1、20、 層次分析法一、概述層次分析法 （Analytic Hierarchy Process, AHD） 就是將要決策的問(wèn) 題及其有關(guān)因素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次,進(jìn)而進(jìn)行定性與定量分析的決策方法。 它的特征就是合理地將定性與定量決策結(jié)合起來(lái) 按照思維、心理的規(guī)律把決策過(guò)程細(xì)致化 （層次化、數(shù)量化 ）。層次分析法廣泛地應(yīng)用到處理復(fù)雜的決策問(wèn)題,而決策就是基于該方法計(jì)算出的權(quán)重 ,所以也常用來(lái)確定指標(biāo)的權(quán)重。層次分析法的基本思路與人們對(duì)一個(gè)決策問(wèn)題的思維、判斷過(guò) 程大體上就是一樣的。例如 ,選購(gòu)一臺(tái)筆記本電腦 ,假設(shè)有三種不同品 牌款式的筆記本電腦 A、B、C 供選擇。我們一般會(huì)根據(jù)價(jià)格、外

2、觀、 重量、用途、功耗、品牌等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較這個(gè)三個(gè)候選。 首先 , 會(huì)確定這些準(zhǔn)則在自己心目中各占多大比重,不同的人這種比重會(huì)有很大差異 （喜歡玩游戲的人瞧重硬件性能與散熱、預(yù)算有限的人瞧重 價(jià)格等）。其次，還會(huì)就每一個(gè)準(zhǔn)則將A、B、C進(jìn)行對(duì)比，比如A最便 宜,B次之;C性能最好,B次之;C的品牌最知名等。最后,將這兩個(gè)層次 的比較判斷進(jìn)行綜合 ,在 A、 B、 C 中確定一臺(tái)作為最符合自己需求的 電腦。、算法步驟1、將問(wèn)題條理化、層次化 ,建立層次結(jié)構(gòu)模型1）最高層（目標(biāo)層）只有一個(gè)元素 :決策目標(biāo) ;2）中間層（準(zhǔn)則層）考慮的因素，決策的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則；3）最底層（方案層）決策時(shí)的備選

3、方案、措施。層次分析法要解決的問(wèn)題就是，求出最底層對(duì)最高層的相對(duì)權(quán)重, 以此對(duì)最底層的方案、措施進(jìn)行排序，選擇最優(yōu)方案。注1:為了避免兩兩比較判斷過(guò)于復(fù)雜，每層次中各元素所支配的 元素一般不要超過(guò)9個(gè)，否則應(yīng)劃分為若干子層；注2:層次分析法只考慮相鄰兩個(gè)層次間自上向下的支配作用，認(rèn) 為同一層次的元素間相互獨(dú)立，若考慮進(jìn)來(lái)需要網(wǎng)絡(luò)分析法（ANP）。例如前文提到的選購(gòu)筆記本電腦的決策模型，可以建立如下的層tine,電譎q電IMG次結(jié)構(gòu)：方次窈（捕腐to2、構(gòu)造判斷矩陣（成對(duì)比較矩陣）構(gòu)造好層次模型后，針對(duì)某一層來(lái)講，在比較第i個(gè)元素與第j個(gè)元 素相對(duì)于上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對(duì)權(quán)重

4、aj來(lái)表 示，假設(shè)共有n個(gè)元素參與比較，則矩陣aana1稱(chēng)為判斷矩陣（或成對(duì)比較矩陣）Saat y根據(jù)絕大多數(shù)人認(rèn)知事物的心理習(xí)慣，建議用19及其倒數(shù) 作為標(biāo)度來(lái)確定aj的值。« 11 * J標(biāo)虞含義i比/強(qiáng)的1357其中,2, 4, 6, 8分別介于1,3, 5, 7, 9對(duì)應(yīng)的重要程度之間。顯然,A中的元素滿足：i) aij> 0;ii) aji = 1/aj； iii) m =1稱(chēng)為正互反矩陣。例如，選購(gòu)筆記本電腦模型中，可以根據(jù)實(shí)際三臺(tái)電腦的重量得到 電腦對(duì)準(zhǔn)則層Bs的判斷矩陣(aj可以取筆記本電腦j與i的重量之比, 重量越輕越好):11/31/5ABc313/555/

5、313、層次單排序及判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)通常用特征根法從判斷矩陣導(dǎo)出，單一準(zhǔn)則下元素相對(duì)排序權(quán)重。定義若n階正互反矩陣 佝斤n滿足aikakj = aj(對(duì)應(yīng)aj二Wi/Wj,故需要 aikakj =(wi/wk)/(wwj) = aj),則稱(chēng)(aj)n“ 為一致性矩陣。成對(duì)比較的不一敢情況11/24A 2也二2弘二 4（d）'不一致一致比較匚二=s（c：q）允許不一致，但要確定不致的允許范圍特征根法的基本思想就是，當(dāng)正互反矩陣（aj）nxn為一致性矩陣時(shí), 對(duì)應(yīng)于判斷矩陣的最大特征根九ax的特征向量，經(jīng)歸一化后（使向量中各元素之與等于1）即為排序權(quán)向量，記為W, W的元素為同一層次因

6、素 對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱(chēng)為層次單排 序。能否進(jìn)行層次單排序，就瞧判斷矩陣就是否為一致性矩陣，有如下 定理：定理n階正互反矩陣A為一致性矩陣的充要條件就是,A的最大 特征值hax = n、在實(shí)際操作中，由于客觀事物的復(fù)雜性以及人們對(duì)事物判斷比較 時(shí)的模糊性，很難構(gòu)造出完全一致的判斷矩陣。因此,Satty在構(gòu)造層次分析法時(shí)，提出了一致性檢驗(yàn),所謂一致性檢驗(yàn)就是指判斷矩陣允許有 一定不一致的范圍。一致性檢驗(yàn)步驟如下：1）計(jì)算判斷矩陣A的最大特征值 hax；2) 求出一致性指標(biāo)(Consistencey Index):C.I.maxn 1C、I、=0表示完全一致，C、I、

7、越大越不一致;3) 用隨機(jī)模擬取平均的方法，求相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R、I、,或者直接用Satty模擬1000次得到的R、I、表：C.R.=C.I.R.I.345«7R, 1,認(rèn)90L 12L 32£1011RJ.L 451.49I. S)L 54L564)計(jì)算一致性比率:5)判斷，當(dāng)C、R、0、1時(shí),認(rèn)為判斷矩陣A有滿意的一致性；若C、 R、0、1,應(yīng)考慮修正判斷矩陣 A、4、計(jì)算各元素對(duì)目標(biāo)層的合成權(quán)重(層次總排序)為了實(shí)現(xiàn)層次分析法的最終目的，需要從上而下逐層進(jìn)行各層元 素對(duì)目標(biāo)合成權(quán)重的計(jì)算。設(shè)已計(jì)算出第k-1層nk_1個(gè)元素相對(duì)于目標(biāo)的合成權(quán)重為：(k 1)/

8、k 1 k 1k 1、 Tw (W1 ,W2 , ,Wnk1)再設(shè)第k層的nk個(gè)元素關(guān)于第k-1層第j個(gè)元素(j= 1,nk-1)的單一準(zhǔn) 則排序權(quán)重向量為：uk (u1(k),u2k)j|,unk)T上式對(duì)k層的nk個(gè)元素就是完全的，若某些元素不受k-1層第j個(gè)元素支配，相應(yīng)位置用0補(bǔ)充，于就是得到nkX nk-1階矩陣:(k)U11u（k）(k)U21(k)U12(k)U22(k)U2nk 1(k) nk 2w(k)(k)w(k 1)按遞歸展開(kāi)得寫(xiě)成分量形式為w(k)U(k)U(k1)|Uw(2)(k)nk1從而可以得到第k層的nk個(gè)元素關(guān)于目標(biāo)層的合成權(quán)重向量nk i(k)(k) (k

9、1)WiUij Wj, i 1,|,nkj 1各層元素對(duì)目標(biāo)層的合成排序權(quán)重向量就是否可以滿意接受，與單一準(zhǔn)則下的排序問(wèn)題一樣，需要進(jìn)行綜合一致性檢驗(yàn)設(shè)A層的垛令怖標(biāo)分娜為一致性撈標(biāo)U L 機(jī)一致性指標(biāo)R. I. ", 一致性比牢 c-R'113 -再設(shè)以第斥上第J元It為準(zhǔn)則的一S性指標(biāo)為C L嚴(yán)，平均一致性描標(biāo)為 K. L嚴(yán)么C. 1,111 = g LWh t I. W”=E 訶 i©L：J IR- L = (R. LJtR* h* 嚴(yán)n利用式（】111）軸式Hl綜書(shū) 燉性比辜當(dāng)C、R、（k）v 0、1時(shí),則認(rèn)為層次結(jié)構(gòu)在第k層以上的判斷具有整體滿意的一致性。

10、注:實(shí)際應(yīng)用中，整體一致性檢驗(yàn)常不予進(jìn)行。主要原因就是,整體 考慮十分困難；其次若每個(gè)單一準(zhǔn)則下的判斷矩陣具有滿意的一致性 而整體達(dá)不到滿意的一致性時(shí)，調(diào)整起來(lái)非常困難。另外，整體一致性 的背景也不如單一準(zhǔn)則下的背景清晰，它的必要性有待進(jìn)一步研究。三、Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)層次分析法的Matlab函數(shù):ahp mfun ctio nW,ahpResu It = ahp(C)%層次分析法%0為n x 1的元胞數(shù)組,存儲(chǔ)整個(gè)層次模型結(jié)構(gòu)：第2層對(duì)第1層、第3層對(duì)第2層、第n+1層對(duì)第n層%假設(shè)第k層有m_k個(gè)元素，從左到右依次編號(hào)1,、，m_k%Ck也就是元胞數(shù)組，k=1,、,n%Ck1,j存儲(chǔ)受第

11、j元素支配的第k+1層各元素的判斷矩陣(j=1,2,、，m_k)%Ck2,j 存儲(chǔ)第k+1層各兀素就是否受第k層第j兀素支配的(m_k+1)*1的邏輯數(shù)組,1表示支配,0表示不受支配%W!回方案層對(duì)目標(biāo)層的最終權(quán)重向量%ahpResult為n x 1的元胞數(shù)組，存儲(chǔ)層次分析過(guò)程各層的結(jié)果信息，ahpResultk 也就是元胞數(shù)組%ahpResultk1,j 返回第k+1層所有元素相對(duì)第k層j元素的權(quán)重向量，第k+1層元素不受第k層j元素支配的權(quán)重為0%ahpResultk2,j 返回第k+1層所有元素相對(duì)于第k層第j元素的判 斷矩陣的最大特征值 斷矩陣的一致性比率 C、R、RI=0 0 0 、

12、58 0 、90 1 、12 1 、24 1 、32 1 、41 1 、45 1 、49 1 、 51; % 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)n = length(C);%得到C的長(zhǎng)度n,于就是知道模型總層數(shù)為n+1ahpResult = cell(n,1);% '存儲(chǔ)各層結(jié)果信息for k = 1:nm_k = size(Ck,2);% k 層的元素個(gè)數(shù)ahpResultk = cell(m_k,1);for kk = 1:m_k%求第k+1層各元素對(duì)第k層kk元素的成對(duì)比較矩陣的特征值與特征向量 V,D = eig(Ck1,kk);maxD,ind = max(diag(D);% 求最大特征值與

13、其位置%為存儲(chǔ)第k+1層所有元素相對(duì)k層kk元素的權(quán)重預(yù)留出空間,長(zhǎng)度應(yīng)等于Ck2,kk 的長(zhǎng)度ahpResultk1,kk = zeros(length(Ck2,kk),1); %將相應(yīng)正互反矩陣屬于最大特征值的特征向量歸一化后賦給ahpResultk1,kk 中相應(yīng)位置% 這些位置由邏輯數(shù)組 Ck2,kk 決定ahpResultk1,kk(Ck2,kk) =V(:,ind)/sum(V(:,ind);ahpResultk2,kk = maxD;% Ck1,kk 正互反矩陣的最大特征值nn = size(Ck1,kk,1);% Ck1,kk 的階數(shù)ahpResultk3,kk = (maxD

14、-nn)/(nn-1)/RI(nn);% 相應(yīng)的一致性比率 C、R、endendW = ahpResult11,1;for k = 2:n% cat(2,ahpResultk1,:)把k+1層所有元素相對(duì)k層各個(gè)元素的權(quán)重向量橫向排在一起生成權(quán)重矩陣 UA(k)W = cat(2,ahpResultk1,:)*W;end用該函數(shù)實(shí)現(xiàn)層次分析法的關(guān)鍵就是，把整個(gè)層次結(jié)構(gòu)存入嵌套元胞數(shù)組C中(見(jiàn)程序注釋):Ck存儲(chǔ)第k+1層與第k層的結(jié)構(gòu)(k=1,n);設(shè)第k層有mk個(gè)元素，其中第j元素與第k+1層的結(jié)構(gòu)關(guān)系存儲(chǔ)到Ck,j中(j=1,mk)，需要存儲(chǔ)的信息有： 受第j元素支配的第k+1層各元素的判

15、斷矩陣 第k+1層各元素就是否受第k層第j元素支配(即有沒(méi)有連線)所以需要兩個(gè)位置，即Ck1, j與Ck2, j、例1某工廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)，需要決定如何分配使用。已經(jīng)決定 有三種用途：獎(jiǎng)金、集體福利措施、引進(jìn)技術(shù)設(shè)備?？疾鞙?zhǔn)則也有三 個(gè):就是否能調(diào)動(dòng)職工的積極性、就是否有利于提高技術(shù)水平、考慮 改善職工生活條件。建立如下層次模型：音阿憧用留成利閩丿按高技戕集金R鍛佯用利齊引進(jìn)設(shè)備授術(shù)片經(jīng)過(guò)工廠決策人員討論，得到如下判斷矩陣：1、第2層對(duì)第1層三個(gè)元素 Ci, C2, C3都受A支配，判斷矩陣C11,1為ACtCiG11/51/3©sI31，厚1/31相應(yīng)的邏輯數(shù)組 C12,1為t

16、rue truetrue、2、第3層對(duì)第2層(1) 第3層對(duì)第2層第1個(gè)元素Ci受C1支配的只有兩個(gè)元素P1與P2,判斷矩陣C21,1為相應(yīng)的邏輯數(shù)組 C22,1為true truefalse、第3層對(duì)第2層第2個(gè)元素C2受C2支配的只有兩個(gè)元素P2與P3,判斷矩陣C21,2為Ct鬥paPlf 11/5Pl51相應(yīng)的邏輯數(shù)組 C22,2為false true true、第3層對(duì)第2層第3個(gè)元素Cs受Cs支配的只有兩個(gè)元素Pi與P2,判斷矩陣C21,3為GPiPi12Pt1/21相應(yīng)的邏輯數(shù)組 C22,3為true truefalse、3、有了上面的分析，層次模型的元胞數(shù)組表示C已經(jīng)確定,調(diào)用函

17、數(shù)ahp、m即可C = cell（2,1）;%共n+1=3 層，故n=2C11,1 = 1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1;1層（目標(biāo)層A）的判斷矩陣C12,1 = true truetrue;C21,1 = 1 1/3;3 1;斷矩陣C22,1 = true truefalse;C21,2 = 1 1/5;5 1;斷矩陣C22,2 = false true true;C21,3 = 1 2;1/2 1;斷矩陣C22,3 = true truefalse;%第2層（C層）關(guān)于第%相應(yīng)的邏輯數(shù)組%第3層（P層）關(guān)于第2層第1元素C1的判%相應(yīng)的邏輯數(shù)組%第3層（P層）關(guān)于第2層第2元

18、素C2的判%相應(yīng)的邏輯數(shù)組%第3層（P層）關(guān)于第2層第3元素C3的判%相應(yīng)的邏輯數(shù)組W %輸出總排序的權(quán)重向量運(yùn)行結(jié)果:W =0、19840、27080、5308W就就是方案層各個(gè)方案所占的比重，可見(jiàn)引進(jìn)技術(shù)設(shè)備所占比 重最大，改善員工福利次之。體現(xiàn)在獎(jiǎng)金分配上，即用全部留成利潤(rùn)的 53、08%引進(jìn)技術(shù)設(shè)備，27、08%改善員工福利，19、84%發(fā)獎(jiǎng)金。例2假設(shè)某人在制定食譜時(shí)有三類(lèi)食品可選：肉、面包、蔬菜。這三類(lèi)食品所含營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)如下表所示：* AH生* A/C1U > |)0/( x 90,35270,0021憶鶉Q. 0275面包11.510.00«at 山W21.0

19、4OlQOT假設(shè)該人體重為55kg,每天對(duì)各類(lèi)營(yíng)養(yǎng)的最小需求為維生素A7500IU維生素 B21、6338mg熱量 Q8548、5kJ問(wèn)題就是:應(yīng)如何制定食譜使得在保證營(yíng)養(yǎng)的前提下支出最小？單純考慮問(wèn)題條件，容易建立如下的線性規(guī)劃模型：設(shè)選擇肉X1, 面包X2,蔬菜X3,則有rmm0275jri +0 006衣 +0 007業(yè)禮 t. 0, 3527x)+ 0, OOO5j-2 + 25- 0x3 >7500J 0” 00214 +0. 0006xj + 0. 002t3>1. 63381L 93j：i +1 L 51x( +1. 04xj8548f 5LJEl ,XjO用Matl

20、ab求解線性規(guī)劃問(wèn)題的函數(shù)linprog,可以求出最優(yōu)解：f = 0、0275;0、006;0、007;A = -0、3527 0、0005 25;0、0021 0、0006 0、002;11、93 11、51 1、04;b = -7500;1、6338;8548、5;opti ons = optimset('LargeScale' , 'off, 'Simplex' ,'o n');x,fval,flag=linprog(f,A,b,0;0;0,infinfinf,options)運(yùn)行結(jié)果：x =0687、5267 610、6420fv

21、al= 8、3997flag =1%表示算法成功求解出的結(jié)果就是，每天不吃肉，吃面包687、5267g,蔬菜610、642g, 最低支出為 & 40元。但實(shí)際考慮的話，這個(gè)方案就是難以讓人接受 的，只考慮了營(yíng)養(yǎng)夠、價(jià)格低，沒(méi)有考慮到營(yíng)養(yǎng)均衡(需要吃一定量的 肉)。為此我們先用層次分析法確定每天需要肉、面包、蔬菜的比重，再重新線性規(guī)劃。建立如下的層次模型肅二厘注意:由于第2層支出因素D2直接支配第4層，需要在第3層補(bǔ)上 一個(gè)因素“補(bǔ)項(xiàng)B” （仍當(dāng)作“支出”瞧待）,它只受D2支配，并且支配 D2的每個(gè)支配因素（第4層的肉Me,面包Br,蔬菜Ve）。有了上面的層次結(jié)構(gòu)，再根據(jù)偏好建立判斷矩陣

22、（當(dāng)然偏好因人而 異）：1、第2層對(duì)第1層判斷矩陣：13C 1 1,11/ 3 1邏輯數(shù)組:C12,1=true true、2、第3層對(duì)第2層（1）第3層對(duì)第2層第1元素D1判斷矩陣：1 1 2C 2 1,11121/ 2 1/2 1邏輯數(shù)組:C22,1=true truetrue false、（2）第3層對(duì)第2層第2元素D2判斷矩陣 :C21,2=1邏輯數(shù)組 :C22,2=false falsefalseture 、3、第 4 層對(duì)第 3 層(1) 第 4 層對(duì)第 3 層第 1 元素 A 判斷矩陣 (用數(shù)據(jù)直接做比得到 ):10.3527 / 0.0005 0.3527 / 25C 3 1,

23、10.0005 / 0.352710.0005 / 2525/ 0.352725 / 0.00051邏輯數(shù)組 :C32,1=true true true 、(2) 第 4 層對(duì)第 3 層第 2 元素 B2 判斷矩陣 (用數(shù)據(jù)直接做比得到 ):1 0.0021/ 0.0006 0.0021/ 0.002C 3 1,20.0006 / 0.002110.0006 / 0.0020.002 / 0.0021 0.002 / 0.00061邏輯數(shù)組 :C32,2=true true true 、(3) 第 4 層對(duì)第 3 層第 3 元素 Q判斷矩陣 (用數(shù)據(jù)直接做比得到 ):1 11.93 /11.5

24、1 11.93/1.04C 3 1,3 11.51/11.93 1 11.51/1.041.04 /11.93 1.04 /11. 51 1邏輯數(shù)組 :C32,3=true true true 、(4) 第 4 層對(duì)第 3 層第 4 元素 B判斷矩陣 (用單價(jià)比的倒數(shù) ,因?yàn)閱蝺r(jià)越高越不重要 ):0.006/0.02750.007/0.0275C 3 1,40.0275/0.00610.007/0.0060.0275/0.0070.006/0.007邏輯數(shù)組:C32,4=true true true、4、有了上面的分析，層次模型的元胞數(shù)組表示C已經(jīng)確定,調(diào)用函數(shù)ahp、m即可C = cell(

25、3,1);C11,1 = 1 1/3;3 1;C12,1 = true(2,1);C21,1 = 1 1 2;1 1 2; 1/2 1/2 1;C22,1=true truetrue false;C21,2=1;C22,2 = false,false,false,true;C31,1 = 1,0、3527/0、0005,0、3527/25;0、0005/0、3527,1,0、0005/25;25/0、3527,25/0、0005,1 ;C3 2,1=true(3,1);C31,2= 1,0 、0021/0、0006,0、0021/0、002;0、0006/0、0021,1,0 、0006/0、002;0、002/0、0021,0、002/0、0006,1 ;C3 2,2=true(3,1);C31,3= 1,11、93/11、51,11 、93/1、04;11、51/11、93,1,1151/1、04;1、04/11 、93,1 、04/11 、51,1