1、機器人技術(shù)機器人技術(shù)2022-3-31第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng) 張遠(yuǎn)輝張遠(yuǎn)輝 機械電子所機械電子所 2014第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-32 機器人是個復(fù)雜的運動系統(tǒng)，它的每一個機器人是個復(fù)雜的運動系統(tǒng)，它的每一個動作都是各個元部件共同作用的結(jié)果。動作都是各個元部件共同作用的結(jié)果。第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-333.1 位置與姿態(tài)位置與姿態(tài) 3.2 正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系 3.3 運動坐標(biāo)表示運動坐標(biāo)表示 3.4 齊次坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變換 3.5 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng) 為了系統(tǒng)地、精確地描述各個元部件的作用以及它們?yōu)榱讼到y(tǒng)地、精確地描

2、述各個元部件的作用以及它們之間的關(guān)系，需要引入一套機器人坐標(biāo)系統(tǒng)。之間的關(guān)系，需要引入一套機器人坐標(biāo)系統(tǒng)。 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-34 要全面地確定一個物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個位置自由度要全面地確定一個物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個位置自由度和三個姿態(tài)自由度。前者用來確定物體在空間中的具體方位，后者則是和三個姿態(tài)自由度。前者用來確定物體在空間中的具體方位，后者則是確定物體的指向。我們將物體的六個自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿。確定物體的指向。我們將物體的六個自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿。 如果如果H H為手坐標(biāo)系，用以描述為手坐標(biāo)系，用以描述手的姿態(tài)，那再

3、加上手的位置就手的姿態(tài)，那再加上手的位置就構(gòu)成了手的位姿。構(gòu)成了手的位姿。 3.1 位置與姿態(tài)位置與姿態(tài) 一般姿態(tài)的描述可以用一般姿態(tài)的描述可以用橫滾橫滾（Roll）、）、俯仰俯仰（Pitch）和）和側(cè)擺側(cè)擺（Yaw）三軸的轉(zhuǎn)角來實現(xiàn)。）三軸的轉(zhuǎn)角來實現(xiàn)。 繞坐標(biāo)系繞坐標(biāo)系H H各軸轉(zhuǎn)動各軸轉(zhuǎn)動yawProllpitchHXHZHYH第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-35從二維坐標(biāo)系說起從二維坐標(biāo)系說起ijBnoHP如果已知P點在H坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為1,1T, 則P在B下的坐標(biāo)?第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-36ijBnoHP坐標(biāo)系重合的情況（旋轉(zhuǎn)

4、）11HP ?BP 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-37正交基之間的變換xyinnnj xyioooj 1 1?niPoj 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-38帶入后1 11 11 1xyxyxyxyinnjnnniooojiooj 1 1?xyxynnoo坐標(biāo)寫成列向量?1?1xxyynono 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-39旋轉(zhuǎn)矩陣R?1?1xxyynono xxBHBHHyynoPPRPno第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-310僅僅只有平移ijBnoHPH坐標(biāo)系的原點，在B坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是

5、a,bT ，則第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-311僅僅只有平移ijBnoHP11HP ?BP BHaPPb 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-312先平移+后旋轉(zhuǎn)ijBnoHnoHHHHHPRPBHaPPb BHHHaPRPb 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-313先旋轉(zhuǎn)+后(相對于B平移a,b)ijBnoHnoB()BBHBBHBBBaaPRPRRPbb BBBBPRP?BHPPHBBBaPPRb 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-314有加法和乘法-整合BBHHaPRPb 11001BBHHaRP

6、Pb BHT第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3153.2 正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系3.2.1 正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識 右圖是所謂的正交坐右圖是所謂的正交坐標(biāo)系標(biāo)系B(x,y,z)B(x,y,z)，用來表示，用來表示機器人的基坐標(biāo)，機器人的基坐標(biāo)，其中其中 , , 分別分別是三個是三個坐標(biāo)軸的單位向量坐標(biāo)軸的單位向量。 B B系中有另外一個坐標(biāo)系中有另外一個坐標(biāo)系系H H（x xH，yH，zH），用來），用來表示手坐標(biāo)表示手坐標(biāo), 其中其中 , , 分別是分別是H系系三個坐標(biāo)軸的單位向量。三個坐標(biāo)軸的單位向量。 ijknoazyxBHHzHxHy

7、anoijkP端點端點P P相對于機器人手坐標(biāo)系相對于機器人手坐標(biāo)系H H及基座坐標(biāo)系及基座坐標(biāo)系B B的定位的定位第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3 正交坐標(biāo)系的性質(zhì)正交坐標(biāo)系的性質(zhì) kjiaaaooonnnaonzyxzyxzyx單位矢量單位矢量 , , 在基坐標(biāo)系中可表示為在基坐標(biāo)系中可表示為no a 根據(jù)矢量點積和叉積的性質(zhì)，對于相互正交的單位矢根據(jù)矢量點積和叉積的性質(zhì)，對于相互正交的單位矢量量 ， ， 有有ona 對于單位矢量對于單位矢量 , , 也有同樣的性質(zhì)。也有同樣的性質(zhì)。 ijkaononanao1aaoonn0naaoon第三章第三

8、章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-317 令矩陣令矩陣 R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣。稱為正交坐標(biāo)變換矩陣。 zyxzyxzyxTaaaooonnnRzyxnnnnzyxoooozyxaaaa當(dāng)用列向量表示單位矢量時，有當(dāng)用列向量表示單位矢量時，有zzzyyyxxxaonaonaonaonR于是，變換矩陣于是，變換矩陣R可以表示為：可以表示為：當(dāng)用矩陣表示兩個矢量的點乘時，有當(dāng)用矩陣表示兩個矢量的點乘時，有0onooonnnononononTzyxzyxzzyyxx第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3 正交坐標(biāo)變換矩陣正交坐標(biāo)變換矩陣R R的性質(zhì)的

9、性質(zhì) 顯然顯然TTTzyxzyxzyxTaonaaaooonnnR由上式可得由上式可得 從而可得結(jié)論：正交變換矩陣為正交矩陣。從而可得結(jié)論：正交變換矩陣為正交矩陣。 于是可得于是可得IaaoanaaooonoanonnnaonaonRRTTTTTTTTTTTTT1000100011- RRT第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3 正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義 , 上式可寫成上式可寫成其中其中 kjiRaonT 1- RRT考慮到考慮到aonRkji 上式表明正交坐標(biāo)變換矩陣上式表明正交坐標(biāo)變換矩陣R實現(xiàn)了由手坐標(biāo)系實現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H

10、到基到基坐標(biāo)系坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組3個相互正交的單個相互正交的單位矢量變換為另一組位矢量變換為另一組3個相互正交的單位矢量，每一組單位個相互正交的單位矢量，每一組單位矢量均代表了一個正交坐標(biāo)系。這也說明了將矩陣矢量均代表了一個正交坐標(biāo)系。這也說明了將矩陣R稱為正稱為正交坐標(biāo)變換矩陣的原因。在機器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交交坐標(biāo)變換矩陣的原因。在機器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交坐標(biāo)變換。坐標(biāo)變換。第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3203.2.2 位置的描述位置的描述 一旦建立起一個坐標(biāo)系，我們就可以用一旦建立起一個坐標(biāo)系，我們就可以用

11、3 3維的位置矢量來確維的位置矢量來確定該空間內(nèi)任一點的位置定該空間內(nèi)任一點的位置 。其中，。其中，x x、y y、z z是是p p點在笛卡爾坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以點在笛卡爾坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以很容易地表示出手坐標(biāo)（原點）在基坐標(biāo)系中的空間位置。很容易地表示出手坐標(biāo)（原點）在基坐標(biāo)系中的空間位置。TzyxP 3.2.3 姿態(tài)的描述姿態(tài)的描述 物體的姿態(tài)可由某個固接在物體上的坐標(biāo)系來描述。設(shè)在物體的姿態(tài)可由某個固接在物體上的坐標(biāo)系來描述。設(shè)在空間中除了有參考坐標(biāo)系空間中除了有參考坐標(biāo)系B B外，還有物體質(zhì)心上的一個笛卡爾正外，還有物體質(zhì)心上的一個笛卡

12、爾正交坐標(biāo)系交坐標(biāo)系H H，且，且H H系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那么就可以么就可以H H系的三個坐標(biāo)軸的單位矢量相對于系的三個坐標(biāo)軸的單位矢量相對于B B系的方向來表示系的方向來表示H H系和系和B B系的姿態(tài)。系的姿態(tài)。 第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-321第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-322 假設(shè)假設(shè) 為為H H坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它在坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它在B B坐標(biāo)系的方坐標(biāo)系的方向可以向可以 與與B B系三軸夾角的余弦值為分量加以表達，見下圖。系三軸夾角的余弦值為分量

13、加以表達，見下圖。 ll 因此正交坐標(biāo)變換矩陣因此正交坐標(biāo)變換矩陣R R為一方向余弦矩陣，也被稱之為為一方向余弦矩陣，也被稱之為旋轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。旋轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。 故有故有kjillllcoscoscosaonaonaoncoscoscoscoscoscoscoscoscos 根據(jù)前面的推導(dǎo)可得根據(jù)前面的推導(dǎo)可得aonR jlxyzkBllli 矢量的方向矢徑表示矢量的方向矢徑表示第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3233.3 運動坐標(biāo)表示運動坐標(biāo)表示 3.3.1 平動的坐標(biāo)表示平動的坐標(biāo)表示 設(shè)手坐標(biāo)系設(shè)手坐標(biāo)系H H與基坐

14、標(biāo)系與基坐標(biāo)系B B具具有相同的姿態(tài)，但有相同的姿態(tài)，但H H系坐標(biāo)原系坐標(biāo)原點與點與B B系的原點不重合。用矢系的原點不重合。用矢量量 來描述來描述H H系相對于系相對于B B系的位系的位置（如右圖所示），稱置（如右圖所示），稱 為為H H系相對于系相對于B B系的平移矢量。如系的平移矢量。如果點果點p p在在H H系中的位置為系中的位置為 ，那，那么它相對于么它相對于B B系的位置矢量系的位置矢量可由矢量相加得出，即可由矢量相加得出，即rrrp0稱其為稱其為坐標(biāo)平移方程坐標(biāo)平移方程。0r0rrprr0rHxPHzyxHyHzBpr 表示移動的坐標(biāo)變換表示移動的坐標(biāo)變換第三章第三章 機器人坐

15、標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-324 下面以繞下面以繞z z軸軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 角為例來角為例來研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動某個角度的表動某個角度的表示法。設(shè)示法。設(shè)H系從系從與與B系相重合的系相重合的位置繞位置繞B系的系的z軸軸轉(zhuǎn)動角轉(zhuǎn)動角 ，H系系與與B系的關(guān)系如系的關(guān)系如右圖所示。右圖所示。zz3.3.2 轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)表示 (1) (1) 繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動某個角度的表示法繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動某個角度的表示法 naHxxyzHzHyHB,ozz H H系相對系相對B B系繞系繞z z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動zz角的坐標(biāo)關(guān)系角的坐標(biāo)關(guān)系第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-325 若將

16、若將H系的系的3個單位矢量表示在個單位矢量表示在B系中，則有系中，則有100a0sincoszzn，-0cossinzzo，實現(xiàn)兩個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)動關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動矩陣實現(xiàn)兩個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)動關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動矩陣R，可表示為可表示為-1000cossin0sincoszzzzaonR 上面的分析說明了上面的分析說明了R矩陣可以用來表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，矩陣可以用來表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，這表征了這表征了R矩陣的另一種幾何意義。矩陣的另一種幾何意義。第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-326 設(shè)設(shè)B系與系與H系的系的z軸相重合，軸相重合，B系繞系繞z軸轉(zhuǎn)動角軸轉(zhuǎn)動角 就得就

17、得H系，系，如下圖所示。如下圖所示。 z(2) (2) 兩個坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系兩個坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系xyHy),(HBzzzHxyxA CuPv 矢徑矢徑BPBP在在H H系與系與B B系的投影關(guān)系系的投影關(guān)系O第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-327已知矢徑已知矢徑 在在H系三軸投影分別為系三軸投影分別為u,v,w。則由上圖可知。則由上圖可知OPzzvuACOCAOxsincos-zzvuycossinwz 由上式可見，由上式可見，R矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影，這表征了變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的

18、投影，這表征了R矩陣的又矩陣的又一種幾何意義。一種幾何意義。-wvuRwvuzyxzzzz1000cossin0sincos于是有于是有（）（）第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-328(3) (3) 具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量的投影之間的關(guān)系具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量的投影之間的關(guān)系 設(shè)矢量設(shè)矢量 在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系Bxy的投影為的投影為u，v，w；將矢量；將矢量 繞繞z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 角，得到矢量角，得到矢量 ，設(shè)矢量，設(shè)矢量 在同一坐標(biāo)系的在同一坐標(biāo)系的投影為投影為x, y, z，如下圖所示。，如下圖所示。 OQzOQPO PO xyHy),(HBzzHxyuPvxQ關(guān)系具有轉(zhuǎn)動

19、關(guān)系的兩個矢量的投影之間的投影關(guān)系具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量的投影之間的投影O第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-329 如果注意到如果注意到 在在x,y軸的投影相當(dāng)于軸的投影相當(dāng)于 在在 軸的投軸的投影，再對比頁和頁的兩個圖所示的相同幾何關(guān)系，影，再對比頁和頁的兩個圖所示的相同幾何關(guān)系，便可得式（）相同結(jié)果，只是此時的便可得式（）相同結(jié)果，只是此時的u，v，w與與x，y，z同前面討論的情況的幾何含義不同。這時矩陣同前面討論的情況的幾何含義不同。這時矩陣R用來表示用來表示具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系，這表

20、征了系，這表征了R矩陣的最后一種幾何意義。矩陣的最后一種幾何意義。 至此，歸納了至此，歸納了R矩陣的四種幾何意義，這對于認(rèn)識矩陣的四種幾何意義，這對于認(rèn)識R矩矩陣的本質(zhì)，研究機器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有幫助。陣的本質(zhì)，研究機器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有幫助。PQHHyx ,第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3303.3.3 復(fù)合運動的坐標(biāo)表示復(fù)合運動的坐標(biāo)表示 設(shè)設(shè)H相對于相對于B的位置的位置矢量為矢量為 ，由，由H H到到B B的坐標(biāo)變換矩陣是的坐標(biāo)變換矩陣是 。 在在H H中有一點中有一點P P ，點，點P P 相對于相對于H H 的位置矢量的位置矢量為為 ，如右，如右圖所示。圖所示。

21、 基坐標(biāo)系基坐標(biāo)系B和手坐和手坐標(biāo)系標(biāo)系H 的原點不重合，的原點不重合，而且兩坐標(biāo)系的姿態(tài)也而且兩坐標(biāo)系的姿態(tài)也不相同的情況。不相同的情況。Tcbar 0THwvur aonR zyxBHr0rHzHxHyanoPPAuvwHr 表示轉(zhuǎn)動和移動的坐標(biāo)變換表示轉(zhuǎn)動和移動的坐標(biāo)變換第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-331Tpzyxr 對于任意一點對于任意一點P P在在B B和和H H系中的描述有以下的關(guān)系系中的描述有以下的關(guān)系HprRrr0其中，其中，是是 p 點相對點相對于于B B系的位置矢量。系的位置矢量。 至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運動在坐標(biāo)系中的表示至此

22、，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運動在坐標(biāo)系中的表示方法，這是我們學(xué)習(xí)機器人復(fù)雜運動的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中方法，這是我們學(xué)習(xí)機器人復(fù)雜運動的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中會頻繁地用到。會頻繁地用到。HcprRrrrr00 再由式（再由式（3-9），可得復(fù)合變換），可得復(fù)合變換HcrRr 可把上式看成坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。實際上，規(guī)定一個過可把上式看成坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。實際上，規(guī)定一個過渡坐標(biāo)系渡坐標(biāo)系C C，使，使C C的坐標(biāo)原點與的坐標(biāo)原點與H H系重合，而系重合，而C C的姿態(tài)和的姿態(tài)和B B系保持一致。根據(jù)系保持一致。根據(jù)式式（）可得由（）可得由H系到過

23、渡坐標(biāo)系系到過渡坐標(biāo)系C的坐標(biāo)變換為的坐標(biāo)變換為其中，其中，是點是點P 在在C中的位置矢量。中的位置矢量。cr第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3323.4 齊次坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變換 3.4.1 齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì)齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì) 齊次坐標(biāo)的概念 用四個數(shù)所組成的列向量用四個數(shù)所組成的列向量 來表示三維空間中來表示三維空間中的一點的一點 ，這兩個坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是，這兩個坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是 ， ， 則則 稱為三維空間點稱為三維空間點 的齊次坐標(biāo)。通常的齊次坐標(biāo)。通常情況下取情況下取w=1, ,則則 的齊次坐標(biāo)表示為的齊次坐標(biāo)表示為 。 Twzyx

24、U Tcba)(wxa wyb wzc TwzyxTcba)(Tcba)(Tcba)1(第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-33 齊次坐標(biāo)的性質(zhì)齊次坐標(biāo)的性質(zhì) （1）齊次坐標(biāo)的不唯一性 所謂不唯一性是指某點的齊次坐標(biāo)有無窮多點，不是所謂不唯一性是指某點的齊次坐標(biāo)有無窮多點，不是單值確定的。例如單值確定的。例如 是某點的齊次坐標(biāo)，則是某點的齊次坐標(biāo)，則 也是該點的齊次坐標(biāo)。也是該點的齊次坐標(biāo)。 TwzyxTwzyx（2）齊次坐標(biāo)的原點和坐標(biāo)軸 根據(jù)齊次坐標(biāo)的定義，齊次坐標(biāo)根據(jù)齊次坐標(biāo)的定義，齊次坐標(biāo) 表示坐表示坐標(biāo)原點，而標(biāo)原點，而 ， ， 分分別表示別表示O

25、X軸、軸、OY軸和軸和OZ軸的無窮遠(yuǎn)點，即表示直角坐軸的無窮遠(yuǎn)點，即表示直角坐標(biāo)的標(biāo)的OX軸、軸、OY軸和軸和OZ軸。軸。T1000T0001T0010T0100第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-334TwzyxaaaaATwzyxbbbbB TwzyxrrrrR a= 常量標(biāo)量常量標(biāo)量設(shè)設(shè)TwzyxaaaaaaATwzwzwywywxwxbbaabbaabbaaBA1wwzzyyxxbabababaBATwzyxrrrrBARwwwxyyxzzxxzyyzzyxbarbabarbabarbabar-,則有則有其中，其中，wzyxaaaaA/222（）（）第三章第三章 機

26、器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3353.4.2 齊次變換和齊次矩陣齊次變換和齊次矩陣 在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來看如何用齊次坐標(biāo)來在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來看如何用齊次坐標(biāo)來表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們曾用笛卡爾表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們曾用笛卡爾標(biāo)系統(tǒng)表示出了物體復(fù)合運動，最后我們得出了標(biāo)系統(tǒng)表示出了物體復(fù)合運動，最后我們得出了 的結(jié)論，它表示了的結(jié)論，它表示了 由到由到 的變換?，F(xiàn)在我們利用齊次坐的變換。現(xiàn)在我們利用齊次坐標(biāo)來表示出上式：標(biāo)來表示出上式： HprRrr0Hrpr11010HprrRr11101wvuAwvucbaRzyx第三章

27、第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-336 A A矩陣稱為矩陣稱為齊次矩陣齊次矩陣（Homogeneous matrix）, ,在機器在機器人學(xué)中是個重要的術(shù)語，它將轉(zhuǎn)動和移動組合在一個人學(xué)中是個重要的術(shù)語，它將轉(zhuǎn)動和移動組合在一個4 44 4矩陣中。矩陣中。 其中其中 為為33的轉(zhuǎn)動矩陣，的轉(zhuǎn)動矩陣， 為為13的零的零陣陣 ， 為表示移動的為表示移動的31的列陣。接下來我們將的列陣。接下來我們將利用齊次矩陣來表示物體的運動。利用齊次矩陣來表示物體的運動。 33R310Tcba103133cbRaA式中式中旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣平移矢量平移矢量透視變量透視變量比例因子比例因子齊次矩陣齊

28、次矩陣齊次矩陣用途很廣，更一般形式為：齊次矩陣用途很廣，更一般形式為：第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-33 利用齊次矩陣表示平移變換 設(shè)向量設(shè)向量 ，要和向量要和向量 相加得相加得V，即，即 （）（）TwzyxU Tcbakcjbi aP1PUV欲求一變換矩陣欲求一變換矩陣H，使得，使得U經(jīng)過經(jīng)過H變換之后變成向量變換之后變成向量V，即，即 （）（）考慮到式考慮到式（）（）和式和式（）（）等效，根據(jù)式（）可知等效，根據(jù)式（）可知UcbaTransV),( 平移變換就是用于兩個向量的相加。平移變換就是用于兩個向量的相加。第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐

29、標(biāo)系統(tǒng)2022-3-338 此變換矩陣有一性質(zhì)就是它的每一個元素乘上一個非此變換矩陣有一性質(zhì)就是它的每一個元素乘上一個非零的元素后不會改變這個變換。零的元素后不會改變這個變換。 wzyxcbawcwzbwyawxwzcwybwxaPUV100010001000111000100010001),(cbacbaTransH由此可知得由此可知得第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-33 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換 根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞X，Y，Z軸軸旋轉(zhuǎn)一個角的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是旋轉(zhuǎn)一個角的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是 -10000co

30、ssin00sincos00001),(XRot-10000cos0sin00100sin0cos),(YRot-1000010000cossin00sincos),(ZRot第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-340例如，已知一個向量例如，已知一個向量U繞繞Z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)90變成變成V，則用旋，則用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為轉(zhuǎn)矩陣表示為UZRotV)90,(0UXRotYRotV)90,()60,(00如，一個向量如，一個向量U 先后繞先后繞X、Y軸分別旋轉(zhuǎn)軸分別旋轉(zhuǎn)90、60得到得到V，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-341

31、 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)加平移變換 把上述兩種變換結(jié)合起來用齊次矩陣表示，這時的齊把上述兩種變換結(jié)合起來用齊次矩陣表示，這時的齊次變換矩陣就是次變換矩陣就是-10000cossin00sincos000011000100010001),(),(cbaXRotcbaTransH-1000cossin0sincos0001cba第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-342可見，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣可見，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣 和和表示平移的列陣表示平移的列陣 確實是分離的。確實是分離的。-1000cossin0sincoszzzz1cba)90,()90,()9

32、0,()90,(0000XRotYRotYRotXRot注意，一般情況下注意，一般情況下第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-34 利用齊次矩陣表示手的轉(zhuǎn)動和移動 手的轉(zhuǎn)動可以表示為繞手的轉(zhuǎn)動可以表示為繞X X軸的側(cè)擺軸的側(cè)擺 ，繞，繞Y Y軸的軸的俯仰俯仰 和繞和繞Z Z軸橫滾軸橫滾 ，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)動，采用簡化符號動，采用簡化符號 ，則有，則有),(xXRot),(yYRot),(zZRot),(xyzRPYsincos,sc-100000000001100000001000100001000000 xxxxyyyyzzzzcssccs

33、sccssc),(),(),(),(xyzXYZXRotYRotZRotRPY第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-344 上式表示了手的轉(zhuǎn)動運動。如果手除了轉(zhuǎn)動運動以上式表示了手的轉(zhuǎn)動運動。如果手除了轉(zhuǎn)動運動以外還可做移動運動，只需將上式中齊次矩陣的第外還可做移動運動，只需將上式中齊次矩陣的第4 4列用表列用表示移動的矩陣塊示移動的矩陣塊 來代替，便可得到包括來代替，便可得到包括3 3個姿態(tài)轉(zhuǎn)動和個姿態(tài)轉(zhuǎn)動和3 3個平移的個平移的6 6自由度運動的齊次矩陣。自由度運動的齊次矩陣。Tcba1-1000000 xzxyyxzxyzxzxyzyzxzxyzxzxyzyzccscs

34、sccssccssscssscsccsssccc),(),(),(),(xyzXYZXRotYRotZRotRPY第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3453.4.3 齊次變換的性質(zhì)齊次變換的性質(zhì) 變換過程的相對性相對變換 前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平移變換都是相對于參考坐標(biāo)系前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平移變換都是相對于參考坐標(biāo)系B B系而言的。例如系而言的。例如 上述的變換過程是：手坐標(biāo)系上述的變換過程是：手坐標(biāo)系H首先繞著基坐標(biāo)系首先繞著基坐標(biāo)系B旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) ，然后平移，然后平移 。這種變換的順序是從右向左進這種變換的順序是從右向左進行的。行的。 這樣的過程也可以

35、以相反的順序進行，即從左向右進行。這樣的過程也可以以相反的順序進行，即從左向右進行。此時可以理解為首先手坐標(biāo)系此時可以理解為首先手坐標(biāo)系H在基坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系B 中平移中平移 然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系H的的 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 。 ),(),(XRotcbaTransH kcjbi akcjbi aHX第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-346一般的變換過程可以分兩種情況：一般的變換過程可以分兩種情況： (1) 如果我們用一個描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換如果我們用一個描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，左左乘一個坐標(biāo)系的變換乘一個坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋，

36、那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于轉(zhuǎn)就是相對于靜止坐標(biāo)系靜止坐標(biāo)系進行的。進行的。 (2) (2) 如果我們用一個描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換如果我們用一個描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，右右乘一個坐標(biāo)系的變換乘一個坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于轉(zhuǎn)就是相對于運動坐標(biāo)系運動坐標(biāo)系進行的。進行的。 真是那么精彩嗎真是那么精彩嗎?第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-34 變換過程的可逆性逆變換 在機器人學(xué)中很多時候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將導(dǎo)出在機器人學(xué)中很多時候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將導(dǎo)出齊次變

37、換矩陣的逆陣的求法。齊次變換矩陣的逆陣的求法。HprRrr0pTTHrRrRr-0由公式由公式易得易得-10R-0T1rRAT由此可見由此可見111010HHprArrRr將上兩式表示成矩陣的形式，即將上兩式表示成矩陣的形式，即-1110R-110TppTHrArrRr第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-34 變換過程的封閉性-變換方程的建立 在解機器人運動學(xué)和動力學(xué)方程時，要經(jīng)常解變換方程。在這些變在解機器人運動學(xué)和動力學(xué)方程時，要經(jīng)常解變換方程。在這些變換方程里，一個坐標(biāo)點往往要用兩種或多種方式來描述。換方程里，一個坐標(biāo)點往往要用兩種或多種方式來描述。

38、（1） 機器人機器人 變換變換Z Z：參考坐標(biāo)系：參考坐標(biāo)系U U 基坐標(biāo)系基坐標(biāo)系B B 變換變換A A：基坐標(biāo)系：基坐標(biāo)系B B 手坐標(biāo)系手坐標(biāo)系H H 變換變換E E：手坐標(biāo)系：手坐標(biāo)系H H 加工工具加工工具T T（2 2） 變位機變位機 變換變換P P：參考坐標(biāo)系：參考坐標(biāo)系U U 變位機變位機V V 變換變換Q Q：變位機：變位機V V 被加工件被加工件W WBUHAEPQWT 操作機坐標(biāo)系及變換過程分析操作機坐標(biāo)系及變換過程分析ZV第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-349 這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表述，見右圖。這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表述，見右圖。 右圖

39、中每一段弧表示一右圖中每一段弧表示一個變換，由參考坐標(biāo)系向外個變換，由參考坐標(biāo)系向外指向，封閉于物體的某一個指向，封閉于物體的某一個點。由于變換點。由于變換Z-A-EZ-A-E與與P-QP-Q具具有相同的起點與終點，故有有相同的起點與終點，故有 PQZAE 如果我們希望解上述方程，求出變換如果我們希望解上述方程，求出變換A A ，就必須對方程左乘，就必須對方程左乘 ，然，然后右乘后右乘 ，得到，得到 實際上，可以從封閉的有向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某實際上，可以從封閉的有向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某一變換弧開始，順箭頭方向為正方向，逆箭頭方向為逆變換，一直連續(xù)列一變換弧開始

40、，順箭頭方向為正方向，逆箭頭方向為逆變換，一直連續(xù)列寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點變換），如果包括該起點變寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點變換），如果包括該起點變換，則得到一個單位變換。換，則得到一個單位變換。1-Z1-E11-PQEZA變換過程的封閉性變換過程的封閉性ZQPEA第三章第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng)2022-3-3503.5 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)機器人坐標(biāo)系統(tǒng) 3.5.1 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)的構(gòu)成機器人坐標(biāo)系統(tǒng)的構(gòu)成 現(xiàn)在讓我們設(shè)想完成將一條螺栓擰入螺母這樣一項簡單的工作。如果現(xiàn)在讓我們設(shè)想完成將一條螺栓擰入螺母這樣一項簡單的工作。如果是人來完成這件事情，每個人看來都是非常容易的。但是如果讓機器人來是人來完成這件事情，每個人看來都是非常容易的。但是如果讓機器人來完成這項工作，機器人必須規(guī)劃出每個關(guān)節(jié)的運動過程，最終合成末端執(zhí)完成這項工作，機器人必須規(guī)劃出每個關(guān)節(jié)的運動過程，最終合成末端執(zhí)行器的動作。在完成這樣的工作時，我們必須為每個關(guān)節(jié)變量規(guī)劃出運動行器的動作。在完成這樣的工作時，我們必須為每個關(guān)節(jié)變量規(guī)劃出運動軌跡，而這樣的軌跡是相對于每個關(guān)節(jié)所對應(yīng)的坐標(biāo)系而言的。由此可見，軌跡，而這樣的軌跡是相對于每個關(guān)節(jié)所對應(yīng)的坐標(biāo)系而言的。由此可見，我們必須為每一個關(guān)節(jié)定義出一個坐標(biāo)系。除此之外，為了能與工件相配我們必須為每一個關(guān)節(jié)定義出一個坐標(biāo)