1、數(shù)學(xué)家們對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的研究小議 “學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的口號(hào)，已成為各國(guó)教育界的共識(shí)。它的中心意思是讓學(xué)生主動(dòng)參與和直接操縱學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)起“獨(dú)立學(xué)習(xí)”的能力。真正的學(xué)習(xí)，一定是獨(dú)立學(xué)習(xí)。沒有獨(dú)立學(xué)習(xí)，就絕對(duì)沒有學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。我們可以從世界著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家華羅庚、弗賴登塔爾和波利亞等數(shù)學(xué)大師對(duì)如何學(xué)好數(shù)學(xué)，如何進(jìn)行獨(dú)立學(xué)習(xí)，如何學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)等重要問題的論述中得到啟示。一、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須腳踏實(shí)地，打好基礎(chǔ)中國(guó)的華羅庚教授是自學(xué)成才的典范，他有很強(qiáng)的獨(dú)立學(xué)習(xí)能力，有極其豐富的“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的體驗(yàn)。他根據(jù)數(shù)學(xué)科學(xué)的特點(diǎn)及對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)教和學(xué)的長(zhǎng)期考察和個(gè)人自學(xué)成才的經(jīng)驗(yàn)，諄諄告誡青少年在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須腳

2、踏實(shí)地，不能踏空一步，踏空一步就要付出重補(bǔ)的代價(jià)，踏空多步，補(bǔ)不勝補(bǔ)就會(huì)使人上不去，就會(huì)完全泄氣。所以學(xué)習(xí)不能急躁，不要逾規(guī)前進(jìn)，吃?shī)A生飯。不打好基礎(chǔ)，想一步登天，往往欲速則不達(dá)。他主張，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中若有一步?jīng)]走穩(wěn)，就不要輕易跨出下一步，否則就是沙灘建塔，必垮無疑。他還講到，學(xué)生即使能把書上的概念、公式、定理背熟，甚至逐字逐句默寫，也不能肯定就獲得了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。更重要的是要消化，要“真懂”，掌握基本的原理、原則、基本精神，要能靈活運(yùn)用。學(xué)生讀書要走“由薄到厚，由厚到薄”的道路，即在對(duì)一小部分內(nèi)容細(xì)嚼以后，還要提煉出全部?jī)?nèi)容（整節(jié)、整章或整本書）的關(guān)鍵，弄清整體的來龍去脈，掌握整體內(nèi)容的本質(zhì)。他

3、提醒青少年，在打基礎(chǔ)時(shí)沒有必要像和尚念經(jīng)一般把教材熟讀幾十遍；也沒有必要把同一內(nèi)容的各種各樣的參考書都拿來看一遍。應(yīng)以教材為主，努力理解教材上的內(nèi)容，鉆研教材上的習(xí)題，學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)盡量多做一些習(xí)題，但不是盲目追求數(shù)量，而要“活練”。二、教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過重新發(fā)現(xiàn)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)荷蘭的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)，要使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的公共水平盡可能地提高，就不能從外部向?qū)W生灌輸數(shù)學(xué)，而應(yīng)把它作為一種活動(dòng)，讓學(xué)生在教師的幫助下，通過重新發(fā)現(xiàn)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。他認(rèn)為一個(gè)聰明的孩子可以自己重新發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)，即使是一般孩子，在他人的幫助或指導(dǎo)下也可以做到這樣。當(dāng)然這里的重新發(fā)現(xiàn)并不意味著像我們的祖先一樣

4、來發(fā)現(xiàn)，他們必須以修改過的方式從較低的起點(diǎn)進(jìn)入重新學(xué)習(xí)的過程。弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是一種活動(dòng)的另一層意思，是要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活動(dòng)中學(xué)會(huì)再創(chuàng)造。他認(rèn)為學(xué)生不經(jīng)過親自實(shí)踐，僅僅從書本上，靠聽課和觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的。所以他要求教師在教學(xué)活動(dòng)中積極鼓勵(lì)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，努力使學(xué)生處于創(chuàng)造狀態(tài)，激發(fā)他們的創(chuàng)造需要，讓他們充分自由地發(fā)表自己的觀點(diǎn)和看法。提倡師生間、生生間的相互討論或辯論，要有一種暢所欲言的生動(dòng)活潑的氣氛和場(chǎng)面。必要時(shí)教師要給予一定的啟示和指導(dǎo)。三、讓學(xué)生通過自己的“實(shí)踐”產(chǎn)生數(shù)學(xué)化，并學(xué)習(xí)將事物數(shù)學(xué)化 “數(shù)學(xué)化”是弗賴登塔爾又一個(gè)重要思想。所謂“數(shù)學(xué)化”是指人們?cè)谟^察現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，

5、應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法分析研究各種具體現(xiàn)象并加以整理組織的過程。其中包括把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題及使數(shù)學(xué)更完整、更系統(tǒng)和更抽象這樣兩個(gè)過程。所以數(shù)學(xué)化對(duì)象分兩類：一是客觀事物，二是數(shù)學(xué)本身。他指出，對(duì)客觀世界數(shù)學(xué)化的結(jié)果是數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律定律、定理和為解決具體問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等；對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行數(shù)學(xué)化，既可以是某些數(shù)學(xué)知識(shí)的深化，也可以是對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類、整理、構(gòu)造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使數(shù)學(xué)知識(shí)體系更系統(tǒng)、更完美。所以他認(rèn)為，任何數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué)化的結(jié)果。這樣數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想就是使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。為此，他提出在最低水平上應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生有機(jī)會(huì)通過自己的“實(shí)踐”產(chǎn)生數(shù)學(xué)化的需要

6、，并學(xué)習(xí)如何將事物數(shù)學(xué)化。根據(jù)客觀現(xiàn)實(shí)形成數(shù)學(xué)概念和構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，自己發(fā)現(xiàn)并建立這些規(guī)則以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，在較高水平上讓他們學(xué)習(xí)如何構(gòu)造數(shù)學(xué)內(nèi)容及數(shù)學(xué)化本身。只有這樣才能使學(xué)生避免盲目記憶規(guī)則所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，使所學(xué)知識(shí)具有相應(yīng)的實(shí)際背景。四、盡量讓學(xué)生親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西,教會(huì)學(xué)生思考美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞，在半個(gè)多世紀(jì)前就大力強(qiáng)調(diào)要“教會(huì)學(xué)生思考”，他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目的是“教會(huì)學(xué)生思考”，在傳授一定數(shù)量知識(shí)（包括發(fā)展知識(shí)結(jié)構(gòu)）的同時(shí)，必須努力發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。學(xué)生只有主動(dòng)積極地思考，通過自己的親自發(fā)現(xiàn)來獲得知識(shí)，才會(huì)真正理解并牢固掌握知識(shí)，從而靈活運(yùn)用知識(shí)。他主張，必須盡

7、量讓學(xué)生在現(xiàn)有條件下親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西。要給學(xué)生創(chuàng)造自己發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)，留給學(xué)生盡可能多的自由思考的余地，讓學(xué)生有獨(dú)立探索的體驗(yàn)，創(chuàng)造促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的環(huán)境。波利亞認(rèn)為要把三分之一的努力花在教些基本的數(shù)學(xué)上，而把三分之二的努力花在培養(yǎng)學(xué)生有益的思維方法和思維習(xí)慣上。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有教猜想的地位，無論如何不應(yīng)該壓制學(xué)生的發(fā)明萌芽。教學(xué)中要提供模仿的例子和練習(xí)的機(jī)會(huì)，盡量使學(xué)生追究和看到定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的，證明的思路是如何想出來的。讓學(xué)生多多“先猜后證”，不拘泥于死板的嚴(yán)謹(jǐn)推理。五、解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題波利亞是數(shù)學(xué)題解方法論的開拓者。他認(rèn)為解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心，是

8、“教會(huì)學(xué)生思考”，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)于實(shí)際的能力和習(xí)慣的重要手段，是縮小現(xiàn)實(shí)世界與課堂世界的差距的首要辦法。他的名著怎樣解題是培養(yǎng)學(xué)生“思考方式”及“探索性思維能力”的巨著，其主要思想簡(jiǎn)要地表現(xiàn)在他的“怎樣解題”表上。在這張表中，他按照邏輯思維的順序和出現(xiàn)可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導(dǎo)性意見。提出的方式也十分靈活，有時(shí)用建議的口氣，有時(shí)則用引導(dǎo)性的辦法，盡量順乎自然，使學(xué)生感到這些意見真是說到他們的心坎上，這就是他們自己要說的話。利用這張表教師可以行之有效地指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，學(xué)生自己也可以更好地自學(xué)，從而發(fā)展學(xué)生獨(dú)立思考和進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的能力。這張表包括弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧驗(yàn)算

9、四步（表略）。第一步是弄清問題，就是要求解題者一見題目不要急于解答。而應(yīng)該先熟悉問題情境，了解事理，分清已知和未知，明確解題目標(biāo)，必要時(shí)可以把題目用圖表表示出來或引入適當(dāng)?shù)姆?hào)，使題目的條件與問題清晰化，隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。這些工作，就是平日所講的審題。審題是解題的基礎(chǔ)，只有正確地理解了題意，才能正確地確立解題的思維方向，找出解題途徑。所以這一步非常重要，有人說解題成功與否，一半決定于審題，此話不無道理。在平日審題時(shí)我們還強(qiáng)調(diào)過要理解關(guān)鍵詞，防止混淆，如“增加了”與“增加到”，“減少了”與“減少到”等，不然怎么理解條件是否充分或有無矛盾？波利亞還要求把條件和問題摘錄下來和用圖表及適當(dāng)?shù)姆?hào)來

10、表述。第二步是擬定計(jì)劃。波利亞關(guān)于擬定計(jì)劃所包含的內(nèi)容十分豐富，遠(yuǎn)勝于我們平時(shí)所講的“分析數(shù)量關(guān)系”。不僅要求回憶與問題有關(guān)的舊知識(shí)（舊知識(shí)遷移），還要求回憶以往是否接觸過類似問題（如同質(zhì)異形和同形異質(zhì)的問題），以及可為新問題作鋪墊的已經(jīng)掌握的問題或別的輔助性元素。進(jìn)而要求復(fù)述問題（應(yīng)用自己理解了的語(yǔ)言），而且使用不同的方法復(fù)述（發(fā)散性思考的結(jié)果）。同我們平日所講分析應(yīng)用題的明顯不同之處在于波利亞十分強(qiáng)調(diào)“解題策略”的選用，包括簡(jiǎn)化、類化、分化、特殊化、降格、升格、變格、聯(lián)想等。最后波利亞實(shí)質(zhì)上提出了在擬定計(jì)劃這一過程完成之際，還必須對(duì)整個(gè)分析作一番反思，自己向自己提出一系列問題（與解題有關(guān)）。這就是現(xiàn)代元認(rèn)知理論所主張的自我監(jiān)控的一部分（必不可少）。第三步是實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。這一步相當(dāng)于我們平日所講的“列式計(jì)算”，但要求比“列式計(jì)算”高。波利亞不僅要求解題者做對(duì)每一步，而且要求對(duì)每一步都進(jìn)行檢驗(yàn)，明確為什么這一步是正確的，能自我判斷，證明其正確，達(dá)到確信。這近乎元認(rèn)知理論所提倡的自我評(píng)價(jià)，也是目前學(xué)校教育中學(xué)習(xí)解題時(shí)的一個(gè)較薄弱的環(huán)節(jié)。一般教師都不作這方面的要求，學(xué)生更無這種自我意識(shí)和自覺要求。第四步是