于臨界穩(wěn)定之外，系統(tǒng)均處于不穩(wěn)定狀態(tài)。（2） 增加一個(gè)零點(diǎn)z=-1后的根軌跡如圖藍(lán)線所示。其中：漸近線相角：漸近線交點(diǎn)：。分離點(diǎn)在原點(diǎn)